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title: "从点击记录重建相干，再预测一次新测量"
description: "用三个互补模式基的计数重建二模式密度矩阵，并将未参加拟合的相干投影留作预测检验，解释抽样误差。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L3 · 第 6 章

# 从点击记录重建相干，再预测一次新测量

Sandbox Physics · 2026-10-28

只测两个频率的点击次数，重建不出它们之间的相位。还要测相干叠加模式；三个方向的计数足以确定二模式态，再用另一方向的点击检验这份重建。

## 开始前需要什么

第三章的密度矩阵、第五章的模式投影。需要会算次数比与平方根；本章介绍 Bloch 向量。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/coherent-heralding/)

- 看出频率计数缺少哪些信息。
- 从保存的计数推导密度矩阵。
- 把留出检验、抽样误差与系统误差区分开。

## 换三个模式基来问同一个光子

先问光子在零模式还是一模式，这是 $Z$ 基。再问两个模式同相相加还是反相相加，这是 $X$ 基。最后把第二个模式转四分之一周再相加或相减，这是 $Y$ 基。后两组测量把原来藏在非对角项的相位信息变成可数的概率差。

每个基有两个互斥结果。对同样制备的许多光子重复试验，正结果次数减负结果次数，再除以总次数，就估计出了该方向的平均值。三个平均值放在一起，叫 Bloch 向量。它是描述二模式密度矩阵的一种坐标。

$$
|\pm x\rangle=\frac{|0\rangle\pm|1\rangle}{\sqrt2},\qquad |\pm y\rangle=\frac{|0\rangle\pm i|1\rangle}{\sqrt2}
$$

相位相差四分之一周的投影能区分相干项的虚部。只用实数模式投影会漏掉这一项。

## 把次数比放回密度矩阵

令 $n_{a,+}$ 和 $n_{a,-}$ 是方向 $a$ 的两种计数。保存的是这些整数和各自试验次数，重建只从它们计算。不能读模拟器内部的真值矩阵再称作重建。

有限次数可能让估计的向量略超出单位球，对应一个负特征值。教学实验把超出的向量径向缩回球面，得到合法态；这项修正会引入边界偏差，尤其在接近纯态时。正式实验常用含探测校准与似然的受约束估计。

$$
\widehat r_a=\frac{n_{a,+}-n_{a,-}}{n_{a,+}+n_{a,-}},\qquad \widehat\rho=\frac12\begin{pmatrix}1+\widehat r_z&\widehat r_x-i\widehat r_y\\\widehat r_x+i\widehat r_y&1-\widehat r_z\end{pmatrix}
$$

合法二模式态满足 Bloch 向量长度不超过一。投影修正前后的结果应能追踪，且不要把它当成独立物理证据。

$$
\widehat P=\frac{1+|\widehat{\boldsymbol r}|^2}{2}
$$

纯度由重建矩阵得到。有限样本与物理性修正都能影响这项估计。

对应阅读：A. Bhattacharjee et al. · L. Serino et al.

## 完整算一次，再留一问

假设三个基各测一千次。三个正结果计数依次为八百、五百、五百，负结果就是二百、五百、五百。估计的 Bloch 向量只有第一个分量为零点六，因此矩阵对角线各为二分之一，非对角线为零点三，纯度为零点六八。

现在选一个先前没用过的方向 $\boldsymbol n=(1,1,1)/\sqrt3$。用重建态预测正结果概率约为零点六七三。随后独立采集这个方向的次数。它是留出数据，不允许回填进前面的三基重建；否则就失去检验新预测的意义。

$$
\widehat p_{\boldsymbol n,+}=\frac{1+\boldsymbol n\cdot\widehat{\boldsymbol r}}2,\qquad \operatorname{SE}(\widehat p)\approx\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{N}}
$$

二项标准误差描述固定概率下的有限试验涨落。比较留出观测与重建预测时，还要计入预测本身的不确定性。

## 记录必须能离开当前页面

一次采集应保存源矩阵的参数、测量基、试验次数、种子、计数和模型版本。种子让合成试验可复算；真实实验还须记录时间、校准和背景。移动控制后，原记录仍是原条件下的记录。

模式投影的留出一致性只检查选定模型与这批数据能否相容。若相位标定整体偏了，训练和留出测量可能一起偏。换一种测量装置、扩大扫描区域或复查探测效应，才能追问这种共同系统误差。

## 动手检验预测

### [先保存重建，再看留出测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-pulse-gate/)

1. 固定源与预告模式，采集三个基及独立留出模式的合成计数。
2. 导出记录，确认重建仅使用三个基的计数。
3. 换一个种子重复，比较纯度与留出残差的波动；再移动当前控制，确认旧记录没有被改写。

## 练习与解释性答案

1. 为什么只测零模式和一模式的点击次数无法确定纯度？

   展开解释

   这只得到密度矩阵的对角概率。相干项可以为零，也可以在正定性允许的范围内非零；相同对角线对应不同纯度。相干叠加基提供缺失的信息。

2. 留出概率与预测差两个标准误差，是否证明模型错了？

   展开解释

   单次这样的偏差仍可能来自随机抽样，还要计入重建预测的不确定性。预先规定比较方式，重复独立采集并检查系统误差，才可形成更可靠判断。

[上一章：选择一段波包怎样远程准备另一光子](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/coherent-heralding/) [下一章：真实脉冲门怎样接近单模式投影](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/conversion-kernels/)

## 来源与计算范围

1. [L. Serino et al., Programmable time-frequency mode-sorting of single photons with a multi-output quantum pulse gate, arXiv:2410.03606v1; DOI 10.1364/OE.544206](https://arxiv.org/html/2410.03606v1)

   第二节和图二说明转换核及理想投影、非理想测量效应的区别；第三至四节讨论探测器层析与输出分辨率。该工作已有 Optics Express 期刊 DOI；这里固定核读 2024 年预印本版本。

2. [A. Bhattacharjee et al., Coherent temporal filtering of multimode parametric down-conversion using a quantum pulse gate, arXiv:2608.12544v1 (12 August 2026 preprint)](https://arxiv.org/html/2608.12544v1)

   核读正文式一至五、图一至四和补充材料第一至七节，以确定条件过滤与重建。有限复算选补充式十二至十三；式十五至十六只作解析代入。未复现图三实验点、论文层析算法或完整器件。