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title: "真实脉冲门怎样接近单模式投影"
description: "从和频转换核连接泵浦、相位匹配、Schmidt 通道和探测效应，解释有限带宽为什么会让理想投影出现模式串扰。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/conversion-kernels/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/time-frequency-quantum-optics/conversion-kernels/"
last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L4 · 第 7 章

# 真实脉冲门怎样接近单模式投影

Sandbox Physics · 2026-10-28

脉冲门让选中的输入波包转换到另一种颜色，探测那种颜色便读出模式。要知道它是否真的只选一个模式，必须查看整个输入到输出的转换核，以及探测器接受了哪些输出。

## 开始前需要什么

第三章的奇异值分解、第五章的条件态与第六章的投影概率。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/tomography-and-holdouts/)

- 把源的联合谱与器件转换核区分开。
- 从转换核得到探测效应和条件态。
- 解释单一输出模式与未分辨多输出的区别。

## 输入与门脉冲在非线性介质里相遇

和频转换让一个输入光子在强门脉冲作用下，转成频率更高的输出光子。门脉冲提供频率差；色散与周期极化决定哪些输入、输出频率能相干转换。形状可编程的门脉冲改变输入模式选择，滤色元件则把转换后的输出与剩余泵浦分开。

用 $K(\omega_o,\omega_i)$ 表示从输入角频率到输出角频率的振幅核。弱转换近似下，它与门脉冲谱 $\alpha(\omega_o-\omega_i)$ 乘相位匹配振幅成正比。这里的核属于测量器件，源的 $F$ 则描述成对产生，两者不是同一张谱图。

$$
K(\omega_o,\omega_i)\propto\alpha(\omega_o-\omega_i)\Phi(\omega_o,\omega_i)
$$

这是采用未耗尽强经典门脉冲的和频模型。更高转换下，完整传播与模间时序效应共同决定转换振幅。

对应阅读：A. Eckstein · L. Serino et al.

## 一次点击究竟接受了多少个输出模式

离散化以后，$K$ 的列是输入模式，行是输出模式。若探测器接受所有输出、效率相同，输入端一次转换点击的测量效应是 $E=K^\dagger K$。奇异值分解给出独立输入通道；只有一个非零奇异值时，效应才是一个秩一模式投影乘效率。

若探测器只收一个相干输出模式，就先投影到那个模式，再计算效应。若它收多个可区分但未读标签的输出，则把各输出效应相加。源很纯也无法自动修复一个多模式的预告效应。

$$
K=U\Sigma V^\dagger,\qquad E=V\Sigma^2V^\dagger,\qquad E_{\mathrm{fail}}=I-E
$$

物理转换需满足所有奇异值不超过一，因此失败效应也非负。探测损失可以加入输出接受算符，得到更一般的效应。

$$
\widetilde\rho_s=FE^{\mathsf T}F^\dagger,\qquad p=\operatorname{Tr}\widetilde\rho_s
$$

转置来自双光子系数的索引约定：行是信号，列是闲频。秩一效应时回到第五章的相干投影。

## 有限的相位匹配宽度怎样造成串扰

如果相位匹配把输出压得足够窄，而门脉冲在这段输出范围内变化很慢，转换核可以接近一个输出形状乘一个输入形状。核近似可分离，只有一个主要通道。输出宽度增大时，不同输出频率会接受略有不同的输入叠加；宽带探测把它们合并，便接受多个输入模式。

两模式实验采用文献中的独立 Schmidt 通道转换规律。第一个通道接受所选模式，第二个通道接受正交模式；两个输出被同一预告结果合并。耦合角固定为半周的一半，第二 Schmidt 系数可调，第一系数由归一化确定。非零第二通道会把另一份条件态混入输出。这里的系数是示例参数，没有从材料色散或波导几何拟合而来。

$$
\eta_k=\sin^2(g\kappa_k),\qquad g=\frac\pi2,\qquad \kappa_0^2+\kappa_1^2=1
$$

转换核的两行分别是所选模式与正交模式的共轭转置，乘各自转换概率的平方根；未分辨输出效应是两通道效应之和。

对应阅读：A. Eckstein · L. Serino et al.

## 多输出分选还要校准探测器

把多个相位匹配峰安排在不同输出频率，就能把不同输入模式分到不同颜色。2024 年的可编程分选工作用已知输入态反过来标定每个输出的测量效应，称为探测器层析。制备态层析问“未知光子是什么”，探测器层析问“这台仪器实际问了什么”。

真正比较不同器件时，需要同时报告转换效率、串扰、输出频率分辨率和不确定性。先只对成功点击归一化，可能得到很漂亮的模式选择结果，却看不出有多少光子从未转换。完整测量模型还要保留未转换结果。

对应阅读：L. Serino et al.

## 动手检验预测

### [让第二个转换模式进入预告](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-pulse-gate/)

1. 先用理想相干选择建立纯度与成功率的参考。
2. 选择“第二个模式漏了进来”预设，展开转换核设置，改变第二 Schmidt 系数。
3. 比较条件纯度和预告成功率，再判断只看成功点击会漏掉什么。

## 练习与解释性答案

1. 设两个正交输入通道的转换概率分别为 $0.8$ 和 $0.2$，探测器不区分输出，接受效应是秩一的吗？

   展开解释

   不是。两个奇异值都非零，效应有两个正权重。对一个纯且纠缠的双光子源作这种非分辨预告，一般会留下混合信号态。

2. 提高门脉冲能量是否总能同时提高成功率和选择性？

   展开解释

   不保证。强转换需要完整动力学；不同通道可能随耦合以不同方式转换。只把弱转换核乘一个常数，甚至可能得到大于一的概率。必须先检验转换算符的物理性，再讨论器件性能。

[上一章：从点击记录重建相干，再预测一次新测量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/tomography-and-holdouts/) [下一章：复算一份高斯相干模型，再读前沿实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/paper-benchmarks/)

## 来源与计算范围

1. [A. Eckstein, B. Brecht and C. Silberhorn, A Quantum Pulse Gate based on Spectrally Engineered Sum Frequency Generation, arXiv:1007.3215v2; Optics Express 19, 13770–13778 (2011)](https://arxiv.org/pdf/1007.3215v2)

   式一至四、图二和预告应用定义泵浦乘相位匹配的转换核、Schmidt 通道与理想选模；本站有限双通道 Schmidt 核是无量纲教学化简，没有复现论文 PPLN 参数计算。

2. [L. Serino et al., Programmable time-frequency mode-sorting of single photons with a multi-output quantum pulse gate, arXiv:2410.03606v1; DOI 10.1364/OE.544206](https://arxiv.org/html/2410.03606v1)

   第二节和图二说明转换核及理想投影、非理想测量效应的区别；第三至四节讨论探测器层析与输出分辨率。该工作已有 Optics Express 期刊 DOI；这里固定核读 2024 年预印本版本。