--- title: "匀速拖动光阱时，功的平均值和涨落" description: "解出珠子落后于移动光阱的距离，推导平均耗散功和功的方差，看拖动速度怎样同时改变两者。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/dragging-the-trap/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/stochastic-thermodynamics/dragging-the-trap/" last_modified: "2026-10-29" --- [随机热力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/) L2 · 第 3 章 # 匀速拖动光阱时，功的平均值和涨落 Sandbox Physics · 2026-10-29 把光阱从一处匀速拖到另一处，珠子总是落在光阱后面一点。落后得越多，弹簧拉得越长，你做的功就越多。这个模型可以精确求解：功的平均值、涨落，以及两者之间的一条固定关系，都能写成明确的公式。 ## 开始前需要什么 第一章的弛豫时间和第二章功的定义。会解形如“变化率正比于离目标的距离”的一阶方程，即指数趋近。 - 在随光阱运动的坐标里解出平均滞后，并积分得到平均耗散功。 - 用功方差等于 2 倍热能乘耗散功这一关系，从平均值推出涨落。 ## 珠子落在光阱后面 光阱以速度 $v$ 匀速移动：$\lambda=vt$，用时 $\tau=L/v$。换到跟着光阱走的坐标，令 $y=x-\lambda$。珠子要跟上光阱，水的阻力就一直往后拽它，这相当于在 Langevin 方程里多了一个恒定的力 $-\gamma v$。 取平均后随机力消失，平均滞后按弛豫时间 $\tau_r$ 从静止时的 $-f/k$ 指数地趋向稳态值。稳态时多出来的滞后 $v\tau_r$ 正好让弹簧的力抵消水的阻力 $\gamma v$。 $$ \gamma\dot y=-ky-f-\gamma v+\xi(t),\qquad \langle y(t)\rangle=-\frac{f}{k}-v\tau_r\left(1-e^{-t/\tau_r}\right) $$ 初始时刻珠子已在静止光阱中达到平衡，滞后只有负载造成的部分。 来源：O. Mazonka and C. Jarzynski ## 平均功：一部分存起来，一部分耗散掉 第二章的功率是 $-ky\,v$。代入平均滞后，第一项 $fv$ 积分后是 $fL$，即自由能变化 $\Delta F$；第二项来自速度造成的滞后，积分后就是平均耗散功 $W_d$。 两个极限可以用来检查这个式子。拖得很慢时，$\tau\gg\tau_r$，括号近似为 $\tau$，$W_d\approx\gamma vL$：阻力乘距离，速度趋于零时它也趋于零。拖得极快时，$\tau\ll\tau_r$，把指数展开到二阶，得到 $W_d\to kL^2/2$，正是第二章光阱瞬间跳动的结果。 $$ \langle W\rangle=fL+W_d,\qquad W_d=\gamma v^2\left[\tau-\tau_r\left(1-e^{-\tau/\tau_r}\right)\right] $$ Mazonka 与 Jarzynski 的式 (51) 给出同样结果。这里括号里的量就是珠子在整个拖动过程中“多落后”的时间积累。 来源：O. Mazonka and C. Jarzynski ## 涨落由平均值决定 珠子的滞后 $y$ 是高斯随机过程，功是它对时间的线性积分，所以每次拉动的功服从高斯分布。更进一步，它的方差恰好是 $2k_BT$ 乘平均耗散功。这和第二章瞬间跳动时得到的关系一样。 原因在于：让珠子落后的阻力，和让珠子乱晃的随机撞击，来自同一群水分子。第一章里随机力的强度 $2\gamma k_BT$ 就是这样定下来的。这条关系是涨落—耗散定理的一个例子，在本模型里对任何速度都成立。 它给了一个不需要知道 $\Delta F$ 的检验：测出许多次拉动的功，平均值减去方差除以 $2k_BT$，就应该得到自由能变化。下一章会看到，这正是 Jarzynski 等式在高斯情形下的样子。 $$ \operatorname{Var}W=2k_BT\,W_d,\qquad \langle W\rangle-\frac{\operatorname{Var}W}{2k_BT}=\Delta F $$ Mazonka 与 Jarzynski 的式 (52)—(53)；Gore、Ritort 与 Bustamante 的图 1 也采用这一高斯关系。若功的分布偏离高斯，后一个等式只是近似。 来源：O. Mazonka and C. Jarzynski · J. Gore ## 完整例题：三种拖动速度 沿用前两章的数值：$k=12\,\mathrm{pN/\mu m}$，$\tau_r=0.785\,\mathrm{ms}$，$L=100\,\mathrm{nm}$，$\Delta F=2.41\,k_BT$。以 $10\,\mu\mathrm{m/s}$ 拖动，用时 $10\,\mathrm{ms}$，稳态多落后 $v\tau_r=7.85\,\mathrm{nm}$。代入得 $W_d=2.10\,k_BT$，平均功 $4.51\,k_BT$，标准差 $\sqrt{2\times2.10}=2.05\,k_BT$。 减速到 $2\,\mu\mathrm{m/s}$，用时 $50\,\mathrm{ms}$，$W_d=0.448\,k_BT$，标准差 $0.947\,k_BT$。加速到 $40\,\mu\mathrm{m/s}$，用时 $2.5\,\mathrm{ms}$，$W_d=6.36\,k_BT$，标准差 $3.57\,k_BT$。速度加到二十倍，耗散功涨到约十四倍，分布的宽度涨到不到四倍。 功小于 $\Delta F$ 的拉动占比为 $\Phi\!\left(-\sqrt{W_d/2k_BT}\right)$：三种速度下分别约为 32%、15% 和 3.7%。慢拉时这样的拉动随处可见，快拉时就少了。 实验中的光阱是一小步一小步移动的。把同一段距离分成 $n$ 步，离散结果与上面的连续公式之差按 $1/n^2$ 缩小；默认设置用 204 步，相对差约 $4\times10^{-4}$。 ## 到实验里试一试 ### [比较慢拉和快拉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dragged-trap-work/) 1. 先预测：从“几乎可逆”换到“少数拉动定胜负”，功直方图的中心和宽度各往哪个方向变？宽度大约变成几倍？ 2. 依次选择两个预设，比较平均功和直方图宽度，用 $\operatorname{Var}W=2k_BT\,W_d$ 检查宽度的变化是否和平均功的变化一致。 3. 回到“几乎可逆”预设，只改变光阱刚度。根据慢拉极限，预测平均功会不会改变，再验证。换成默认速度重复一次，解释为什么这时软光阱的耗散功略小。 ## 练习与解答 1. 在慢拉极限下，距离不变，速度减半，耗散功和功的标准差各变成多少？ 展开解答 慢拉时 $W_d\approx\gamma vL$，速度减半，耗散功减半；标准差 $\sqrt{2k_BTW_d}$ 变为原来的 $1/\sqrt2$。用时加倍，换来耗散减半。 2. 保持速度不变，把光阱刚度加倍。慢拉极限下平均耗散功会变吗？珠子的滞后呢？ 展开解答 平均耗散功 $\gamma vL$ 不含刚度，不变。滞后 $v\tau_r=\gamma v/k$ 减半，但弹簧也硬了一倍，两者相乘的力仍是 $\gamma v$。阻力决定耗散，刚度只决定珠子落后多少。 3. 若测得 200 次拉动的平均功为 $4.41\,k_BT$，方差为 $3.9\,k_BT^2$，估计自由能变化。 展开解答 高斯近似下 $\Delta F\approx4.41-3.9/2\approx2.46\,k_BT$。200 次拉动的样本方差有约 10% 的统计误差，单这一项就让估计偏移约 $0.2\,k_BT$；再加上平均值的误差，总误差约 $0.25\,k_BT$。 [上一章：一次拉动里的功和热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/work-and-heat-along-one-path/) [下一章：Jarzynski 等式和 Crooks 关系怎样从不可逆拉动求出自由能](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/jarzynski-and-crooks/) ## 来源与复算范围 1. [O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912121v1) 1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。 2. [J. Gore, F. Ritort and C. Bustamante, Bias and error in estimates of equilibrium free-energy differences from nonequilibrium measurements, PNAS 100, 12564–12569 (2003)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC240657/) PubMed Central 开放全文。图 1：平均耗散功为 0.5、1、2、4 个热能单位的高斯分布。图 2：平均耗散功为 4 个单位时，每次用 20 个功值估计，共 10 万次，平均偏差约 1.07 个单位。图 3：偏差随样本数的变化，以及常数 C 取 15 时的衰减指数。课程用自己的抽样复算了图 2 的偏差。