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title: "室温下，光阱里的珠子会晃多远"
description: "用玻尔兹曼分布算出光阱里珠子晃动的幅度、忘掉初始位置的快慢，以及为什么热能是这里的能量尺度。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/stochastic-thermodynamics/bead-in-a-trap/"
last_modified: "2026-10-29"
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[随机热力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/)

L1 · 第 1 章

# 室温下，光阱里的珠子会晃多远

Sandbox Physics · 2026-10-29

一颗直径一微米的塑料珠泡在水里，被聚焦的激光束住。它不会停在光斑中心，而是不停地小幅乱晃。晃多远、多久换一次方向，只取决于光阱有多硬、水有多粘和温度有多高。这三样东西定下来，后面几章讲的功、热和自由能就都有了尺度。

## 开始前需要什么

会用指数函数，知道弹簧势能是二分之一乘劲度系数乘伸长量的平方。概率分布、平均值和方差在本章第一次用到时解释。

- 从玻尔兹曼分布推出光阱中珠子位置的平均值和方差。
- 估算珠子的弛豫时间，并说明它和温度无关的原因。

## 一颗停不下来的珠子

光阱对珠子的作用很像一根看不见的弹簧：珠子偏离光斑中心 $\lambda$ 多远，就被拉回多大的力。再加一个恒定的负载力 $f$，比如一根分子链在另一头轻轻拽着，势能就是下面这个式子。

长度用纳米，力用皮牛。两者相乘得到的能量单位 $\mathrm{pN\,nm}$ 等于 $10^{-21}\,\mathrm{J}$，正好适合这个尺度。300 K 时热能 $k_BT=4.14\,\mathrm{pN\,nm}$，水分子每次撞击给珠子的能量就在这个量级。

$$
V(x,\lambda)=\frac{k}{2}(x-\lambda)^2+fx
$$

这里 $x$ 是珠子中心的位置，$k$ 是光阱刚度。负载项让珠子朝负方向偏，但不改变碗的形状。

来源：U. Seifert

## 珠子大部分时间待在哪里

光阱不动、等足够久之后，珠子出现在位置 $x$ 附近的概率正比于 $e^{-V/k_BT}$。这就是玻尔兹曼分布：势能每高出一个 $k_BT$，出现的机会就少到原来的 $1/e$。

把势能配方，指数里只剩一个完全平方，分布就是高斯分布。它的中心比光斑偏了 $f/k$，宽度只由刚度和温度决定。方差是偏离平均位置的平方的平均值，开方后就是珠子典型的晃动幅度。

把方差乘上 $k/2$，弹簧里平均存着 $k_BT/2$ 的能量。这就是能量均分：每个平方形式的自由度，平均分到半个 $k_BT$。

$$
p_{\rm eq}(x)\propto e^{-V(x,\lambda)/k_BT},\qquad \langle x\rangle=\lambda-\frac{f}{k},\qquad \langle(x-\langle x\rangle)^2\rangle=\frac{k_BT}{k}
$$

负载只移动分布的中心；配方后剩下的常数项与位置无关，被归一化吸收。

谐振光阱里的珠子。碗形曲线是势能，阴影曲线是位置的玻尔兹曼分布，宽度为 $\sqrt{k_BT/k}$。原创示意图，不是实测数据。

来源：U. Seifert

## 它多快忘掉自己从哪里来

珠子在水里极轻又极慢，惯性可以忽略：任何时刻，水的粘滞阻力都和光阱的力、随机撞击力三者平衡。这就是过阻尼 Langevin 方程。阻力系数 $\gamma$ 由 Stokes 公式给出，与珠子半径和水的粘度成正比。

取平均后随机力消失，平均位置按 $e^{-t/\tau_r}$ 回到平衡，弛豫时间 $\tau_r=\gamma/k$。温度不进这个比值：它决定晃多大，不决定回来多快。随机力的强度 $2\gamma k_BT$ 不是随便选的；只有这样，长时间后的分布才正好是上一节的玻尔兹曼分布。

$$
\gamma\dot x=-\frac{\partial V}{\partial x}+\xi(t),\qquad \langle\xi(t)\xi(s)\rangle=2\gamma k_BT\,\delta(t-s),\qquad \gamma=6\pi\eta a
$$

这里 $\eta$ 是水的粘度，$a$ 是珠子半径。式中的随机力在不同时刻互不相关。

来源：U. Seifert · O. Mazonka and C. Jarzynski

## 完整例题：12 pN/μm 光阱里的一微米珠子

取 $k=12\,\mathrm{pN/\mu m}=0.012\,\mathrm{pN/nm}$，300 K。方差 $k_BT/k=4.14/0.012\approx345\,\mathrm{nm^2}$，晃动幅度约 $18.6\,\mathrm{nm}$。这比珠子本身小五十多倍，用高速相机和光电探测器都能测到。

水在室温下的粘度取 $1\,\mathrm{mPa\,s}$，半径 $0.5\,\mu\mathrm{m}$，得 $\gamma=9.42\times10^{-3}\,\mathrm{pN\,ms/nm}$，弛豫时间 $\tau_r\approx0.785\,\mathrm{ms}$。不到一毫秒，珠子就忘掉了自己刚才在哪。

加上 $f=0.1\,\mathrm{pN}$ 的负载，中心移动 $f/k\approx8.3\,\mathrm{nm}$，宽度不变。把光阱调硬到 $40\,\mathrm{pN/\mu m}$，幅度降到 $10.2\,\mathrm{nm}$，弛豫时间缩到 $0.236\,\mathrm{ms}$：硬的光阱让珠子晃得更小，也回得更快。

## 到实验里试一试

### [先看静止光阱里的一群珠子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dragged-trap-work/)

1. 选择“平地：全是耗散”预设，它没有负载。在拉动开始前观察碗底的珠子云。预测：把刚度从 4 调到 40 pN/μm，云的宽度会变成原来的几分之一？
2. 改变刚度后重新播放，比较珠子云的宽度。刚度乘十倍，宽度应缩小到约 $1/\sqrt{10}\approx0.32$ 倍。
3. 再加上负载，看珠子云的中心往哪边移，宽度是否改变，用本章的配方结论解释。

### [反过来，用晃动测刚度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)

1. 在光镊标定实验里，先猜测刚度更大时位置记录的起伏会怎样变化。
2. 只改变刚度，读出位置方差，用 $k=k_BT/\langle\delta x^2\rangle$ 算回刚度，与设定值比较。

## 练习与解答

1. 刚度为 $4\,\mathrm{pN/\mu m}$ 时，300 K 下珠子晃动幅度是多少？弛豫时间呢？

   展开解答

   方差 $4.14/0.004\approx1036\,\mathrm{nm^2}$，幅度约 $32\,\mathrm{nm}$。弛豫时间 $\gamma/k\approx2.36\,\mathrm{ms}$。软的光阱让珠子晃得更大，也回得更慢。

2. 假设水的粘度不变，只把温度升高一倍，晃动幅度和弛豫时间各怎样变？

   展开解答

   方差和 $k_BT$ 成正比，加倍；幅度变为原来的 $\sqrt2$ 倍。弛豫时间 $\gamma/k$ 不含温度，不变。真实的水升温后粘度会下降，弛豫会因此变快，那是另一个效应。

3. 珠子出现在离平均位置三个幅度远的地方，比出现在平均位置附近少多少？

   展开解答

   记 $\sigma^2=k_BT/k$，多出的势能是 $\tfrac{k}{2}(3\sigma)^2=\tfrac{9}{2}k_BT$，概率密度之比为 $e^{-4.5}\approx0.011$。录下几千帧，就会遇到许多次这样的偏离。

[下一章：一次拉动里的功和热](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/work-and-heat-along-one-path/)

## 来源与复算范围

1. [U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)](https://arxiv.org/abs/1205.4176v1)

   2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。

2. [O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912121v1)

   1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。