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title: "混合光子的 HOM 凹陷有多深"
description: "从纯态重叠逐步推导混合态 HOM 符合概率，说明何时可见度等于纯度，以及损失、多对和延迟各自的作用。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/mixed-state-hom/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/time-frequency-quantum-optics/mixed-state-hom/"
last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L3 · 第 4 章

# 混合光子的 HOM 凹陷有多深

Sandbox Physics · 2026-10-28

两份相同的混合态也不能完全消掉符合。它们有时落在相同模式，有时落在不同模式；平均以后，理想零延迟符合正好由两份密度矩阵的重叠决定。

## 开始前需要什么

第三章的密度矩阵、纯度与 Schmidt 权重；第一章的理想平衡分束器。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/)

- 从纯态求和得到混合态符合公式。
- 判断何时 HOM 可见度可以读作纯度。
- 区分到达时间、内模式混合与探测计数。

## 先固定每一份纯态，再对出现概率平均

第一路以概率 $r_a$ 处在模式 $|u_a\rangle$，第二路以概率 $s_b$ 处在 $|v_b\rangle$。假定两路独立，每次组合的权重就是两个概率相乘。每个纯态组合的符合是二分之一乘以一减重叠。把它们加起来，便得到迹公式。

独立性很关键：若两路之间还有相关或纠缠，就要用联合输入态计算。这里还假定一个光子进入每个端口、分束器平衡且无损、探测不分辨所研究的内模式。

$$
P_{\mathrm{coin}}=\frac12\sum_{a,b}r_as_b\bigl(1-|\langle u_a|v_b\rangle|^2\bigr)=\frac{1-\operatorname{Tr}(\rho\sigma)}{2}
$$

迹把两份模式分布的相干重叠汇总成一个数。纯态时回到第一章的模平方重叠。

对应阅读：C. K. Hong · P. J. Mosley et al.

## 相同输入才把重叠变成纯度

若两路制备相同，$\sigma=\rho$，重叠就是纯度。用第三章的两个反例：相位一致时单光子纯，零延迟符合为零；半周相位时单光子等权混合，零延迟符合为四分之一。两份源可以拥有同样的联合强度图，HOM 仍能给出不同结果。

若两路各自很纯但模式正交，重叠为零，符合仍为二分之一。一次低可见度既可能来自混合，也可能来自两路不匹配。只有额外确认两路相同及其他假设，才可把可见度解释为纯度。

$$
\rho=\sigma\ \Longrightarrow\ P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac{1-P}{2},\qquad V=\frac{P_{\mathrm{far}}-P_{\mathrm{coin}}(0)}{P_{\mathrm{far}}}=P
$$

最后一步还用到远延迟参考 $P_{\mathrm{far}}=1/2$，并假定延迟只去掉重叠，没有改变光子数和探测背景。

两份独立且相同的输入，其他自由度完全匹配。

| 源相位 | 纯度 | 零延迟符合 |
| --- | --- | --- |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $\pi/2$ | $3/4$ | $1/8$ |
| $\pi$ | $1/2$ | $1/4$ |

## 延迟怎样进入同一条公式

延迟 $\tau$ 把频谱振幅乘上 $e^{-i\omega\tau}$。这是一个幺正作用。若两模式真的代表离散频率区间，延迟会改变它们之间的相位，可能出现拍频；不能未经推导就添一条高斯包络。

升级后的 HOM 实验另选一个明确简化：两模式混合放在内自由度，另用独立高斯到达波包描述延迟，并让偏振也独立分解。三个重叠因子相乘，便能分别演示混合、错时与偏振失配。这是可控制的分解模型。把它用于真实连续时频态前，须检查这些自由度是否确实独立。

$$
P_{\mathrm{coin}}(\tau)=\frac{1-\operatorname{Tr}[\rho\,U(\tau)\sigma U^\dagger(\tau)]}{2}
$$

连续频谱或离散频率模型都可使用这条通式，具体延迟曲线由态与延迟算符决定。

## 把概率与实际点击数分开

理想概率乘上试验次数，给预期符合数。若损失与模式无关，两探测器效率的乘积缩放计数；抽样还会造成涨落。高增益多对发射增加其他点击路径，阈值探测器把它们合并，简单的单对纯度解释便失效。

理想概率、预期计数和合成采集记录描述不同的对象。HOM 实验改变源或探测条件后，会清空不再适用的扫描记录；扫延迟时可继续累积当前条件下的记录。比较两份条件前，先导出记录和设置，才能分辨物理变化与有限次数的波动。

## 动手检验预测

### [把混合与错时分开比较](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

1. 使用单对输入，保持偏振与到达时间匹配，比较内相位零与半周。
2. 预测零延迟符合分别为零和四分之一，再查看结果。
3. 固定混合态，扫延迟；注意此处延迟作用在独立的高斯到达波包，不是在两频率区间上做连续传播。

## 练习与解释性答案

1. 两路纯度都是一，零延迟符合仍为二分之一，可能吗？

   展开解释

   可能。例如两路处在正交偏振或正交波包模式，各自纯但彼此重叠为零。纯度描述一份输入，HOM 测两份输入的重叠。

2. 探测效率减半，理想零延迟符合概率会自动加倍吗？

   展开解释

   不会。模式无关的损失先改变观测到的次数，不改变这里按一个光子进入每个端口定义的理想概率。若用含漏检、背景和多对的点击条件归一化，则需要完整探测模型重新计算。

[上一章：同一张强度图为什么藏着两种纯度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/) [下一章：选择一段波包怎样远程准备另一光子](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/coherent-heralding/)

## 来源与计算范围

1. [C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference, Physical Review Letters 59, 2044 (1987)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.2044)

   原始分束器符合实验。课程另行推导独立单光子输入的理想重叠概率；合成记录不属于这项历史实验。

2. [P. J. Mosley et al., Heralded Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum States, arXiv:0711.1054v1; Physical Review Letters 100, 133601 (2008)](https://arxiv.org/pdf/0711.1054v1)

   式一、图一至四及源与收集讨论连接泵浦、相位匹配、预告和独立源 HOM；图二由强度推断纯度时明确假定联合谱相位无变化。本站未复算晶体参数拟合或实验测点。