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title: "用凌星时钟量一条弦"
description: "推导圆轨道的接触时刻、持续时间与条件恒星密度，再加入曝光平均，理解贴边拟合的非对称不确定性。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/clocks-chords-and-density/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/transit-evidence/clocks-chords-and-density/"
last_modified: "2026-10-28"
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[行星从恒星前面经过](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/)

AC17 · L3

# 用凌星时钟量一条弦

Sandbox Physics · 2026-10-28

凌星计时测量投影轨道怎样穿过星盘。加上半径比与周期，就能约束经过的弦，以及圆轨道条件下推得的恒星密度。能把时刻量得多好，还取决于曝光和亮度模型。

## 开始前需要什么

先读《把被挡住的光一片片加起来》。需要正弦与匀速圆周运动的图像；本章再介绍拟合目标，以及参数贴在边界时为何不能用对称误差概括。

## 把圆轨道投影到天空

令 $A=a/R_\star$，表示以恒星半径衡量的轨道半长轴。圆轨道周期为 $P$，倾角为 $i$；侧向正好看见轨道时为直角。主凌星中心时刻记为 $t_0$，相位是 $\phi=2\pi(t-t_0)/P$。

横向沿经过方向，纵向与它垂直。把轨道圆按倾角旋转并投影，得到：

中心附近，路径看起来近似水平直线，横向速度也变化不大。上式保留圆轨道曲率。这样，持续时间对应明确轨道条件，而不只是随意滑动圆盘的速度。

$$
x=A\sin\phi,\qquad y=b\cos\phi,\qquad b=A\cos i,\qquad z^2=A^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi
$$

冲击参数 $b$ 是中心时刻两者投影中心的距离；主凌星只发生在行星位于恒星前方的半圈。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3

## 找到四次接触

第一接触是两盘外切，满足 $z=1+p$；第四接触对应离开。行星能完整进盘时，第二、第三接触满足 $z=1-p$。擦边路径没有完整内凌时段。

先把距离改写成 $z^2=b^2+(A^2-b^2)\sin^2\phi$，再代外切条件，解出正的接触相位。乘 $P/(2\pi)$ 换成半段时间，最后加倍：

这个对称圆轨道模型的单次入凌时间为 $(T_{14}-T_{23})/2$。路径靠近边缘，总经过时间缩短，入凌和出凌所占比例也会改变。只量总宽度，比同时量这两种时间尺度丢失更多信息。

$$
T_{14}=\frac P\pi\arcsin\sqrt{\frac{(1+p)^2-b^2}{A^2-b^2}}
$$

凌星要求 $b<1+p$。若 $b<1-p$，把接触半径中的加号换成减号，得到 $T_{23}$；否则完整内凌时间为零。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1 · Kipping 2010, Finite Integration Time, arXiv v1

## 完整算例：从几何算到分钟

取 $p=0.1$、$b=0.5$、$A=10$、$P=3$ 天。外接触根号里的比例为 $0.96/99.75$，反正弦约为零点零九八三弧度。乘 $3/\pi$，得到 $T_{14}=0.09383$ 天，即二点二五二小时。

内接触换成 $0.56/99.75$，得到 $T_{23}=1.719$ 小时。每次入凌或出凌约十六分钟。若曝光三十分钟，一次测量就跨过比入凌更长的时段，用瞬时值描述它便不合适。

再把同一颗行星移到 $b=1.04$。外接触仍存在，内接触半径却小于路径偏离量，正确图像是擦边、没有完整内凌。若还对内接触式中的负数开平方，是用错了公式范围。

对应阅读：Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1

## 把轨道与引力接起来

Kepler 第三定律连接半长轴、周期与总质量。行星远轻于恒星时，可写 $M_\star=4\pi^2a^3/(GP^2)$。再除以恒星体积 $4\pi R_\star^3/3$，得到平均密度：

这个式子能在未分别求出恒星半径时给出密度尺度，却不给行星实际半径，后者仍需 $R_{\rm p}=pR_\star$。偏心轨道可能以另一种速度经过同一条弦，改变圆轨道拟合所推的密度；最后的原文导读再展开这个退化。

上面的合成算例给出约每立方米二千一百千克的圆轨道条件密度。它的轨道参数是人为给定的。后面真实 TESS 拟合得到另一组条件数值，两者不是对同一系统的两次观测。

$$
\rho_{\rm circ}=\frac{3\pi}{GP^2}\left(\frac a{R_\star}\right)^3
$$

周期用秒，配 SI 引力常数，密度便为千克每立方米。下标提醒我们，这里假设圆轨道。

对应阅读：Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3 · Maxted et al. 2016, Five WASP-South Planets, arXiv v1

## 比较之前，先平均一次曝光

一次曝光记录时间戳附近的一段加权光量。简单的均匀窗近似写成：

数值积分也要检查分辨率，接触附近尤其如此。交互计算保存了固定积分与更密独立时间平均的比较；真实教程另外细化两分钟窗。TESS 的积光和读出元数据仍保留，因为机载取样并不等同于连续打开快门。

长曝光磨圆凹口两肩。若忽略它，拟合可能改动路径与轨道尺度，把两肩磨圆。这是测量模型不同造成的参数偏移，曲线画得顺滑也解决不了。

$$
\overline F(t_j)=\frac1{\Delta t}\int_{t_j-\Delta t/2}^{t_j+\Delta t/2} F(t)\,\mathrm dt
$$

先平均预测光量，再与观测点比较。增加模型采样密度，与改变仪器曝光时长，是两件事。

对应阅读：Kipping 2010, Finite Integration Time, arXiv v1 · TESS Science Data Products Description, Revision F

## 拟合光量，保留不确定性的形状

观测归一化通量为 $f_j$，来源给的逐点标准误差为 $s_j$。在给定独立高斯误差假设下，拟合最小化：

半径、路径与临边亮度能彼此补偿。剖面法先固定一个冲击参数，重新拟合其余参数，再记下目标值升高多少。这样能看见几种相近形状连成的脊，以及哪些参数一起改变。

这个对称描述中的冲击参数不能为负。最佳值落在零时，一根向两侧等量延伸的误差棒会误导。应保留完整剖面，交代固定的亮度、混光与噪声假设；残差相关和其他光源模型，还需要后续检验。

$$
\chi^2=\sum_j\left[\frac{f_j-\overline F(t_j;\boldsymbol\theta)}{s_j}\right]^2
$$

参数包括半径比、路径、轨道尺度与时刻；实际教程还拟合局部基线。这个目标本身带有误差模型假设。

对应阅读：Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3 · TESS Science Data Products Description, Revision F

## 练习与解释性答案

1. 拟合出的入凌约十六分钟，曝光三十分钟。在每个时间戳计算精确瞬时轨道就够了吗？

   展开解释

   还不够。轨道几何精确，不代表考虑了时间平均；要把该几何对应的光量在曝光内积分，并细化到所需科学精度。

2. 恒星半径翻倍，测得半径比不变，行星实际半径怎样变？

   展开解释

   也翻倍。光变比值没有绝对长度单位，独立恒星半径提供这把尺。

3. 圆轨道拟合密度与独立恒星估计不合，一定是恒星估计错了吗？

   展开解释

   偏心经过速度、亮度或混光错误，以及换了变化光源，都可能改变拟合轨道尺度。先比较这些假设，再判断矛盾来自哪里。

## 动手检验预测

### [比较两种凌星时钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/shadow-eclipse-lab/)

1. 把路径移向边缘，先预测总持续时间与完整内凌时段怎样变。
2. 选择长曝光，保持半径和路径不变，缩短时间窗，跟踪曲线两肩。
3. 在高级设置改变轨道尺度，解释自己改变了哪一项圆轨道条件密度假设。

[上一篇：把被挡住的光一片片加起来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/weigh-the-hidden-light/) [下一篇：拟合一段固定 TESS 凌星光变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/transit-evidence/fit-the-tess-transit/)

## 来源与计算范围

1. [Mandel & Agol 2002, Analytic Lightcurves, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0210099v1)

   2002年10月3日第一版，ApJ 580,L171–L176。核读第2–4节均匀重叠、二次亮度归一化与表1特殊分段，第5节明确小半径比近似。现有档案 PDF 有较晚排版页首，这里固定提交版本。

2. [Kipping 2010, Finite Integration Time, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1004.3741v1)

   2010年4月21日第一版。第2节追踪接触移动与参数偏移，第3.3节分析弯曲段和接触附近的数值积分误差；平均时间窗与精确仪器取样核分别说明。

3. [TESS Science Data Products Description, Revision F](https://archive.stsci.edu/files/live/sites/mast/files/home/missions-and-data/active-missions/tess/_documents/EXP-TESS-ARC-ICD-TM-0014-Rev-F.pdf)

   2020年9月11日修订F。第2.4、2.7、5.2.2节和质量表32，说明时间标准、逐帧剔除、光变列与标志。实测输入保留 DR42/SPOC 原始头与数值，不用手册示例替代。

4. [Maxted et al. 2016, Five WASP-South Planets, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1602.01740v1)

   2016年2月4日第一版，A&A 591,A55。第2–4节与表6记录 WASP-126 发现测光、视向速度、轨道假设及初始周期3.28880天；还核对了原始 arXiv TeX 表格。教程拟合的是后来 TESS 产品，不是发现数据。

5. [Dawson & Johnson 2012, Photoeccentric Effect I, v3](https://arxiv.org/pdf/1203.5537v3)

   2012年11月2日第三版。第2节式3–7、第3.1–3.2节与图2–3：短凌星速度因子、条件密度、弯曲的偏心率与方向后验、恒星误差和凌星选择。后验示例与实测应用分别标注。