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title: "随机热力学：一颗微珠的功、热与信息"
description: "从光阱里一颗微珠的热运动出发，走到单次拉动的功、用不可逆拉伸求自由能，以及样本少时的偏差。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[随机热力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/)

FR25 · 连续互动课程

# 随机热力学：一颗微珠的功、热与信息

Sandbox Physics · 2026-10-29

一颗一微米大小的珠子被激光束住，却从来不会安静。拉它一下，每次做的功都不一样。这些涨落并不只是噪声：用对的方式求平均，能从中读出自由能，还能算出信息的代价。

[从光阱里的一颗珠子开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/bead-in-a-trap/) 先动手试试

谐振光阱里的珠子。碗形曲线是势能，阴影曲线是位置的玻尔兹曼分布，宽度为 $\sqrt{k_BT/k}$。原创示意图，不是实测数据。

## 从光阱里的一颗珠子，到燃料驱动的酶

第一章测一颗被光阱束住的珠子在室温下会晃多远。第二章把一次拉动的能量分成功和热。第三章算出光阱匀速移动时功的平均值和涨落，第四章用许多次不可逆拉动求出平衡自由能。第五章先测珠子的位置再移动光阱，把每次读数里的信息换成功。第六章换成在三个状态之间循环的酶，求它每秒产生多少熵；第七章问只看到部分状态的观察者能证明其中多少。最后一章读 2003 年的一篇论文，看拉动次数少时，求出的自由能为什么会有偏差。

需要代数、指数函数和一点概率知识。高斯分布、平均值和 Langevin 方程在第一次用到时再介绍。 [FR25](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/55)

1. 01 · L1

   ## [室温下，光阱里的珠子会晃多远](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/bead-in-a-trap/)

   用玻尔兹曼分布算出光阱里珠子晃动的幅度、忘掉初始位置的快慢，以及为什么热能是这里的能量尺度。

2. 02 · L2

   ## [一次拉动里的功和热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/work-and-heat-along-one-path/)

   沿一条带噪声的轨迹定义功和热，对单次拉动验证第一定律，再算猛地一跳为什么比慢慢拖更费功。

3. 03 · L2

   ## [匀速拖动光阱时，功的平均值和涨落](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/dragging-the-trap/)

   解出珠子落后于移动光阱的距离，推导平均耗散功和功的方差，看拖动速度怎样同时改变两者。

4. 04 · L3

   ## [Jarzynski 等式和 Crooks 关系怎样从不可逆拉动求出自由能](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/jarzynski-and-crooks/)

   用功的指数平均求出自由能，找到正反向功分布的交点，再看为什么少数几次拉动决定了结果。

5. 05 · L3

   ## [测量微珠位置再移动光阱，最多能提取多少功](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/feedback-and-information/)

   推导一次带误差的位置测量所含的互信息，以及据此移动光阱能提取的平均功，并说明为什么只移光阱用不完这些信息。

6. 06 · L3

   ## [燃料驱动的酶每秒产生多少熵](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/entropy-production-in-networks/)

   写出三态酶循环的主方程，证明熵产生率等于循环速率乘每圈燃料，再看只数圈数能证明多少。

7. 07 · L4

   ## [只看到一部分状态时，还能看出多少耗散](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/hidden-dissipation/)

   用定时快照给熵产生定下限，说明只看结合与否的记录为何完全可逆，再认识等待时间里的线索。

8. 08 · L4

   ## [逐图读懂 Gore、Ritort 与 Bustamante 2003 年论文里的有限样本偏差](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/reading-the-jarzynski-bias-paper/)

   逐图读 2003 年 PNAS 论文，看懂有限样本偏差，复算 20 次拉动时的偏差，再用模拟拉动检验。

## 沿途的实验

[01 **拖动光阱里的微珠** 把微珠反复往上坡拉，比较平均功、Jarzynski 估计和正反向拉动分布的交点。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dragged-trap-work/) [02 **运行信息引擎** 测量微珠位置、把光阱移向读数，比较提取的功和得到的信息量。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/feedback-information-engine/) [03 **把酶的耗散藏起来** 看燃料驱动的酶循环，比较它的熵产生与数圈数、拍快照或只看结合与否所能证明的下限。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hidden-entropy-network/) [04 **标定光镊** 从自由珠子的热运动测出光阱刚度。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)

拖动光阱实验模拟 300 K 水中一颗一微米的珠子，光阱每移动一小步，珠子按精确的弛豫规律运动一步。功的数值来自模拟，精确的自由能变化单独列出，作为对照。

## 来源与复算范围

1. [U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)](https://arxiv.org/abs/1205.4176v1)

   2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。

2. [O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912121v1)

   1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。

3. [C. Jarzynski, A nonequilibrium equality for free energy differences, arXiv:cond-mat/9610209v1; Physical Review Letters 78, 2690–2693 (1997)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9610209v1)

   1996 年 10 月 30 日 v1。从平衡态出发反复切换参数时，功的指数平均等于平衡自由能差。课程只依据其摘要和问题设定；推导采用 Seifert 综述中的 Langevin 版本。

4. [G. E. Crooks, Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences, arXiv:cond-mat/9901352v4; Physical Review E 60, 2721–2726 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9901352v4)

   v4。正向与时间反演过程功分布之比。课程按 Seifert 式 (61) 的形式使用这一关系，并在模拟拉伸上检验；没有复算论文自己的例子。

5. [J. Gore, F. Ritort and C. Bustamante, Bias and error in estimates of equilibrium free-energy differences from nonequilibrium measurements, PNAS 100, 12564–12569 (2003)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC240657/)

   PubMed Central 开放全文。图 1：平均耗散功为 0.5、1、2、4 个热能单位的高斯分布。图 2：平均耗散功为 4 个单位时，每次用 20 个功值估计，共 10 万次，平均偏差约 1.07 个单位。图 3：偏差随样本数的变化，以及常数 C 取 15 时的衰减指数。课程用自己的抽样复算了图 2 的偏差。

6. [V. Blickle and C. Bechinger, Realization of a micrometre-sized stochastic heat engine, Nature Physics 8, 143–146 (2012)](https://doi.org/10.1038/nphys2163)

   一颗 2.94 μm 胶体珠留在光阱里，阱刚度在 281 与 1180 fN/μm 之间循环，激光加热让环境在 22 °C 与 86 °C 之间切换。在 76 °C 的数据里，单个循环的功涨落很大；慢循环的效率趋近 0.14，约为卡诺效率的 0.91 倍；最大功率时效率约 0.075，接近 Curzon–Ahlborn 值 0.081。仅作为实验阅读例子引用。

7. [T. Sagawa and M. Ueda, Generalized Jarzynski equality under nonequilibrium feedback control, arXiv:0907.4914v3; Physical Review Letters 104, 090602 (2010)](https://arxiv.org/abs/0907.4914v3)

   2010 年 1 月 20 日 v3。式 (3)：有反馈时，平均功最多可以比自由能差低热能乘互信息。式 (4)：从平衡态出发时与之对应的等式。课程里的光阱引擎及其数值是课程自己的。

8. [T. Sagawa and M. Ueda, Minimal energy cost for thermodynamic information processing: measurement and information erasure, arXiv:0809.4098v3; Physical Review Letters 102, 250602 (2009)](https://arxiv.org/abs/0809.4098v3)

   2009 年 5 月 30 日 v3。式 (4)：测量并随后擦除记录，两步合计至少要花热能乘所得的互信息。

9. [A. C. Barato and U. Seifert, Thermodynamic uncertainty relation for biomolecular processes, arXiv:1502.05944v2; Physical Review Letters 114, 158101 (2015)](https://arxiv.org/abs/1502.05944v2)

   2015 年 4 月 30 日 v2。式 (4)：有偏随机行走的耗散乘相对不确定度的平方等于 A coth(A/2)，至少为两个热能单位。式 (7) 与 (10)：一般网络的扩散常数与乘积 Q。式 (19)：三态 ATP 水解循环。式 (20)：N 个状态的环上更紧的下限。课程里的酶速率与数值是课程自己的。

10. [I. A. Martínez, G. Bisker, J. M. Horowitz and J. M. R. Parrondo, Inferring broken detailed balance in the absence of observable currents, arXiv:1809.02084v2 (2019)](https://arxiv.org/abs/1809.02084v2)

    2019 年 7 月 23 日 v2。式 (1)：熵产生率不小于观测轨迹与其时间反演之间的相对熵率。式 (2)：这个速率分成亲和势部分和等待时间部分（式 3 至 6）。部分隐藏网络的例子观测状态 1、2 和一个隐藏类。未核对期刊版本。