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title: "一次拉动里的功和热"
description: "沿一条带噪声的轨迹定义功和热，对单次拉动验证第一定律，再算猛地一跳为什么比慢慢拖更费功。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[随机热力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/)

L2 · 第 2 章

# 一次拉动里的功和热

Sandbox Physics · 2026-10-29

移动光阱时，你对珠子做了功；珠子在水里乱晃时，又把能量当作热交给水。对一大锅气体，功和热只在平均意义上有用。对一颗珠子，可以沿着它的每一条轨迹记下这两笔能量，而且每一次拉动的结果都不一样。

## 开始前需要什么

第一章的势能、玻尔兹曼分布和 Langevin 方程。需要知道导数表示变化率，积分是把许多小份加起来。

- 按“谁改变了势能”区分单条轨迹上的功和热，并写出第一定律。
- 计算光阱瞬间跳动时功的平均值和涨落。

## 谁做功，谁吸热

势能 $V(x,\lambda)$ 有两种变法。实验者移动光阱，$\lambda$ 变了而珠子还没动，这份能量变化来自实验者，算作功。光阱不动而珠子挪了位置，推动它的是水分子的撞击和阻力，这份能量来自或交给了水，算作热。

把一次拉动切成许多小步，每一步按这个规则分账，再加起来就得到整条轨迹上的功 $w$ 和交给水的热 $q$。两者之差正好是势能从开头到结尾的变化，这是单条轨迹上的第一定律。这里约定外界对珠子做功为正，珠子放给水的热为正，与 Seifert 综述的式 (14)—(19) 一致。

算热的时候，力要取每一小步中点处的值。轨迹带噪声，微积分里这一点要格外小心；这样取了，每一条轨迹的第一定律都精确成立。

对本课的势能，$\partial V/\partial\lambda=-k(x-\lambda)$。光阱以速度 $\dot\lambda$ 移动时，功率等于 $k(\lambda-x)\dot\lambda$：弹簧作用在光阱上的拉力乘光阱的速度。

珠子落在光阱后面时，弹簧被拉长，实验者要顶着它往前拖，功为正。如果某一瞬间水把珠子推到光阱前面去了，弹簧反而帮着光阱走，这一小段的功是负的。一次拉动的总功，取决于整个过程中珠子平均落后多少。

$$
w=\int_0^\tau\frac{\partial V}{\partial\lambda}\dot\lambda\,dt,\qquad q=-\int_0^\tau\frac{\partial V}{\partial x}\circ\dot x\,dt,\qquad w=q+\Delta V
$$

圆圈表示按中点取值。$\Delta V$ 是这条轨迹末端与开头的势能差，它本身也是随机的。

来源：U. Seifert · O. Mazonka and C. Jarzynski

## 完整例题：光阱猛地跳 100 纳米

取第一章的珠子：$k=0.012\,\mathrm{pN/nm}$，负载 $f=0.1\,\mathrm{pN}$。珠子先在 $\lambda=0$ 处达到平衡，然后光阱瞬间跳到 $L=100\,\mathrm{nm}$。跳的那一刻珠子来不及动，热为零，功等于跳前跳后同一位置上的势能差。

珠子起点 $x_0$ 服从均值 $-f/k$、方差 $k_BT/k$ 的高斯分布，功是 $x_0$ 的一次函数，也是高斯分布。代入得平均功 $70\,\mathrm{pN\,nm}=16.9\,k_BT$，标准差 $kL\sqrt{k_BT/k}=5.38\,k_BT$。

把光阱从 0 移到 $L$，平衡态的自由能只增加 $\Delta F=fL=10\,\mathrm{pN\,nm}=2.41\,k_BT$：如果无限慢地移动，做的功就是这么多。跳一下多花的 $14.5\,k_BT$ 叫耗散功。跳完之后珠子滑向新的碗底，这部分能量最终都以热的形式交给水。

第三章会算出，用 10 ms 匀速拖完同样的距离，平均功只有 $4.51\,k_BT$。走得越慢，多花的越少。

$$
W_{\rm jump}=\frac{k}{2}\big[(x_0-L)^2-x_0^2\big]=\frac{kL^2}{2}-kLx_0,\qquad \langle W_{\rm jump}\rangle=\frac{kL^2}{2}+fL
$$

第一项 $kL^2/2$ 是耗散功，第二项是自由能变化。功的方差为 $kL^2k_BT$，恰好等于 $2k_BT$ 乘耗散功。第三章会说明其中的道理。

## 有些拉动花的功比自由能变化还少

单次拉动的功可以小于 $\Delta F$。上面的跳动里，起点恰好落在碗的前沿，弹簧被压缩，跳过去时花的功就少。这种运气的概率是 $\Phi(-14.5/5.38)\approx0.004$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积函数。

热力学第二定律说的是平均：$\langle W\rangle\ge\Delta F$。对一颗珠子，个别轨迹低于这条线并不罕见；10 ms 匀速拖动时，大约 15% 的拉动做的功小于 $\Delta F$。第四章会用这些“幸运”的拉动，直接求出自由能。

## 到实验里试一试

### [跟着一次拉动记下功和热](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dragged-trap-work/)

1. 选择“上坡拖动”预设。预测：功、热和势能差三条曲线中，哪一条在拉动结束后还会继续变化？
2. 在“一次典型拉动的功、热与势能”图里，等拉动结束，读出功、热和势能差，检查 $W=Q+\Delta V$。
3. 数一数场景里变成绿色的珠子：它们到目前为止做的功小于同一时刻的自由能变化。拉动越快，绿色珠子是变多还是变少？

## 练习与解答

1. 光阱一直不动，珠子从碗壁滑到碗底。这段时间的功和热各是多少？

   展开解答

   光阱没动，$\dot\lambda=0$，功为零。第一定律给出 $q=-\Delta V$：珠子势能下降多少，就把多少能量当作热交给水。

2. 把例题中的跳动距离减半为 50 nm，平均功、耗散功和功的标准差各变成多少？

   展开解答

   耗散功 $kL^2/2=15\,\mathrm{pN\,nm}\approx3.62\,k_BT$，自由能变化 $fL=5\,\mathrm{pN\,nm}\approx1.21\,k_BT$，平均功约 $4.83\,k_BT$。标准差 $\sqrt{2\times3.62}\approx2.69\,k_BT$，只减半。距离减半，耗散功降到四分之一。

3. 瞬间跳动的过程中热为什么是零？跳完之后呢？

   展开解答

   跳的那一刻珠子位置还没变，只有光阱位置变了，所有能量变化都算功。跳完之后光阱停住，珠子滑向新的平衡位置。多出来的势能一点点变成热交给水，平均下来正好等于耗散功。

[上一章：室温下，光阱里的珠子会晃多远](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/bead-in-a-trap/) [下一章：匀速拖动光阱时，功的平均值和涨落](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/dragging-the-trap/)

## 来源与复算范围

1. [U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)](https://arxiv.org/abs/1205.4176v1)

   2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。

2. [O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912121v1)

   1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。