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title: "把一对光子的可能性写进复振幅"
description: "从泵浦、相位匹配和收集模式建立低增益双光子态，再把连续联合谱转成归一化的两模式系数矩阵。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/"
last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L2 · 第 2 章

# 把一对光子的可能性写进复振幅

Sandbox Physics · 2026-10-28

光子对源不只决定“出不出一对”，还决定这一对可以怎样分配频率。联合谱振幅把这些可能性连同相位放在一起，之后的预告、干涉和模式选择都从这里算起。

## 开始前需要什么

读过第一章，知道概率与复数箭头。需要会把一个表格的数相加；积分在这里表示连续频率上的求和。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/clicks-and-overlap/)

- 区分生成一对的概率与已经生成后的归一化态。
- 解释泵浦包络、相位匹配与收集各限制什么。
- 把矩阵索引连接到正交频率模式。

## 先约定我们留下了哪一类事件

自发参量下转换把泵浦提供的能量分给两个输出。把两路叫作信号光与闲频光，这两个名字只区分路径。低增益表示每个泵浦脉冲产生一对的概率很小，于是先研究恰好产生一对的条件态。大多数脉冲仍然是真空；两对及更多光子的影响要另建光子数模型。

下面的 $F(\omega_s,\omega_i)$ 是经过指定空间和偏振收集后的联合谱振幅，简称 JSA。下标 $s,i$ 分别指两路。归一化让所有频率组合的概率加起来为一，不给出每秒能收多少对。

$$
|\Psi\rangle=\iint F(\omega_s,\omega_i)|\omega_s\rangle_s|\omega_i\rangle_i\,d\omega_s\,d\omega_i,\qquad \iint|F|^2\,d\omega_s\,d\omega_i=1
$$

这是单对条件态。要预测绝对点击率，还需要对产生概率、损失、探测效率和重复频率。

对应阅读：P. J. Mosley et al. · A. Bhattacharjee et al.

## 能量允许，还要让晶体里的振幅加起来

泵浦的频谱先约束两路频率之和。晶体不同位置都可能产生光子对；只有各处贡献的相位没有彼此抵消，输出才明显。把这层条件叫相位匹配。晶体长度有限，相位匹配便有宽度，还会留下相位。再经过透镜、光纤与偏振选择，我们得到实际收集到的振幅。

在选定的一维传播近似下，可以用下面的乘积组织这些因素。$\alpha$ 是泵浦复谱，$\Phi$ 是相位匹配振幅，$C$ 表示已定义的收集作用。这个写法提醒我们保留复数；只把三张亮度图相乘会丢掉相位。

$$
F\propto\alpha(\omega_s+\omega_i)\,\Phi(\omega_s,\omega_i)\,C(\omega_s,\omega_i),\qquad \Phi\propto\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\Delta kL}{2}\right)e^{i\Delta kL/2}
$$

式中 $L$ 是长度，$\Delta k$ 是含所选准相位匹配光栅项的纵向波矢失配；$\operatorname{sinc}x=\sin x/x$。该标量式假定相应传播和收集近似成立。

对应阅读：P. J. Mosley et al.

## 把连续频率换成两个正交模式

为了亲手算出相位的影响，先选每路两个正交频率模式。它们可以是互不重叠、各自归一化的频率区间波包。行指信号光模式，列指闲频光模式。表格每个位置存复振幅，它的模平方才是那个模式对出现的概率。

系数 $F_{jk}$ 是连续 JSA 在两个模式函数上的投影，不是随便挑一个频率点的函数值。若用等距网格近似连续积分，还须把积分权重吸收进离散系数。实验台直接定义两个正交离散模式，因此系数没有单位。

$$
|\Psi\rangle=\sum_{j,k=0}^{1}F_{jk}|j\rangle_s|k\rangle_i,\qquad \sum_{j,k}|F_{jk}|^2=1
$$

两模式模型用四个复数完整定义单对态。它适合检验相位和条件测量，没有计算真实晶体中的完整传播。

## 四个同样亮的位置

把四个系数都设为二分之一。四种模式对的概率都是四分之一，总和为一。接着只给右下角的系数转一个角度 $\theta$。亮度不变，复振幅已经变了。下一章会沿着这一个变化，算出单光子从纯态变成混合态的全过程。

泵浦、材料和收集几何共同决定哪些振幅能够实际制备。把一份明确的振幅固定下来，就可以继续问：不同预告测量怎样改变伙伴光子的状态？这个顺序也让源设计与测量选择的作用各自清楚。

$$
F(\theta)=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&e^{i\theta}\end{pmatrix}
$$

相位用弧度。整个矩阵乘上同一个相位不会改变预测；只转一个位置会改变行与行之间的相干求和。

## 动手检验预测

### [把相位箭头与四格强度逐个对应](https://sandboxphysics.com/zh/labs/joint-spectral-phase/)

1. 先选相位一致的预设，确认四个强度相同且总概率为一。
2. 只转右下角的相位箭头，预测哪张强度图会改变。
3. 观察信号光的相干项，尝试解释为什么强度不动，条件态却在变。

## 练习与解释性答案

1. 归一化矩阵相同的两个源，每秒探测到的光子对数量必须一样吗？

   展开解释

   不必。归一化系数只描述已经产生并收集一对以后的模式分布。泵浦重复频率、对产生概率、光路损失和探测效率都能改变每秒数量。

2. 把四个系数全乘 $i$，和只把右下角乘 $i$ 有什么不同？

   展开解释

   前者只增加整个态的共同相位，所有概率和密度矩阵都不变。后者改变不同路径之间的相对相位，后续相干测量能够分辨。

[上一章：两次点击怎样问出光子的相同与不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/clicks-and-overlap/) [下一章：同一张强度图为什么藏着两种纯度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/)

## 来源与计算范围

1. [P. J. Mosley et al., Heralded Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum States, arXiv:0711.1054v1; Physical Review Letters 100, 133601 (2008)](https://arxiv.org/pdf/0711.1054v1)

   式一、图一至四及源与收集讨论连接泵浦、相位匹配、预告和独立源 HOM；图二由强度推断纯度时明确假定联合谱相位无变化。本站未复算晶体参数拟合或实验测点。

2. [A. Bhattacharjee et al., Coherent temporal filtering of multimode parametric down-conversion using a quantum pulse gate, arXiv:2608.12544v1 (12 August 2026 preprint)](https://arxiv.org/html/2608.12544v1)

   核读正文式一至五、图一至四和补充材料第一至七节，以确定条件过滤与重建。有限复算选补充式十二至十三；式十五至十六只作解析代入。未复现图三实验点、论文层析算法或完整器件。