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title: "一个激发怎样从原子走进光里"
description: "从原子与腔的往返交换出发，建立概率振幅、失谐和传播波包的图像。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/waveguide-qed/atom-cavity-exchange/"
last_modified: "2026-10-28"
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[腔与波导量子电动力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/)

L1 · 第 1 章

# 一个激发怎样从原子走进光里

Sandbox Physics · 2026-10-28

把一个激发交给原子，光却不一定马上离开。若原子只接着一个腔模，激发会在二者之间来回交换；若腔接着长波导，光还能传播出去。先弄清“现在在哪儿”，后面才有办法问“送出去的光子是什么态”。

## 开始前需要什么

高中三角函数和概率相加。先把复数理解为平面上的箭头：长度平方给概率，箭头方向记录相位。本章介绍量子态、概率振幅与失谐；不用预先学过量子场论。

- 由两个振幅写出激发在原子与腔中的概率。
- 用耦合与失谐解释一次完整交换为什么成功或失败。

## 先只留两个可能

设想一颗原子已经激发，旁边的腔里没有光子。腔只保留一种能与原子交换能量的振动方式，称为腔模。暂时关闭所有损耗，系统只有两种可能：原子激发、腔空着，或原子回到基态、腔里有一个光子。

把这两种可能写成 $|e,0\rangle$ 与 $|g,1\rangle$。字母记录原子，数字记录腔。量子态给每种可能配一个复振幅 $c_e$ 或 $c_c$；测量原子激发的概率是 $|c_e|^2$。同一次测量的两个结果互斥，所以概率之和为一。

复数箭头并不表示原子沿着某个方向转动。它的方向决定不同过程相加时能否增强或抵消。只看箭头长度，会漏掉后面光子重新吸收时最关键的信息。

$$
|\psi(t)\rangle=c_e(t)|e,0\rangle+c_c(t)|g,1\rangle,\qquad |c_e|^2+|c_c|^2=1
$$

这是单激发子空间。它把问题缩成两个随时间改变的复数，同时保留交换所需的相位。

一个激发在原子与腔之间交换

激发概率 $P$

无量纲时间 $gt$

- 原子
- 腔

原创解析参考，共振、无损、单模。两条曲线在每个时刻相加为一。

对应阅读：Jaynes and Cummings · Sheremet et al.

## 耦合使两支箭头一起转

取时间单位为秒，原子与腔的频率差 $\Delta=\omega_a-\omega_c$ 以及耦合 $g$ 都用每秒弧度表示。在随腔频率旋转的参考系里，快速的共同转动被去掉，剩下的方程只描述交换。我们采用 $g>0$ 的相位约定，并作旋波近似：保留交换一个激发的项。耦合、失谐和衰减率须远小于原子与腔的载频；超强耦合时需要恢复被略去的项。

导数表示振幅每秒改变多少。方程右边的虚数因子让一支振幅推动另一支转动，所以某一时刻原子激发概率不变，也不代表整个量子态停止变化。初态中只有原子振幅为一；两条方程便可从这个起点连续求解。

$$
\dot c_e=-i\Delta c_e-igc_c,\qquad \dot c_c=-igc_e
$$

星号表示复共轭，即把复箭头相对实轴翻转。实部给沿实轴的分量。

$$
\frac{d|c|^2}{dt}=2\operatorname{Re}(c^*\dot c),\qquad \frac d{dt}(|c_e|^2+|c_c|^2)=0
$$

分别用前面的振幅方程代入，两个交换项抵消；纯失谐只改变相位。这给出了总概率守恒。

## 算出第一次完整交换

在共振 $\Delta=0$ 时，对第一式再求一次导数，代入第二式，得到一个与弹簧振动形式相同的方程。满足初态的解是原子振幅的余弦与腔振幅的负虚数正弦。平方后，两边的激发概率交替起落。

完整例题：取 $g/(2\pi)=5\,\mathrm{MHz}$。第一次把激发全部交给腔，需要 $gt=\pi/2$，因此 $t=50\,\mathrm{ns}$。此时原子激发概率为零，腔激发概率为一；再等同样长的时间，激发回到原子。这里讨论的是无损单模模型。

$$
\ddot c_e=-g^2c_e,\qquad P_e=\cos^2(gt),\qquad P_c=\sin^2(gt)
$$

激发概率振荡的周期是振幅振荡周期的一半；比较实验频率时必须先说明看的是哪一个量。

## 频率不合时，交换会少一截

如果原子与腔的频率不同，原子振幅在交换过程中还会相对腔多转一个角度。两支箭头不能一直朝着最有利于转移的方向叠加。交换仍然发生，但腔里最多达到的激发概率下降。

解同一组方程，振荡角频率为 $\Omega=\sqrt{\Delta^2+4g^2}$。例如失谐取 $\Delta=2g$，腔的最大激发概率只有二分之一。较快的振荡与较小的转移幅度可以同时出现。只挑一个较早的峰，不能证明耦合更强。

接上波导后，还得跟踪不同位置上的光子振幅。每一小段波导都多添一种“激发可能在这里”的选项。这条思路从两个复数自然延伸到一串复数，是下一章建立开放系统的起点。

$$
P_c(t)=\frac{4g^2}{\Delta^2+4g^2}\sin^2\!\left(\frac{\sqrt{\Delta^2+4g^2}\,t}{2}\right)
$$

把失谐设回零，便恢复完整交换；把失谐远远调大，交换受到抑制。

对应阅读：Jaynes and Cummings · Sheremet et al.

## 动手检验预测

### [让腔接过原子的激发](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cavity-quantum-exchange/)

1. 先观察原子与腔激发概率的交替，预测共振时两者何时交换位置。
2. 只改变失谐，比较腔激发概率的峰值与交换节奏，再回到共振。
3. 用本章的最大转移概率解释观察结果，并说明损耗会怎样破坏完整返回。

## 练习与解释性答案

1. 若耦合 $g$ 减半，第一次完整交换需要多久？

   展开解释

   时间与耦合成反比，所以从五十纳秒变成一百纳秒。耦合的单位是角频率，换算时应保留圆周率。

2. 原子激发概率在某一时刻等于二分之一。能据此确定接下来激发会流向哪边吗？

   展开解释

   还不能。相同激发概率可以配上不同相对相位，之后的交换方向不同。需要两支复振幅，或等价的相位信息。

3. 把腔换成一条很长的波导，为什么两个振幅不够用了？

   展开解释

   光可以占据许多不同位置与传播模式；它们的相位决定以后能否重新汇聚到原子。一个总光子激发概率无法保留这些信息。

[下一章：光离开以后，怎样仍把它算进去](https://sandboxphysics.com/zh/stories/waveguide-qed/input-output-markov/)

## 来源与计算范围

1. [Jaynes and Cummings, Comparison of quantum and semiclassical radiation theories, Proc. IEEE 51, 89–109 (1963)](https://doi.org/10.1109/PROC.1963.1664)

   第二节 B，第九十三至九十五页，式三十五、三十六：核读 bayes.wustl.edu 作者档案扫描版中的失谐单模交换。第一章独立推导其旋波、单激发近似下的双振幅方程。

2. [Sheremet et al., Waveguide quantum electrodynamics, Rev. Mod. Phys. 95, 015002 (2023)](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.95.015002)

   理论部分与附录 A 提供单激发传播和输入输出关系的背景。本课程的双振幅例题与示意图由作者独立计算、绘制。