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title: "先把轨道算对，再造一只钟"
description: "从有限质量引力建立轨道与质心单位，并用孤立行星严格重复的凌星间隔检验测时。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/orbits-before-clocks/"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/transit-timing/orbits-before-clocks/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从行星轨道读到凌星计时](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/)

L1 · 凌星计时变化

# 先把轨道算对，再造一只钟

Sandbox Physics · 2026-10-28

凌星时刻是轨道上的一个事件。要可靠地算它，先让恒星与行星一起运动，明确观测方向，再检验伴星质量消失时应当恢复的重复时刻表。

## 开始前需要什么

需要高中三角函数与牛顿引力。向量在这里就是一组分量：位置有两个坐标，速度也有两个分量。下一章会用导数寻找投影距离的最小值。

## 先规定从哪一边看

把轨道平面画在纸上，让观测者位于横轴正向很远处，朝恒星看。纸面的纵向就是恒星图像上的横向。行星来到靠近观测者的一侧，才可能遮住恒星；转到恒星背后，则不是这类凌星。

计算中要分清两种坐标。质心坐标从三天体共同的质量中心量起；星心坐标则把恒星位置从行星位置里扣掉。积分使用前者，望远镜看到的投影使用后者。恒星虽只轻轻摇摆，这一步相减仍要保留。

$$
\boldsymbol r_{p\star}=\boldsymbol r_p-\boldsymbol r_\star,\qquad \boldsymbol v_{p\star}=\boldsymbol v_p-\boldsymbol v_\star
$$

两项位置都以长度计，速度都以长度除以时间计；相对速度就是相对位置的时间导数。

对应阅读：Deck et al. · Lithwick

## 三个天体都要响应引力

对每个天体，把另外两个质量带来的加速度相加。位移向量指向吸引它的天体，除以距离的三次方之后，力的强度便按距离平方反比变化。这里不对引力做软化。

任意一对天体之间的力大小相等、方向相反，所以总动量守恒。力又沿两者连线，总角动量也守恒。把所有动能和成对势能加起来，得到孤立牛顿系统守恒的总能量；单颗行星的能量仍然可以与另一颗交换。

$$
\ddot{\boldsymbol r}_i=G\sum_{j\ne i}m_j\frac{\boldsymbol r_j-\boldsymbol r_i}{|\boldsymbol r_j-\boldsymbol r_i|^3}
$$

加速度乘质量才是力。国际单位制中的引力常数单位为立方米除以千克及秒的平方。

$$
E=\sum_i\frac{m_i v_i^2}{2}-\sum_{i<j}\frac{Gm_im_j}{r_{ij}},\qquad L_z=\sum_i m_i(x_i v_{y,i}-y_i v_{x,i})
$$

能量和角动量提供相互独立的数值检查；其中一个误差很小，还不足以保证凌星时刻也算得准。

对应阅读：Deck et al. · Deck & Agol

## 孤立行星给出一个精确零例

先把外行星的引力质量设为零。恒星和内行星仍绕共同质心运动。两者加速度相减，相对轨道受到的引力参数包含两者质量之和；若轨道为圆，引力恰好提供转弯所需的加速度。

椭圆轨道也服从相同周期关系，只需把圆半径换成半长轴。偏心率改变沿途的速度和停留时间，却没有改变每圈回到同一观测方位这一事实。连续几何凌星应当落在严格线性的历表上。

$$
n^2a^3=G(M_\star+m_1),\qquad P=\frac{2\pi}{n}
$$

角频率单位是弧度除以时间。忽略行星质量通常是小近似；这里的数值零例保留这一质量。

对应阅读：Deck et al. · Lithwick

## 单位定好之后就不再换钟

选初始内行星半长轴作长度单位，恒星质量作质量单位，再令数值引力常数为一，时间单位就被固定下来。单位半长轴的内轨道绕一圈约需六点二八个时间单位，并不是一个。

教学恒星采用一个太阳质量，内行星质量比为百万分之三十，初始物理周期取十二天。这些选择对应约十分之一天文单位的初始半长轴。长时间积分始终使用初始周期标时，后来轨道周期受扰动时，不能顺便把已经过去的时间也重新定义。

$$
t_0=\sqrt{a_{1,0}^3/(GM_\star)},\quad P_{1,0}/t_0=\frac{2\pi}{\sqrt{1+m_1/M_\star}},\quad t_{\rm days}=\frac{12\,t}{P_{1,0}/t_0}
$$

末式的时间变量取数值单位。十二天是教学模型采用的尺度；真实 Kepler-289 教程保留原表中的天数。

对应阅读：Deck et al. · Greklek-McKeon et al.

## 完整做一次两体测时检验

把内行星放在靠观测者一侧的近心点出发。圆轨道中，这只是任选的起点。第一次未来凌星应当发生在一个周期以后；即使增加偏心率，每次返回的间隔仍相同。

令伴星质量为零，积分二百个初始周期。先别拟合钟表，逐次把内部凌星时刻与解析周期的整数倍比较。默认数值分辨率下，最大绝对时刻差小于十分之一秒；扣去拟合钟后，残差极差小于五十分之一秒。这些小量是围绕物理零值的数值残差。

末端事件要另作约定。根若恰在要求的结束时刻，浮点运算可能把它落在区间内，也可能落在区间外。独立基准只比较距离末端至少千分之一初始周期的根，并把这一约定保存下来。

| 采用的输入 | 数值 | 应当出现什么 |
| --- | --- | --- |
| 内行星质量比 | 0.000030 | 恒星也运动 |
| 初始物理周期 | 十二天 | 数值周期有固定天数换算 |
| 伴星引力质量 | 零 | 几何遮星严格重复 |
| 数值积分基线 | 初始二百圈 | 必须检查累积测时漂移 |

对应阅读：Deck et al. · Lithwick

## 加上伴星，让变化自己出现

再赋予第二颗行星非零质量，仍积分同一条引力定律。一次次会合改变了内行星的位置和速度，测时起伏应当从这些位置穿过观测方向时自然出现。若直接往时刻上加一条正弦曲线，就跳过了这里要研究的物理。

默认伴星取二十地球质量，初始周期比二点零四，内行星起初为圆轨道。保存的二百圈记录中，内行星测时残差极差约二十九点五分钟。这个数属于上述合成初始条件；下一章会逐步说明怎样由遮星事件和拟合钟得到它。

对应阅读：Deck et al. · Deck & Agol

## 亲手观察

### [恢复孤立行星的钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/transit-timing-variations/)

1. 打开独立的钟，预测物理测时变化应当多大。
2. 保持天数尺度，与接近二比一比较小小的数值残差。
3. 阅读模型说明，指出这里计算的是哪一种坐标时刻。

## 练习与答案

把坐标原点一直固定在恒星上，为什么需要小心？

恒星也在加速，随它运动的参考系不是惯性系，行星相对运动方程须加入对应的间接加速度。先积分三个惯性天体，最后扣去恒星位置，可以直接保留这项效应。

无量纲参数全不变，只把采用的物理内周期加倍，分钟单位的测时残差怎样变？

数值轨道和无量纲事件序列完全相同，时间单位加倍，所以分钟残差也加倍。若恒星质量固定，物理长度尺度还会按二的三分之二次方增长。

偏心的孤立行星留下缓慢弯曲的测时残差，先检查什么？

先细化积分与事件求根，直接同解析开普勒周期的整数倍比较。偏心率本身不会破坏重复的几何时刻表；弯曲残差可能来自积累的数值相位误差。

[上一篇：行星为什么会晚一点遮住恒星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/late-planet/) [下一篇：从一次次遮星得到测时残差](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-timing/crossings-and-residuals/)

## 来源与计算范围

1. [Lithwick, Xie & Wu, Extracting Planet Mass and Eccentricity From TTV Data (2012)](https://arxiv.org/abs/1207.4192v2)

   固定 v2，第二节、公式一至十及附录 B：自由偏心率向量、近共振近似的适用条件。

2. [Deck & Agol, Measurement of Planet Masses with Synodic Chopping (2015)](https://arxiv.org/abs/1411.0004v1)

   固定 v1，第二至第五点一节、公式十至十五及附录 A：凌星采样如何混叠分量，PH3 案例如何比较加入会合踢动前后的质量约束。

3. [Deck et al., TTVFast (2014)](https://arxiv.org/abs/1403.1895v1)

   固定 v1，第二点一点三、第二点二至三和第三节：几何凌星中心取前景天体的星心投影距离极小值。教学积分复用本站 RK4 核并独立比较 IAS15，不移植 GPL TTVFast 代码。

4. [Greklek-McKeon et al., Kepler-289 Densities and Transit Timing (2023)](https://arxiv.org/abs/2208.00022v1)

   固定 v1，第二至三节、表一及图二至四、九至十，许可为 CC BY 4.0。作者先联合拟合遮星形状，再用三行星动力学拟合测得的时刻。