--- title: "收到一个光子，还要问收到的是哪一种" description: "用复包络计算收集概率、条件模式保真度和无条件目标权重，比较损耗、错时与失谐的作用。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/collected-temporal-modes/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/waveguide-qed/collected-temporal-modes/" last_modified: "2026-10-28" --- [腔与波导量子电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/) L3 · 第 6 章 # 收到一个光子，还要问收到的是哪一种 Sandbox Physics · 2026-10-28 接收器要接住的不只是一份能量，还包括它到达的节奏与相位。光子可能大多丢失，留下的形状却很好；也可能几乎全部到达，却与接收器的模式不合。把这两件事分开，才知道量子节点该改善传输还是改善波形。 ## 开始前需要什么 第二章的输出包络与第五章的复记录。知道复数乘共轭后取模平方可得到概率。本章介绍时间模式、内积与条件概率，并在公式旁解释积分如何比较两个波形。 [回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/output-records/) - 从一份复包络记录分别算出三个接口指标。 - 解释损耗、错时和相位旋转为什么影响不同的指标。 ## 把接收器写成一个时间模式 把接收器希望接收的复包络记为 $u(t)$，观测窗口内的模平方积分取一。它定义了一个时间模式：振幅在什么时候大、相位随时间怎样走。模式中的一个光子，是许多可能到达时刻的相干叠加。 实际收集端口的未归一化包络是 $\xi(t)$。先把模平方积分，得到光子在这个窗口进入端口的概率 $P_{\rm col}$；再用接收器的共轭模式乘它、沿时间相加，得到目标模式的振幅。两个步骤次序不同，保留的信息也不同。 $$ \int_0^T|u(t)|^2dt=1,\qquad P_{\rm col}=\int_0^T|\xi(t)|^2dt,\qquad A_u=\int_0^T u^*(t)\xi(t)\,dt $$ 时间模式具有每秒平方根的倒数量纲，三个积分结果都无量纲。内积保留相位相消。 ## 三个数各自回答一个问题 收集概率回答有多大机会收到光子。条件模式保真度 $F_{\rm cond}$ 回答在已经收集到的那些事件里，光子有多像目标模式。无条件目标权重 $W_u$ 把两者合起来，给每次尝试落入目标单光子态的概率。 若 $P_{\rm col}=0$，条件保真度没有定义。只报一个很高的条件值，可能掩盖极低的成功概率。反过来，只报收集率，也可能掩盖接收器根本无法接受的相位或时序。 这里的单光子输出在给定端口中是一个纯模式。若存在无法记录的随机相位或频谱混合，需要密度矩阵来表示；不能把不同次实验的复振幅直接平均后沿用纯态公式。 $$ F_{\rm cond}=\frac{|A_u|^2}{P_{\rm col}},\qquad W_u=|A_u|^2=P_{\rm col}F_{\rm cond} $$ 这个保真度计算光子与指定单光子时间模式的重叠。 ## 损耗可以不改变已经到达的形状 若一个理想、频率无关的分路只让比例 $\eta$ 的光进入收集端口，实际包络变成 $\sqrt\eta\,\xi_0$。内积也乘相同平方根。于是收集概率与目标权重都缩小，归一化后的条件保真度保持不变。 完整例题：收到光子的概率为 $0.60$，其中条件模式保真度为 $0.90$。每次尝试的目标权重为 $0.54$。即使把模式形状完全修好，保持同样损耗时也最多达到 $0.60$。若接收模式固定，只有减少损耗或把更多振幅转进它所接受的模式，才能继续提高成功率。 ## 强度一样，相位仍能让重叠消失 让两个脉冲的强度完全相同，只给一个脉冲加随时间旋转的相位。看强度曲线不会发现区别；内积里，不同时刻的复箭头却可以互相抵消。固定的整体相位只会转动最终箭头，不改变保真度，随时间改变的相位才会改变形状匹配。 取整条时间轴上归一化的双曲正割模式 $\phi_\kappa$。同一波形错开 $\delta t$ 时，重叠振幅由下面的解析式给出。例如 $\kappa\delta t=2$，振幅约为 $0.851$，保真度约为 $0.724$。有限窗口需要用保存的采样重新积分，不能直接照搬无限窗口的数。 $$ \phi_\kappa(t)=\frac{\sqrt\kappa}{2}\operatorname{sech}\!\left(\frac{\kappa t}{2}\right),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}|\phi_\kappa|^2dt=1 $$ 双曲正割等于双曲余弦的倒数；它给一个左右对称、两侧平滑衰减的时间包络。 $$ \int_{-\infty}^{\infty}\phi_\kappa(t)\phi_\kappa(t-\delta t)dt=\frac{\kappa\delta t/2}{\sinh(\kappa\delta t/2)} $$ 零错时的极限是一。错时影响模式重叠，即使全部光子仍到达同一个端口。 错时脉冲与固定接收模式 每单位无量纲时间的概率 $|\phi_1(x)|^2$ 无量纲时间 $x=\kappa t$ - 接收模式 - 延迟发射 原创理想强度曲线，定义在整条时间轴上。发射脉冲延迟两个无量纲时间单位；有限记录的模式重叠另由复采样计算。 对应阅读：Sandbox Physics FR11 ## 完整例题，只有后半段反相 先取一个容易积分的理想接收模式：在 $0