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title: "把时间模式接到一篇真实实验上"
description: "核读 Kurpiers 的微波光子接口，复算选定包络及其观测映射，并分清平均场平方和光子通量。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/kurpiers-photon-interface/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/waveguide-qed/kurpiers-photon-interface/"
last_modified: "2026-10-28"
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[腔与波导量子电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/)

L4 · 第 7 章

# 把时间模式接到一篇真实实验上

Sandbox Physics · 2026-10-28

一篇量子网络实验里，画得像光脉冲的曲线不一定是单光子点击率。先看制备了什么态、测了哪个算符，才知道曲线与时间包络怎样对应。这里选一条可完整复算的联系：双曲正割包络的归一化、时间尺度及平均场读数。

## 开始前需要什么

第六章的模式内积与第三章的模型边界。需要能区分一个量的平均值平方与平方的平均值。本章固定论文版本并推导观测映射，详细装置控制与量子过程层析作为后续阅读。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/collected-temporal-modes/)

- 从指定制备态推导平均场平方与光子通量的不同因子。
- 给出一项限定复算的参数、来源与可重复数值检查。

## 先固定要读的版本和图

来源固定为 Kurpiers 等的 arXiv:1712.08593v1，提交日期为二〇一七年十二月二十二日；对应的已发表论文刊于二〇一八年《Nature》第五百五十八卷。这里的图号与附录编号都指这份预印本。

选定图二的 $c$ 与 $f$ 面板及附录 C。实验通过腔辅助过程发射时间对称微波光子，再以外差测量读取制备态的平均场。图注给两节点的有效带宽为 $10.4\,\mathrm{MHz}$ 与 $10.6\,\mathrm{MHz}$；本复算声明采用前一个尺度，且不混合两套参数。

复算对象是文中声明的理想包络及其观测关系。论文里的量子比特过程层析、实际传输效率和装置损耗需要另外的模型与测量资料。这里的原创曲线来自公式，不取原图坐标，也不转存出版方图像或实验原始数据。

对应阅读：Kurpiers et al.

## 同一个单光子模式有三种不同读数

设 $|1_\phi\rangle$ 是包络为 $\phi(t)$ 的单光子态。输出场算符 $b(t)$ 作用一次会把它变成真空并留下系数 $\phi(t)$。纯单光子态的平均场为零：湮灭一个光子后的真空与原来的单光子态正交。

要测平均场形状，可以制备真空与单光子的相干叠加。取两分支等幅、相位为零，归一化态为 $|\chi\rangle=(|0\rangle+|1_\phi\rangle)/\sqrt2$。展开左右两边的叠加后，平均场只有一项不为零，系数是二分之一。平方之后，因子变成四分之一。

光子通量则先计算场算符的乘积，再取平均。它只有单光子分支贡献，而这个分支的概率为二分之一。两种量看起来可以有相同的时间形状，纵轴系数却不同。

$$
\langle b(t)\rangle_\chi=\frac{\phi(t)}2,\qquad |\langle b(t)\rangle_\chi|^2=\frac{|\phi(t)|^2}{4}
$$

这是平均场的模平方。只要制备相位固定，它保留真空与单光子分支间的相干。

$$
\langle b^\dagger(t)b(t)\rangle_\chi=\frac{|\phi(t)|^2}{2},\qquad \langle b^\dagger(t)b(t)\rangle_{1_\phi}=|\phi(t)|^2
$$

前者是等幅叠加态的光子通量，后者是纯单光子态的通量。它们与平均场平方应分别标注。

## 把包络写成可核算的时间尺度

声明的包络为 $\phi(t)=\sqrt\kappa\,\operatorname{sech}(\kappa t/2)/2$。令 $x=\kappa t$，归一化只剩对无量纲曲线的积分。利用双曲正切的导数是双曲正割平方，整条时间轴上的权重恰好为一。

选取 $\kappa/(2\pi)=10.4\,\mathrm{MHz}$，一个无量纲时间单位为 $1/\kappa\simeq15.30\,\mathrm{ns}$。强度降到峰值一半时，双曲余弦等于平方根二，得到强度半高全宽约 $53.95\,\mathrm{ns}$。这个宽度是所选理想包络的计算值。

$$
\int_{-\infty}^{\infty}\frac14\operatorname{sech}^2(x/2)\,dx=1
$$

变量替换同时改变横轴与纵轴，不能把有量纲包络直接当作无量纲概率密度。

$$
T_{\rm FWHM}=\frac{4\operatorname{arcosh}(\sqrt2)}{\kappa}
$$

这是强度的半高全宽。若对振幅定义半高，得到的宽度不同。

错时脉冲与固定接收模式

每单位无量纲时间的概率 $|\phi_1(x)|^2$

无量纲时间 $x=\kappa t$

- 接收模式
- 延迟发射

原创理想强度曲线，定义在整条时间轴上。发射脉冲延迟两个无量纲时间单位；有限记录的模式重叠另由复采样计算。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

## 用一个可控源复算同样的包络

要产生这种波形，可以先给源指定剩余激发概率，再反求它随时间的释放率。通量等于剩余概率的负导数；用通量除以剩余概率，就得到瞬时释放率。这是一个理想 Markov 源的反向设计。

在无限早开始的理想化情况下，生存概率 $S(t)$ 是下降的逻辑斯谛曲线。释放率 $\lambda(t)$ 从小到大打开，输出振幅 $\sqrt{\lambda S}$ 便得到双曲正割。数值实验在有限时刻启动，用 $S(t)/S(0)$ 条件化初态，并在记录里保留末尾剩余概率。

这个源直接计算接口包络与模式投影，适合检查时序、频率与损耗的作用。要复算论文的控制脉冲，则需进一步求解发射器与传输腔的耦合，加入其频率修正和实际参数。

$$
S(t)=\frac{1}{1+e^{\kappa(t-t_c)}},\qquad \lambda(t)=-\frac{\dot S}{S}=\kappa[1-S(t)],\qquad \lambda S=\frac\kappa4\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\kappa(t-t_c)}2\right)
$$

生存概率、输出通量和控制率来自同一个函数，因而可以逐时刻检查概率守恒。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

## 限定复算如何变成研究起点

先把无损、零失谐、匹配时序下的数值模式积分与解析值比较，再改变一个条件，预测差异会落在收集率还是条件保真度上。保存复数记录后，换一个接收模式就能重算，而不必重新生成发射过程。

进一步研究真实接口时，可按需要加入接收腔动力学、频率漂移、滤波与相位噪声。每加入一种效应，都应保留一个能退回本章理想包络的极限。这样，简单的可核算联系就成为更复杂模型的参照。

## 动手检验预测

### [复算选定的理想观测映射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-node-photon-collection/)

1. 在默认接收模式下保存复包络，确认模型版本、时间窗口与归一化。
2. 把无量纲时间乘十五点三零纳秒，求强度半高全宽，并与解析值比较。
3. 分别构造纯单光子通量、等幅真空叠加态通量与其平均场平方，解释三条曲线的归一化因子。

## 练习与解释性答案

1. 纯单光子的平均场为零，是否表示探测器收不到光？

   展开解释

   不是。光子计数依赖场算符乘积的平均值，纯单光子有非零通量；平均场测量依赖不同光子数分支之间的相干。

2. 等幅真空叠加态的平均场平方积分是多少？若误当作光子通量，会差几倍？

   展开解释

   归一化模式给四分之一。该叠加态的总平均光子数是二分之一，所以两者差两倍；纯单光子通量的积分则为一。

3. 复算出理想包络宽度，能否据此宣称复现了论文的量子比特传输保真度？

   展开解释

   不能。包络宽度只检查一个时间模式的尺度。完整传输还依赖接收、损耗、退相干和量子操作，并需要与对应的过程层析数据比较。

[上一章：收到一个光子，还要问收到的是哪一种](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/collected-temporal-modes/) [下一章：把一次好看的散射变成可重复的研究](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/reproducible-waveguide-study/)

## 来源与计算范围

1. [Kurpiers et al., Deterministic quantum state transfer and remote entanglement, Nature 558, 264–267 (2018)](https://arxiv.org/abs/1712.08593v1)

   固定预印本 v1，二〇一七年十二月二十二日，图二 c、f 与附录 C。复算理想双曲正割包络，以及真空与单光子叠加态的平均场映射，声明采用十点四兆赫尺度。不分发实验数据或原文图；复算范围不含传输效率与过程层析。

2. [Sandbox Physics FR11, reproducible ideal temporal-mode benchmark](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/frontier/fr11/reproduce-node-benchmark.mjs)

   复算理想双曲正割的归一化、有限窗口生存概率、模式重叠，以及平均场平方四分之一与通量二分之一的区别。参数和计算参考随脚本保存，未引入测量点。