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title: "把被挡住的光一片片加起来"
description: "推导遮挡亮度积分，归一化二次临边昏暗律，再完整计算伴星混光怎样改变推得的半径。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/transit-evidence/weigh-the-hidden-light/"
last_modified: "2026-10-28"
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[行星从恒星前面经过](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/)

AC17 · L2

# 把被挡住的光一片片加起来

Sandbox Physics · 2026-10-28

凌星深度是被挡面积上的亮度总和，除以未遮挡恒星的总光量。把这个积分搭起来，就能看清半径比平方何时适用，以及较亮的经过路径和伴星为何改变答案。

## 开始前需要什么

先读《星光少了一小口，能看出什么》。需要圆面积与逐项相加的概念；这里的积分，就是把小贡献不断细分再相加。

## 定义观测者看到的圆盘

把恒星投影中心放在天空平面的原点，距离以恒星半径为单位，星盘半径便为一。不透明行星的半径比记为 $p=R_{\rm p}/R_\star$，两中心的投影距离记为 $z$。主凌星期间，行星位于恒星前面。

半径位置 $r$ 处，每单位投影面积送来的亮度记为 $I(r)$。小块 $\mathrm dA$ 贡献 $I(r)\mathrm dA$；在整个星盘上相加，得到主星基线光量，只在被挡处相加，得到损失。

若亮度处处相同，就能约掉。行星完整落在星盘内时，损失比例为 $p^2$，并不要求路径居中。部分重叠时，包括擦边凌星的中心时刻，分子对应两圆交出的透镜形区域。

$$
F_\star(p,z)=1-\frac{\displaystyle\int_{\mathrm{disk}\cap\mathrm{planet}} I(r)\,\mathrm dA}{\displaystyle\int_{\mathrm{disk}} I(r)\,\mathrm dA}
$$

凌星外的归一化主星通量为一。分子、分母采用同一亮度律与同一投影面积。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

## 给亮度一个径向分布

球形光球面上，定义 $\mu=\sqrt{1-r^2}$，即当地法线与视线夹角的余弦。二次临边律采用两个无量纲系数：

展开括号，得到常数项、正比于 $\mu$ 的项和正比于 $\mu^2$ 的项。半径 $r$、宽度 $\mathrm dr$ 的窄环面积为 $2\pi r\mathrm dr$，整盘便化成一圈圈相加。

需要的三个积分是 $\int_0^1 r\mathrm dr=1/2$、$\int_0^1 r\sqrt{1-r^2}\mathrm dr=1/3$ 和 $\int_0^1 r(1-r^2)\mathrm dr=1/4$。中间一个可令 $q=1-r^2$，于是 $\mathrm dq=-2r\mathrm dr$。代回各项，得到：

亮度必须保持为正。一组方便的有限取值是两个系数均非负、总和小于一，此时亮度向边缘下降且不会变负。若采用更广的系数组合，需要另外检验亮度与导数。

$$
I(\mu)=I(1)[1-u_1(1-\mu)-u_2(1-\mu)^2]
$$

$I(1)$ 是盘面中心的亮度。两个系数描述向边缘变暗的方式，取值随恒星与观测波段改变。

$$
F_{\star,0}=\pi I(1)\left(1-\frac{u_1}{3}-\frac{u_2}{6}\right)
$$

它先归一化同一颗二次亮度星盘，再用于计算凌星深度。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · batman author tutorial and pinned package 2.5.3

## 每一圈只积分被挡住的弧

行星中心偏离 $z$ 时，只遮住某些环带的一段圆弧。两圆边界相交处满足余弦定理；部分覆盖环带的角宽为：

这个做法保留行星的有限大小，也适用于接触附近。把整片被挡区域当成同一亮度，是小半径比近似；用于较大或擦边天体时，要检验近似误差。

交互计算先平滑积分端点，再计算环带积分。独立参考采用 Mandel–Agol 的解析分段。行星边缘恰好穿过星盘中心时，下载结果还保留单独求值的特殊椭圆积分式与 Cartesian 面积积分，参考库在该点的原始失败值也仍在。

$$
\Delta\theta(r)=2\arccos\!\left(\frac{r^2+z^2-p^2}{2rz}\right),\qquad F_{\rm blocked}=\int I(r)r\Delta\theta(r)\,\mathrm dr
$$

整圈被盖住时角宽为 $2\pi$，未覆盖时为零；上式只用于两圆相交的那段环带。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

## 完整算例：遮住亮星心

取 $p=0.1$、$u_1=0.6$、$u_2=0$。整个星盘的平均亮度为 $0.8I(1)$；中央一小片比平均更亮，遮光应超过百分之一的面积极限。

居中行星遮住半径零至 $p$ 的完整环带。仍用上面的代换，可得：

下方默认结果表来自实际合成记录，列出相应参数与曝光窗。可以依次比较完整与擦边路径、长曝光和混入光。表中数字描述给定数值实验，不代表真实恒星大气律具有这样的精度。

$$
\delta=\frac{(1-u_1)p^2+\frac{2u_1}{3}[1-(1-p^2)^{3/2}]}{1-u_1/3}=0.0124812
$$

精确损失约为百分之一点二五。若把这个深度直接当成均匀面积，会得到约零点一一二的半径比，原值则是零点一。

实际合成记录：圆轨道周期3.2888天，半长轴八倍恒星半径；中心深度按给定曝光窗积分。freeze-synthetic.ts 保存完整曲线与代表时刻测量。

| 情形 | 半径比 | 冲击参数 | 伴星光量比 | 曝光窗 · 秒 | 深度 · 百万分比 | 持续 · 小时 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 明暗星盘 | $0.12$ | $0.35$ | $0$ | $120$ | $1.71\times10^{4}$ | $3.35$ |
| 均匀面积极限 | $0.12$ | $0$ | $0$ | $120$ | $1.44\times10^{4}$ | $3.53$ |
| 擦边 | $0.18$ | $1.04$ | $0$ | $120$ | $8050$ | $1.77$ |
| 长曝光 | $0.07$ | $0.78$ | $0$ | $1800$ | $4780$ | $2.31$ |
| 混入伴星 | $0.18$ | $0.35$ | $1$ | $120$ | $1.92\times10^{4}$ | $3.55$ |

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

## 先加伴星，再归一化

令恒定、未分辨的伴星光量，是未遮挡主星光量的 $c$ 倍。凌星内外都加上这份光，再相除：

均匀完整凌星中，$p=0.12$ 对应主星损失零点零一四四。若伴星送来等量光，测得的损失变为零点零零七二；直接开平方会得约零点零八四九。把伴星留在模型中，才会在这个理想例子里恢复零点一二。

任务管线可能已经修正拥挤混光，教程采用的 TESS PDCSAP 产品就做过。保留原始元数据很要紧；重复套一次修正，光变就会在没有新观测的情况下被改掉。

$$
F_{\rm obs}=\frac{F_\star+c}{1+c},\qquad\delta_{\rm obs}=\frac{\delta_\star}{1+c}
$$

这里是伴星与主星光量比；目录若给的是主星占总光量比例，那是另一种定义。

对应阅读：MAST TESS Data Product Overview · Morton et al. 2016, False Positive Probabilities, arXiv v1

## 练习与解释性答案

1. 均匀星盘上，完整落在盘内的行星偏离中心，深度会变吗？

   展开解释

   重叠仍是完整行星面积，深度保持 $p^2$；弦长改变持续时间。要改变这个理想比较的深度，需要亮度梯度或部分重叠。

2. 伴星提供主星四分之一的光，主星百分之一的凹口会变成多少？

   展开解释

   用原深度除以一点二五，得到零点零零八。若忽略伴星并直接套面积极限，会把半径比低估到原值的根号一点二五分之一。

3. 环带与 Cartesian 积分一致，但临边系数不适合这颗恒星。数值检验说明了什么？

   展开解释

   它检验了两种方法怎样积分给定亮度分布，没有证明所选分布描述真实恒星；后者的不确定性要留在物理推断里。

## 动手检验预测

### [分别改变面积、亮度和混光](https://sandboxphysics.com/zh/labs/shadow-eclipse-lab/)

1. 选择均匀盘极限，移动路径，但保持中心时刻行星完整在盘内，先预测深度。
2. 回到临边昏暗，重复路径移动，指出积分中哪一部分改变了。
3. 固定行星半径与路径，加入伴星，先计算稀释后的深度，再查看读数。

[上一篇：星光少了一小口，能看出什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/a-bite-of-starlight/) [下一篇：用凌星时钟量一条弦](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/clocks-chords-and-density/)

## 来源与计算范围

1. [Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0210099v1)

   2002年10月3日第一版，ApJ 580,L171–L176。核读第2–4节均匀重叠、二次亮度归一化与表1特殊分段，第5节明确小半径比近似。现有档案 PDF 有较晚排版页首，这里固定提交版本。

2. [MAST TESS Data Product Overview](https://outerspace.stsci.edu/plugins/viewsource/viewpagesrc.action?pageId=14563420)

   官方档案说明 SAP 与 PDC 的处理差异，PDCSAP 已修正孔径截获比例与已知近邻拥挤；教程因此保留元数据而不重复修正。

3. [batman author tutorial and pinned package 2.5.3](https://lkreidberg.github.io/batman/docs/html/tutorial.html)

   作者文档说明解析二次临边光变与轨道约定。独立参考使用经 PyPI 核对的 batman-package 2.5.3。保留库的原始边界失败，并用已发表特殊椭圆积分式及独立 Cartesian 积分复核星盘中心接触；不把 GPL 内核复制到交互 Engine。

4. [Morton et al. 2016, False Positive Probabilities, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1605.02825v1)

   2016年5月10日第一版。第2.1–2.2、3、4.2、4.6–4.7节明确遮食假设、附加观测、天体假阳性范围、未分辨主星的半径问题和失败情况。没有运行 vespa 种群计算或重做行星确认。