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title: "同一张强度图为什么藏着两种纯度"
description: "逐项求出约化密度矩阵，用二模式相位反例推导 Schmidt 权重和纯度，并解释非分辨预告怎样留下混合。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/"
last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L2 · 第 3 章

# 同一张强度图为什么藏着两种纯度

Sandbox Physics · 2026-10-28

四格联合强度完全相同，预告出的光子纯度仍能从一降到二分之一。差别藏在相位：闲频光留下的模式信息，会决定信号光各部分还能否相干相加。

## 开始前需要什么

第二章的两模式系数矩阵。先解释复共轭和矩阵乘法，再介绍特征值；无需预先会奇异值分解。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/)

- 从双光子系数求信号光密度矩阵。
- 手算相位反例并解释每个非对角项。
- 把 Schmidt 权重连接到纯度。

## 探测到一个闲频光子，却没问它是哪种模式

宽带预告探测器告诉你闲频光到过，却不区分它的两个模式。对每种可能的闲频模式，信号光各有一列振幅。列内仍能相干相加；不同闲频结果被忽略以后，则要把相应概率混合起来。矩阵乘法刚好完成这件事。

复共轭把箭头的虚部反号，记作星号；先转置再复共轭叫共轭转置，记作 $\dagger$。信号光密度矩阵的第 $j,\ell$ 项，把同一闲频列内的两条信号振幅相乘，再对列求和。对角线给各模式概率，非对角线保留模式间的相干。

$$
(\rho_s)_{j\ell}=\sum_kF_{jk}F_{\ell k}^{*},\qquad \rho_s=FF^\dagger,\qquad \operatorname{Tr}\rho_s=1
$$

这里的预告在保留模式上效率相同且不分辨模式。若探测效率随模式变化，就必须改用相应的测量算符。

对应阅读：A. Bhattacharjee et al.

## 一个相位怎样抵消相干项

沿用 $F(\theta)$。信号光模式零与模式一的相干有两项贡献：第一列给四分之一，第二列给 $e^{-i\theta}/4$。相位为零时它们同向；相位为半周时它们相反。对角概率始终各为二分之一。

相位为零时，两列完全一样，得知闲频模式不会改变信号光的波包。半周相位时，两列对应两种正交的信号叠加态。闲频光能携带“是哪一种”的信息；不读出这个信息的预告留下等权混合。

$$
\rho_s(\theta)=\frac14\begin{pmatrix}2&1+e^{-i\theta}\\1+e^{i\theta}&2\end{pmatrix}
$$

联合强度只保留四个系数的模平方，相干项中的相对相位已经不在那张图里。

$$
P=\operatorname{Tr}(\rho_s^2)=\sum_{j,\ell}|(\rho_s)_{j\ell}|^2=\frac{3+\cos\theta}{4}
$$

两项对角贡献共二分之一；两项相干贡献共 $(1+\cos\theta)/4$。相位为零得到纯度一，半周得到二分之一。

四个相位一致

$F_A=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$

$P=1,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=0$

反转一个相位

$F_B=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$

$P=\frac12,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac14$

格子亮度相同，表示联合强度相同；箭头方向表示复相位。符合概率假定两份独立且相同的预告输入，其他自由度完全匹配。原创两模式模型图。

## Schmidt 分解找出真正成对的模式

换一套模式来描述同一状态，可以把系数矩阵整理成只有成对项的形式。每一对信号模式只跟一个闲频模式配对，这叫 Schmidt 分解。非负权重就是信号光密度矩阵的特征值：矩阵作用在相应模式上，只会把它缩放，不会转向。

线性代数里的奇异值分解把 $F$ 写为 $U\Sigma V^\dagger$。对双光子态，信号模式取 $U$ 的列，闲频模式取 $V^*$ 的列，权重是奇异值的平方。保留这个共轭关系，才能把复相位正确放回原态。

$$
|\Psi\rangle=\sum_n\sqrt{\lambda_n}|u_n\rangle_s|v_n\rangle_i,\qquad \rho_s=\sum_n\lambda_n|u_n\rangle\langle u_n|,\qquad P=\sum_n\lambda_n^2
$$

权重加起来为一。只有一个非零权重时，单光子为纯态；多个权重表示忽略闲频结果以后留下多个模式。

$$
\lambda_\pm=\frac{1\pm|\cos(\theta/2)|}{2},\qquad K=\frac{1}{P}
$$

有效 Schmidt 数从一变到二。它描述这份纯双光子态中的模式纠缠；混合双光子输入需要更一般的处理。

对应阅读：A. Eckstein

## 换一套坐标，纯度不会变

模式基像地图的坐标。可以把原先两个模式换成它们的等权叠加，只要变换是幺正的，也就是保持长度和内积，物理态就没变。矩阵元素会变，特征值与纯度保持不变。

这也给出了独立检查：直接把系数相乘、对约化矩阵求特征值、对原系数求奇异值，三条计算应当给同一组权重。再检查密度矩阵的迹为一、特征值非负，才能把结果当成概率。

## 动手检验预测

### [只转一个相位，预测纯度再查看](https://sandboxphysics.com/zh/labs/joint-spectral-phase/)

1. 比较相位零与半周的两个预设，先口算四格强度。
2. 停在四分之一周，按公式预测纯度四分之三。
3. 追踪两个 Schmidt 权重，解释为何两个权重越接近，单光子越混合。

## 练习与解释性答案

1. 相位为 $\pi/2$ 时，纯度和 Schmidt 权重各是多少？

   展开解释

   余弦为零，纯度为四分之三。两权重为 $(1\pm1/\sqrt2)/2$。把它们平方后相加，仍得四分之三。四个联合强度依然各为四分之一。

2. 只改变信号光的模式基，能把混合态变成纯态吗？

   展开解释

   不能。幺正变换只改变描述矩阵的基，不改变特征值。要条件选择某个结果，必须真正做测量并保留相应事件；第五章会算清它的成功率。

[上一章：把一对光子的可能性写进复振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/) [下一章：混合光子的 HOM 凹陷有多深](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/mixed-state-hom/)

## 来源与计算范围

1. [A. Eckstein, B. Brecht and C. Silberhorn, A Quantum Pulse Gate based on Spectrally Engineered Sum Frequency Generation, arXiv:1007.3215v2; Optics Express 19, 13770–13778 (2011)](https://arxiv.org/pdf/1007.3215v2)

   式一至四、图二和预告应用定义泵浦乘相位匹配的转换核、Schmidt 通道与理想选模；本站有限双通道 Schmidt 核是无量纲教学化简，没有复现论文 PPLN 参数计算。

2. [A. Bhattacharjee et al., Coherent temporal filtering of multimode parametric down-conversion using a quantum pulse gate, arXiv:2608.12544v1 (12 August 2026 preprint)](https://arxiv.org/html/2608.12544v1)

   核读正文式一至五、图一至四和补充材料第一至七节，以确定条件过滤与重建。有限复算选补充式十二至十三；式十五至十六只作解析代入。未复现图三实验点、论文层析算法或完整器件。