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title: "两次点击怎样问出光子的相同与不同"
description: "从分束器两侧的符合点击理解光子重叠，区分单光子、纯态和不可辨识性，为时频模式建立直观图景。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[时频模式量子光学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/)

L1 · 第 1 章

# 两次点击怎样问出光子的相同与不同

Sandbox Physics · 2026-10-28

两束光看上去颜色相同，光子也未必能一起干涉。把两个光子从分束器两侧送入，数一数它们是否分头离开，就能问得更细：它们的整段波包究竟有多相像？

## 开始前需要什么

会用次数除以总次数来估计概率即可。把波包想成一个有起伏、有持续时间的光脉冲；暂时不用矩阵。

- 解释符合点击在数什么。
- 区分光子数、模式纯度和两份输入的匹配。
- 预测把一个光子延迟后会怎样。

## 先把两个出口都盯住

一个理想平衡分束器让单个光子向任一出口离开的概率相同。先送来两个能明确区分的光子，例如让它们相隔很久到达。每个光子各选一个出口，四种组合里有两种分头离开。两台探测器在同一次试验中都点击，叫一次符合。

现在让两个光子在时间、偏振和空间路径上充分重合。两个光子分头离开有两条可能路径：都透射，或者都反射。理想分束器给这两条路径相反的复振幅，它们抵消。两个出口的符合少了，两个光子倾向从同一侧离开。这就是 Hong–Ou–Mandel 干涉，常简称 HOM。

$$
P_{\mathrm{coin}}=\frac12\quad\text{(distinguishable)},\qquad P_{\mathrm{coin}}=0\quad\text{(identical pure inputs)}
$$

概率按每次恰好有一个光子进入每个输入端口的试验计算。零符合是理想极限。

对应阅读：C. K. Hong · P. J. Mosley et al.

## 一份波包包含强度，也包含相位

脉冲中的不同频率像合奏里的不同音高。强度告诉你各个音高占多少，相位告诉你它们怎样在时间上对齐。两段脉冲可以有相同的频谱亮度，却在时间上拼出不同的起伏。量子光学把这样一整段有确定相位关系的波包叫一个模式。

用归一化复函数 $u(\omega)$ 表示一个模式。复数可以画成箭头，长度给振幅，方向给相位。把两个模式逐频率相乘再相加，得到重叠振幅；它的模平方是下面的重叠概率。这里 $\omega$ 是角频率，单位为每秒弧度。

$$
\int |u(\omega)|^2\,d\omega=1,\qquad M=\left|\int u^*(\omega)v(\omega)\,d\omega\right|^2
$$

相同模式的重叠为一，正交模式的重叠为零。“正交”表示这项复数求和抵消，即使两条强度曲线有重合也可能如此。

## 只有一个光子，仍可能不知道它在哪个模式

一箱球每次只取一个，并不保证每次取到同一种颜色。光子也一样：一次发射可以恰好有一个光子，可每次所在的波包模式不同。若只知道各种模式出现的概率，就用混合态描述。纯态指每次都能用同一条复振幅描述，跟光强大不大没有关系。

还要把两份光子的匹配单独考虑。两份各自很纯的光子，若一个偏早、另一个偏晚，干涉照样会减弱。后面会把混合程度写成纯度，把两份输入的匹配写成密度矩阵重叠。先记住实验上的两个动作：准备每份光子，再把它们对齐。

实际探测器的损失、暗计数和同一次泵浦产生多对光子都会改变点击数。先从每个端口恰好一个光子的理想概率开始，才能看出后来加入的每项效应在改变什么。

## 动手检验预测

### [让两个波包先错开，再重合](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

1. 先把延迟调大，预测符合概率的参考水平。
2. 缓慢把延迟调回重合，观察符合曲线怎样下凹。
3. 保持到达时间不变，改变模式匹配，解释为什么仅仅同时到达还不够。

## 练习与解释性答案

1. 同一次试验里只有一台探测器点击，能直接断定两个光子从同一个出口离开吗？

   展开解释

   只有探测效率为一、无背景且已经知道每个输入恰好一个光子时，这种推断才成立。真实装置还可能漏掉一个光子。实验一般用符合率随延迟的变化，并结合探测模型作判断。

2. 两条频谱强度完全相同，是否足以保证 HOM 符合消失？

   展开解释

   还要知道相位关系，并确认时间、偏振和空间模式等其他自由度匹配。相同强度可以对应不同的复振幅；下一章会把振幅逐个存进矩阵，第三章给出只改一个相位的反例。

[下一章：把一对光子的可能性写进复振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/time-frequency-quantum-optics/pair-amplitudes/)

## 来源与计算范围

1. [C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference, Physical Review Letters 59, 2044 (1987)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.2044)

   原始分束器符合实验。课程另行推导独立单光子输入的理想重叠概率；合成记录不属于这项历史实验。

2. [P. J. Mosley et al., Heralded Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum States, arXiv:0711.1054v1; Physical Review Letters 100, 133601 (2008)](https://arxiv.org/pdf/0711.1054v1)

   式一、图一至四及源与收集讨论连接泵浦、相位匹配、预告和独立源 HOM；图二由强度推断纯度时明确假定联合谱相位无变化。本站未复算晶体参数拟合或实验测点。