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title: "光离开以后，怎样仍把它算进去"
description: "消去环境振幅，推导记忆核与 Markov 近似，再把腔内激发概率接到输出光子通量。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/input-output-markov/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/waveguide-qed/input-output-markov/"
last_modified: "2026-10-28"
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[腔与波导量子电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/)

L2 · 第 2 章

# 光离开以后，怎样仍把它算进去

Sandbox Physics · 2026-10-28

开放系统把向外传播的光压缩成衰减率，但这一步有条件：环境必须忘得足够快。保留环境时，过去发出的振幅可以影响现在；近似成立时，过去的一整段历史才缩成当前振幅旁边的一个系数。

## 开始前需要什么

读过第一章，能区分振幅与激发概率。求导表示瞬时变化率，积分把许多短时间片的贡献相加。本章解释如何用积分消去环境，以及何时能把延迟忽略。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/atom-cavity-exchange/)

- 从环境振幅的形式解说明记忆核的来历。
- 区分振幅衰减率、激发概率衰减率与输出通量。

## 先把系统与环境一起写下来

系统振幅为 $c(t)$，环境第 $q$ 个模的振幅为 $b_q(t)$，两者都无量纲。$\Delta$ 与 $\omega_q$ 是相对参考频率的角频率；复耦合 $g_q$ 也以每秒表示，相位描述耦合的相对约定。下面两个方向的耦合互为复共轭，交换哈密顿量因而为厄米，无损时总概率守恒。

为求环境的解，把第二式乘上 $e^{i\omega_qt}$。按乘积求导法则，自由转动项恰好抵消，只留下源 $c(t)$。再从初始时刻积分，就得到下一节的历史表达式。

$$
\dot c=-i\Delta c-i\sum_qg_qb_q,\qquad\dot b_q=-i\omega_qb_q-ig_q^*c
$$

同一耦合在两个方向取复共轭，这保证无损时概率守恒。

$$
\frac d{dt}\!\left(e^{i\omega_qt}b_q(t)\right)=-ig_q^*e^{i\omega_qt}c(t)
$$

这一步称为积分因子法：先去掉已知的自由转动，再累加系统发来的振幅。

## 消去一个振幅，要留下它的历史

让系统激发振幅为 $c(t)$，环境第 $q$ 个模的振幅为 $b_q(t)$。频率都相对选定参考频率表示。环境初始为空时，某个模现在的振幅，是系统此前在每个时刻发给它的振幅之和；每一份还要乘上发出后积累的相位。

把这个积分解代回系统方程，环境变量消失了，过去的系统振幅却留下来。这就是记忆核：它给不同年龄的历史分配不同的复权重。环境有许多模式，也不自动保证这些权重会迅速抵消。

$$
b_q(t)=-ig_q^*\int_0^t e^{-i\omega_q(t-s)}c(s)\,ds
$$

积分变量是发射时刻；指数记录从发射到现在的自由传播相位。初始有光时还需加自由入射项。

$$
\dot c(t)=-i\Delta c(t)-\int_0^t K(t-s)c(s)\,ds,\qquad K(u)=\sum_q|g_q|^2e^{-i\omega_qu}
$$

频率以每秒表示，核的量纲是每秒平方，因此积分后与振幅变化率量纲一致。

对应阅读：Gardiner and Collett · Sheremet et al.

## 什么条件让历史缩成一个衰减率

如果相关频率附近的环境密度与耦合都很平缓，许多不同频率的相位很快散开，记忆核只在极短的时间里明显。假如系统在这段时间内几乎没变，就可以把积分中的过去振幅换成当前振幅，再把积分上限延伸到足够远。

积分的实部给激发概率衰减率 $\Gamma$ 的一半，虚部给频率修正 $\delta\omega$。这两个数必须来自同一个环境。把频率修正并入失谐后，系统振幅作指数衰减。近带边、窄带滤波器或长传播延迟，都可能破坏刚才的时间尺度分离。

$$
\dot c\simeq-\left[i(\Delta+\delta\omega)+\frac{\Gamma}{2}\right]c,\qquad |c(t)|^2=e^{-\Gamma t}|c(0)|^2
$$

激发概率是振幅模平方，所以它的衰减率是振幅衰减率的两倍。Markov 近似省掉了可被分辨的环境记忆。

## 一个端口把腔内振幅接到传播场

考虑只有一个输出端口的腔。腔振幅 $c_c$ 无量纲；传播单光子包络 $\xi(t)$ 用每秒平方根的倒数表示；模平方给每秒流出概率。选定输入与输出的相位后，端口关系写成下面的形式。

输出有两部分：直接经过端口的入射光，以及腔重新发出的光。它们要先加振幅，再算通量。它会改变输出相位与脉冲形状。这个无损单端口腔的稳态单色输入与输出强度相同；出现强度凹口还需另一个输出或损失通道。若只把腔激发概率乘一个比例加到入射强度上，便丢掉了干涉。

在没有入射光、腔里起初有一个光子的情况下，输出通量恰好等于腔激发概率的流失率。原子与腔一起存在时，还要先算二者的交换；腔激发概率能下降，也能在原子回馈后再次上升。

$$
\dot c_c=-\left(i\Delta_c+\frac{\kappa}{2}\right)c_c-\sqrt\kappa\,\xi_{\rm in},\qquad \xi_{\rm out}=\xi_{\rm in}+\sqrt\kappa\,c_c
$$

这里的线性单激发腔与一个无记忆端口相连。若改输入场的相位约定，两处符号要一起改变。

对应阅读：Gardiner and Collett · Sheremet et al.

## 例题里少掉的概率去了哪里

一个初始光子从空输入端口衰减出去。取 $\kappa/(2\pi)=10\,\mathrm{MHz}$，则激发概率寿命 $1/\kappa\simeq15.9\,\mathrm{ns}$。等待三个激发概率寿命，腔里剩 $e^{-3}\simeq0.0498$，离开的概率为 $0.950$。两者相加为一。

加入另一条无法收集的损耗端口后，腔的总衰减率要包含它。测到的输出只占总流失的一部分。后面比较量子节点时，收集概率与已经收集到的光子有多像目标模式，要分别计算。

$$
P_{\rm cav}(T)=e^{-\kappa T},\qquad P_{\rm out}(T)=\int_0^T\kappa e^{-\kappa t}\,dt=1-e^{-\kappa T}
$$

积分给有限观测窗口内已经离开的概率。窗口结束时未发射的概率仍留在系统中。

## 动手检验预测

### [比较系统激发概率和流出的光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/structured-bath-output-ports/)

1. 先预测增大端口耦合后，系统振荡与输出脉冲会怎样改变。
2. 只改变端口参数，比较原子、浴中的激发概率与各条输出通道的累计概率。
3. 寻找系统激发概率与指数衰减差异最明显的时间段，用环境记忆或相干交换解释它。

## 练习与解释性答案

1. 激发概率寿命是一百纳秒时，振幅衰减到初值的自然指数倒数需要多久？

   展开解释

   两百纳秒。激发概率是振幅的模平方，振幅的指数衰减率小一倍。

2. 总衰减中四分之三进入收集端口。等到系统完全衰减后，收集到的概率是多少？

   展开解释

   在两条损耗通道都无记忆、分支比恒定且初始只有一个激发时，概率是四分之三。它没有告诉我们光子的时间形状。

3. 环境里有许多模式，为什么仍可能不能使用 Markov 近似？

   展开解释

   关键是模式的频谱与传播造成的相关时间。带边或延迟路径可以让环境在系统变化期间仍记得过去，模式数量本身不决定记忆长短。

[上一章：一个激发怎样从原子走进光里](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/atom-cavity-exchange/) [下一章：环境什么时候会把光送回来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/bandwidth-and-return/)

## 来源与计算范围

1. [Gardiner and Collett, Input and output in damped quantum systems, Phys. Rev. A 31, 3761 (1985)](https://doi.org/10.1103/PhysRevA.31.3761)

   第二节说明旋波耦合、平坦浴假设及输入输出边界关系。课程明确采用自己的端口相位约定，并将有限带宽链与白噪声输出端口分别处理。

2. [Sheremet et al., Waveguide quantum electrodynamics, Rev. Mod. Phys. 95, 015002 (2023)](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.95.015002)

   理论部分与附录 A 提供单激发传播和输入输出关系的背景。本课程的双振幅例题与示意图由作者独立计算、绘制。