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title: "时频模式量子光学"
description: "从光子点击走到 Schmidt 模式、相干预告与留出测量。八章连续讲解、完整例题与三个交互实验，最后复算论文中的高斯相干模型。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/time-frequency-quantum-optics/"
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FR10

# 时频模式量子光学

Sandbox Physics · 2026-10-28

同一张联合频谱强度图，可以藏着不同的相位与不同的光子纯度。从探测器点击出发，跟着一份双光子振幅走过预告、干涉与模式选择，再用一次新测量检验重建出的状态。

## 先看四个同样亮的位置

只转动一个相位箭头，四个联合强度都不变，预告出的光子却能从一个确定波包变成混合。沿着这个小例子往下算，就能看清：要描述量子光，亮度还只讲了一部分。

四个相位一致

$F_A=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$

$P=1,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=0$

反转一个相位

$F_B=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$

$P=\frac12,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac14$

格子亮度相同，表示联合强度相同；箭头方向表示复相位。符合概率假定两份独立且相同的预告输入，其他自由度完全匹配。原创两模式模型图。

前两章从点击和双光子振幅开始，第三至六章依次建立约化态、干涉、条件选择与层析。最后两章把理想测量接到转换通道和一份固定论文计算。每一步都先提出具体问题，再引入需要的工具。

[共同教材基础](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/27) · [研究路线与实施证据](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/40)

1. L1 · 1

   ## [两次点击怎样问出光子的相同与不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/clicks-and-overlap/)

   从分束器两侧的符合点击理解光子重叠，区分单光子、纯态和不可辨识性，为时频模式建立直观图景。

2. L2 · 2

   ## [把一对光子的可能性写进复振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/)

   从泵浦、相位匹配和收集模式建立低增益双光子态，再把连续联合谱转成归一化的两模式系数矩阵。

3. L2 · 3

   ## [同一张强度图为什么藏着两种纯度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/schmidt-and-purity/)

   逐项求出约化密度矩阵，用二模式相位反例推导 Schmidt 权重和纯度，并解释非分辨预告怎样留下混合。

4. L3 · 4

   ## [混合光子的 HOM 凹陷有多深](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/mixed-state-hom/)

   从纯态重叠逐步推导混合态 HOM 符合概率，说明何时可见度等于纯度，以及损失、多对和延迟各自的作用。

5. L3 · 5

   ## [选择一段波包怎样远程准备另一光子](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/coherent-heralding/)

   比较相干模式投影与不分辨频率的强度过滤，推导条件态和成功率，手算纯度提升所付出的事件损失。

6. L3 · 6

   ## [从点击记录重建相干，再预测一次新测量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/tomography-and-holdouts/)

   用三个互补模式基的计数重建二模式密度矩阵，并将未参加拟合的相干投影留作预测检验，解释抽样误差。

7. L4 · 7

   ## [真实脉冲门怎样接近单模式投影](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/conversion-kernels/)

   从和频转换核连接泵浦、相位匹配、Schmidt 通道和探测效应，解释有限带宽为什么会让理想投影出现模式串扰。

8. L4 · 8

   ## [复算一份高斯相干模型，再读前沿实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/paper-benchmarks/)

   固定 2026 年相干过滤预印本的高斯密度模型，用独立数值积分核对纯度公式，并区分模型复算、实验重建与开放问题。

## 沿途三个实验

- [固定联合强度，转动一个相位](https://sandboxphysics.com/zh/labs/joint-spectral-phase/)
- [在分束器比较纯态与混合态输入](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)
- [选择预告模式，检验重建出的伙伴光子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-pulse-gate/)

新实验采用两个正交模式与合成点击记录。HOM 实验把内模式混合、独立高斯到达波包和偏振分别处理。最后一章另行对固定版本论文的连续高斯密度模型积分。

## 来源与计算范围

1. [C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference, Physical Review Letters 59, 2044 (1987)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.2044)

   原始分束器符合实验。课程另行推导独立单光子输入的理想重叠概率；合成记录不属于这项历史实验。

2. [P. J. Mosley et al., Heralded Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum States, arXiv:0711.1054v1; Physical Review Letters 100, 133601 (2008)](https://arxiv.org/pdf/0711.1054v1)

   式一、图一至四及源与收集讨论连接泵浦、相位匹配、预告和独立源 HOM；图二由强度推断纯度时明确假定联合谱相位无变化。本站未复算晶体参数拟合或实验测点。

3. [A. Eckstein, B. Brecht and C. Silberhorn, A Quantum Pulse Gate based on Spectrally Engineered Sum Frequency Generation, arXiv:1007.3215v2; Optics Express 19, 13770–13778 (2011)](https://arxiv.org/pdf/1007.3215v2)

   式一至四、图二和预告应用定义泵浦乘相位匹配的转换核、Schmidt 通道与理想选模；本站有限双通道 Schmidt 核是无量纲教学化简，没有复现论文 PPLN 参数计算。

4. [L. Serino et al., Programmable time-frequency mode-sorting of single photons with a multi-output quantum pulse gate, arXiv:2410.03606v1; DOI 10.1364/OE.544206](https://arxiv.org/html/2410.03606v1)

   第二节和图二说明转换核及理想投影、非理想测量效应的区别；第三至四节讨论探测器层析与输出分辨率。该工作已有 Optics Express 期刊 DOI；这里固定核读 2024 年预印本版本。

5. [A. Bhattacharjee et al., Coherent temporal filtering of multimode parametric down-conversion using a quantum pulse gate, arXiv:2608.12544v1 (12 August 2026 preprint)](https://arxiv.org/html/2608.12544v1)

   核读正文式一至五、图一至四和补充材料第一至七节，以确定条件过滤与重建。有限复算选补充式十二至十三；式十五至十六只作解析代入。未复现图三实验点、论文层析算法或完整器件。

6. [Sandbox Physics FR10 independent numerical benchmarks](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/frontier/fr10/benchmarks.json)

   原创归一化高斯谱密度直接积分与独立相位矩阵、特征值计算。reproduce-benchmarks.mjs 保存窗口、分辨率和误差；数据不含历史测量。

7. [Sandbox Physics FR10 model and source definitions](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/tree/main/docs/frontier/fr10)

   定义两个正交模式、系数约定、理想预告、有限双通道 Schmidt 转换核、合成计数、保存记录和论文复算范围，明确教学模型采用的假设。