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title: "逐图读懂 Gore、Ritort 与 Bustamante 2003 年论文里的有限样本偏差"
description: "逐图读 2003 年 PNAS 论文，看懂有限样本偏差，复算 20 次拉动时的偏差，再用模拟拉动检验。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/stochastic-thermodynamics/reading-the-jarzynski-bias-paper/"
last_modified: "2026-10-29"
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[随机热力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/)

L4 · 第 8 章

# 逐图读懂 Gore、Ritort 与 Bustamante 2003 年论文里的有限样本偏差

Sandbox Physics · 2026-10-29

打开 PNAS 第 100 卷 12564—12569 页（2003），PubMed Central 编号 PMC240657。论文只问一件事：手里只有 N 次拉动时，Jarzynski 估计会错多少。读完三张图，你能从一篇实验论文的耗散功和拉动次数，估出它的自由能大约偏高多少。

## 开始前需要什么

第三、四章：高斯功分布、Jarzynski 估计和占比公式。需要知道系统误差与随机误差的区别，以及对数坐标图上直线代表幂律。

- 读懂论文图 1—3 的坐标和曲线，区分偏差、方差和均方误差。
- 用论文的两段近似估计给定耗散功和拉动次数下的偏差，并在模拟拉动上检验。

## 论文要回答的问题

作者把 $N$ 次拉动的 Jarzynski 平均写成一个估计量 $\widehat{\Delta F}_N$。把实验重复很多遍，估计量的平均值减去真值，就是偏差 $B(N)$。偏差是系统误差：多重复几遍实验也消不掉，只有增加每遍的拉动次数才能减小。

最简单的情形是 $N=1$：估计量就是这一次的功，平均下来等于 $\Delta F+\overline{W}_{\rm dis}$，偏差正好是平均耗散功。论文用 $\overline{W}_{\rm dis}$ 表示平均耗散功，就是前几章的 $W_d$。

$$
\widehat{\Delta F}_N=-k_BT\ln\!\left(\frac1N\sum_{i=1}^{N}e^{-W_i/k_BT}\right),\qquad B(N)=\big\langle\widehat{\Delta F}_N\big\rangle-\Delta F
$$

外层尖括号是对许多组、每组 N 次拉动求平均。

来源：J. Gore

## 图 1：一族高斯分布

横轴是单次拉动的耗散功 $W-\Delta F$，四条曲线的平均耗散功分别为 0.5、1、2、4 个 $k_BT$。作者假设功是高斯分布，方差等于 $2k_BT\,\overline{W}_{\rm dis}$，所以平均值越大，曲线越宽。

容易看错的地方是：曲线变宽，往负值那边伸得更远，耗散功为负的拉动反而变少了。比例是 $\Phi\!\left(-\sqrt{\overline{W}_{\rm dis}/2k_BT}\right)$，四条曲线依次约为 31%、24%、16%、7.9%。

论文还特别指出，用谐振弹簧拖过水的珠子，不论拖多快，功都是高斯分布。这正是第三章的模型，所以这篇论文的高斯结果可以直接拿到拖动光阱上检验。

来源：J. Gore · O. Mazonka and C. Jarzynski

## 图 2：耗散 4 个热能单位，每次只拉 20 次

直方图是 100 000 个估计值减去真值的分布，每个估计用 20 次高斯拉动算出。实线是功的分布本身，虚线是乘上 Jarzynski 权重后的分布，峰在 $-4\,k_BT$，那里的拉动不到 1%。点线标出直方图的平均值：偏差约 $1.07\,k_BT$。

读这张图要分开三个量。直方图中心离零多远是偏差；直方图本身的宽度是估计的随机误差；两者平方相加是均方误差，即论文的式 (6)。宽度可以靠多做几遍实验来平均，偏差不行。

我们用自己的高斯抽样器复算：同样 100 000 组、每组 20 次，随机种子 2003，得到偏差 $1.064\pm0.004\,k_BT$，与论文的 1.07 一致。

平均耗散功为 $4\,k_BT$ 的高斯分布（实线，即 Gore、Ritort 与 Bustamante 2003 年图 2 的情形），以及乘上 Jarzynski 权重后的曲线（虚线）。加权曲线的峰在 $-4\,k_BT$，那里的拉动很少出现。课程复算的解析曲线。

来源：J. Gore

## 完整例题：4 个热能单位时偏差下降得多慢

图 3A 用对数坐标画偏差随 $N$ 的变化，平均耗散功从 0.5 到 64 个 $k_BT$，每个圆点平均了 150 000 组。拉动次数少时，圆点接近直线，即幂律 $B\approx\overline{W}_{\rm dis}N^{-\alpha}$（论文式 10）。次数很多时，对数可以线性展开，偏差按 $1/N$ 下降（式 11）。

作者让两段在 $N_C=C\big(e^{2\overline{W}_{\rm dis}/k_BT}-1\big)$ 处相接，取 $C=15$（式 12）。令两式在此相等，就解出指数 $\alpha$。开放全文里的公式是图片，下式是我们按正文描述推出的。

代入 $\overline{W}_{\rm dis}=4\,k_BT$：$N_C\approx44\,700$，$\alpha\approx0.447$，于是 $B(20)\approx4/20^{0.447}\approx1.05\,k_BT$，与图 2 的 1.07 只差 2%。代入 $5\,k_BT$ 得 $\alpha\approx0.39$，与论文说的约 0.4 相符。到 $64\,k_BT$，$N_C$ 约为 $10^{57}$：实际实验几乎都处在小 $N$ 的那一段。

$$
B(N)\approx\frac{k_BT\left(e^{2\overline{W}_{\rm dis}/k_BT}-1\right)}{2N}\quad(N\gg N_C)
$$

高斯情形下 $e^{-W_{\rm dis}/k_BT}$ 的方差等于 $e^{2\overline{W}_{\rm dis}/k_BT}-1$，代入对数的线性展开即得。

$$
\alpha=\frac{\ln\!\left(2C\,\overline{W}_{\rm dis}/k_BT\right)}{\ln N_C}
$$

由 $\overline{W}_{\rm dis}N_C^{-\alpha}=k_BT/2C$ 取对数得到。耗散越大，$\alpha$ 越小，偏差降得越慢。

来源：J. Gore

## 回到拖动光阱：只拉二十次

实验里的“只拉二十次”预设，用 $21\,\mu\mathrm{m/s}$ 拖 100 nm，平均耗散功 $3.99\,k_BT$，每个方向 20 次，几乎正好是图 2 的情形。默认记录的正向估计为 $3.71\,k_BT$，比真值 $2.41\,k_BT$ 高 $1.30\,k_BT$，与论文的平均偏差同一量级。同样的速度拉 20 000 次，估计回到 $2.40\,k_BT$。

读下一篇用非平衡拉动求自由能的论文时，可以依次记下：功的分布是否接近高斯，低功一侧有没有被采样到；平均耗散功是几个热能单位；拉动次数与耗散功的指数相比是多是少；作者是否分开报告了偏差和随机误差；有没有用反向拉动做对照。

实验方面，Blickle 与 Bechinger 2012 年用一颗光阱里的胶体珠做成了随机热机：每个循环的功涨落很大，慢循环效率接近 0.14，最大功率时效率约 0.075。读那篇论文时，同样要问单次循环与平均值各说明了什么。

来源：J. Gore · V. Blickle and C. Bechinger

## 到实验里试一试

### [重复图 2 的情形](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dragged-trap-work/)

1. 选择“只拉二十次”。预测：反复重新抽样，正向 Jarzynski 估计的平均值大约在哪里？（提示：真值加上约 $1\,k_BT$。）
2. 重新抽样十次，每次记下正向估计，求平均，和你的预测比较。再看交点估计是否也有同样的偏移。
3. 把拉动次数调到 200，再重复几次，看偏差缩小了多少，用本章的指数公式估算并比较。

## 练习与解答

1. 证明 $N=1$ 时偏差等于平均耗散功。

   展开解答

   一次拉动时 $\widehat{\Delta F}_1=-k_BT\ln e^{-W/k_BT}=W$，平均值为 $\langle W\rangle=\Delta F+\overline{W}_{\rm dis}$，减去 $\Delta F$ 即得。

2. 平均耗散功为 $2\,k_BT$、取 $C=15$ 时，大 $N$ 段从多少次拉动开始？那时偏差多大？

   展开解答

   $N_C=15(e^4-1)\approx804$。此时大 $N$ 公式给出 $B=k_BT/2C\approx0.033\,k_BT$。几百次拉动就足够，这正是第三章“慢拉”的情形。

3. 一篇论文用 10 次拉动求自由能，平均功比估计值高 $6\,k_BT$。按图 3 的结论，偏差大约有多大？

   展开解答

   平均功减估计值低估了真实耗散，所以耗散功至少约 $6\,k_BT$。此时 $\alpha\approx0.35$，$B(10)\approx6/10^{0.35}\approx2.7\,k_BT$。估计可能偏高好几个热能单位，需要更多拉动或反向数据才能下结论。

[上一章：只看到一部分状态时，还能看出多少耗散](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/hidden-dissipation/)

## 来源与复算范围

1. [O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912121v1)

   1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。

2. [J. Gore, F. Ritort and C. Bustamante, Bias and error in estimates of equilibrium free-energy differences from nonequilibrium measurements, PNAS 100, 12564–12569 (2003)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC240657/)

   PubMed Central 开放全文。图 1：平均耗散功为 0.5、1、2、4 个热能单位的高斯分布。图 2：平均耗散功为 4 个单位时，每次用 20 个功值估计，共 10 万次，平均偏差约 1.07 个单位。图 3：偏差随样本数的变化，以及常数 C 取 15 时的衰减指数。课程用自己的抽样复算了图 2 的偏差。

3. [V. Blickle and C. Bechinger, Realization of a micrometre-sized stochastic heat engine, Nature Physics 8, 143–146 (2012)](https://doi.org/10.1038/nphys2163)

   一颗 2.94 μm 胶体珠留在光阱里，阱刚度在 281 与 1180 fN/μm 之间循环，激光加热让环境在 22 °C 与 86 °C 之间切换。在 76 °C 的数据里，单个循环的功涨落很大；慢循环的效率趋近 0.14，约为卡诺效率的 0.91 倍；最大功率时效率约 0.075，接近 Curzon–Ahlborn 值 0.081。仅作为实验阅读例子引用。