--- title: "加速气流怎样挑选共振位置" description: "从球形流场推导视线梯度、Sobolev光学厚度和散射源函数，再沿一条真实几何射线算出谱线贡献。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-winds/resonance-surfaces-in-an-accelerating-wind/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/stellar-winds/resonance-surfaces-in-an-accelerating-wind/" last_modified: "2026-11-03" --- [从星光读懂恒星风](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-winds/) 恒星风 · L2 # 加速气流怎样挑选共振位置 Sandbox Physics · 2026-11-03 一个接收频率通常只和风中某些位置共振。那些位置有相同的视线速度，连起来便是一片共振面。把共振面与星盘、遮挡和孔径放在一起，就能从规定气流逐步算出P Cygni谱。 ## 开始前需要什么 先读光子动量与风的能量一章。需要球坐标的直观、导数和积分；视线投影与局部近似会逐步建立。 ## 把方向、速度和边界先定下来 让观测者位于正$z$方向，气体径向向外流。$r$是离星心的距离，$p$是射线离中心轴的投影距离，$\mu=z/r$。收到的多普勒速度记为$u$，红移取正；近侧向我们运动，所以其$u$为负。 模型只计算从光球到八个恒星半径的谱线形成体积。规定一条beta速度律，指数$\beta_{\rm w}$控制加速区形状。每次改变指数时，同时调整$b$，让光球外缘速度始终是渐近速度的5%。这个起始条件没有被滑块悄悄改掉。 以$\beta_{\rm w}=1$、渐近速度每秒二百千米为例，八个恒星半径处只有每秒176.25千米。有限体积的最大速度与无穷远渐近速度不同，谱里的蓝边还会受线宽、离子分布和观测处理影响。 $$ \begin{aligned}u&=-\mu v(r)\\v(r)&=v_\infty\left(1-\frac{bR_\star}{r}\right)^{\beta_{\rm w}}\\b&=1-0.05^{1/\beta_{\rm w}}\end{aligned} $$ 这里的速度律是输入。$R_\star$是光球半径，$v_\infty$是渐近速度，$\beta_{\rm w}$不表示逃逸概率。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction ## 同一质量流量怎样穿过各层 平稳球对称意味着每秒穿过各球壳的质量相同。球壳面积乘密度再乘径向速度，就是这个质量流量。解出密度就能看出，半径越大、流速越快，气体越稀。 若半径增大一倍、速度又增大一倍，在同一质量流量下，密度会降到原来的八分之一。这个关系也决定流点的停留分布：一层里的物质越慢，留下的质量越多。 改变终端速度时，密度必须跟着更新。只把一条预画曲线拉宽，再把气体密度留在原处，会断开流场与谱线之间的关系。 $$ \dot M=4\pi r^2\rho(r)v(r),\qquad\rho(r)=\frac{\dot M}{4\pi r^2v(r)} $$ SI单位中，$\dot M$为千克每秒，$r$为米，$v$为米每秒，密度为千克每立方米。 对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars ## 为什么不能只用径向速度导数 沿一条固定投影距离的射线前进，速度大小会变，径向方向与视线的夹角也会变。对投影速度$v\mu$求视线导数，要把两部分都保留。几何给出$dr/dz=\mu$以及$d\mu/dz=(1-\mu^2)/r$。 代入链式法则便得到下方的方向梯度。径向射线使用径向加速；接近切向的射线则主要依赖方向投影的变化。即使局部速度大小变得很慢，球形几何仍能让视线速度改变。 在这条单调外流速度律中，梯度为正，一个指定频率在给定射线上至多对应一个局部共振位置。非单调风的多个共振位置会彼此传光，不能继续沿用这个单共振步骤。 $$ D(\mu,r)=\frac{d(v\mu)}{dz}=\mu^2\frac{dv}{dr}+(1-\mu^2)\frac vr $$ $D$的单位是每秒。$du/dz=-D$，光学厚度中用其正的大小。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method ## 把很窄的共振层积成光学厚度 用$\phi(u)$描述内禀线形，并规定它对速度积分为一。把线不透明度对速度的积分记为$\kappa_V$，其SI单位是$\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-1}}$。于是局部消光系数为$\kappa_V\rho\phi$，单位为每米。 若共振层很薄，层内密度、速度梯度和源函数近似不变。积分时把位置变量换成投影速度，归一化线形的积分便留下不透明度乘密度，再除以方向梯度。这就是Sobolev光学厚度。 用恒星半径与渐近速度归一化后，一个重要标度是$T$。质量流量、电离及参考线不透明度进入分子，速度标度的平方进入分母。这解释了为什么调快风时，谱的宽度和深度会一起改变。 $$ \int\phi(u)\,du=1,\qquad\tau(\mu,r)=\frac{\kappa_V\rho}{D(\mu,r)} $$ $\kappa_V\rho$与$D$同为每秒，$\tau$无量纲。热或微观湍流宽度与仪器宽度属于不同物理步骤。 $$ T=\frac{\kappa_V\dot M}{4\pi R_\star v_\infty^2} $$ 参考不透明度还可乘一个相对电离/线不透明度乘数。绝对离子数分数至多为一；这里用的是相对参考不透明度的乘数。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars ## 散射源函数从哪里来 恒星在气体看来占据一个有限立体角。定义$\mu_\star$为光球边缘方向的余弦，再计算各方向上逃出局部共振层的概率。外来的星光提供光子，局部重吸收又能让光子在层内多次散射。 对于各向同性、保守的这条孤立线，令平均逃逸概率为$B_{\rm esc}$，有限星盘照明项为$B_\star$。局部散射平衡可写成$S=(1-B_{\rm esc})S+B_\star I_c$，解出源函数与星盘强度之比。 薄线的逃逸概率趋近一，源函数便退化为几何稀释因子。一般加速风的方向光学厚度不同，厚线源函数还会依赖这些梯度。在光球外缘，星盘占满一个半球，方向不透明度又是偶函数，因此源函数恰好为星盘强度的一半。 $$ \begin{aligned}\mu_\star&=\sqrt{1-R_\star^2/r^2}\\B_{\rm esc}&=\frac12\int_{-1}^{1}\frac{1-e^{-\tau(\mu)}}{\tau(\mu)}\,d\mu\end{aligned} $$ $I_c$是均匀光球连续谱的光子强度。逃逸概率里的$\tau$包含完整方向梯度。 $$ \begin{aligned}B_\star&=\frac12\int_{\mu_\star}^{1}\frac{1-e^{-\tau(\mu)}}{\tau(\mu)}\,d\mu\\S/I_c&=B_\star/B_{\rm esc}\end{aligned} $$ 这是声明的局部Sobolev散射平衡，并未求解完整非LTE原子布居或有限宽度共动系传输。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction ## 完整算一条星盘射线 取$\beta_{\rm w}=1$、$T=0.2$，看半径为两倍光球半径、$\mu=0.9$的近侧位置。速度是渐近速度的0.525倍，投影距离约为光球半径的0.872倍，因此这条射线确实穿过可见星盘。渐近速度每秒二百千米时，它落在红移为正坐标的每秒负94.5千米。 用恒星半径和渐近速度作单位，径向导数为0.2375，速度除以半径为0.2625，合成方向梯度为0.24225。代入密度和光学厚度，得到约0.39314。独立角积分给出的源函数比为0.06634。 星盘入射强度归一为一。直接透射约为0.67493，加入同一位置的散射后，出射强度约为0.69650。散射填回了一部分吸收。这个数是一条理想射线的强度，尚未把整个风积分，也没经过仪器。 把同样位置放到远侧，投影距离仍小于光球半径，通往观测者的路径就会撞上不透明星盘。若投影距离更大，远侧散射便可以从星盘边缘旁通过，成为红侧发射的一部分。 $$ I_{\rm out}=I_{\rm in}e^{-\tau}+S(1-e^{-\tau}) $$ 星盘前方射线的$I_{\rm in}=I_c$，星盘之外为零；遮挡还要按射线是否撞到光球单独处理。 对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction · Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method ## 把射线加成完整谱 对给定频率，把各投影环带的出射强度相加。环带面积提供投影距离的权重，星盘连续谱则给出归一化。孔径至少包住完整星盘时，远离线中心的连续谱为一。 局部保守散射形成的光子，可以进入收集孔径、返回光球或漏掉散射晕。统一用连续谱和无量纲速度积分归一后，这三项之和等于从直达星光中移走的那一项。吸收为正的等效宽度因此等于回星与漏孔径两种损失的面积之和，再乘速度标度。 完整孔径消除了漏晕项，回星项仍可非零。这个关系描述平坦光子连续谱和声明的多普勒坐标，不能直接推广成任意波长下的精确能流等式。 $$ f(u)=2\int_0^{p_{\rm ap}/R_\star}\frac{I(u,\hat p)}{I_c}\hat p\,d\hat p,\qquad\hat p=p/R_\star $$ 均匀星盘的连续谱满足$2\int_0^1\hat p\,d\hat p=1$；所有射线使用同一流场和源函数。 $$ W_v=\int[1-f(u)]\,du=v_\infty(A_{\rm back}+A_{\rm miss}) $$ $A_{\rm back}$与$A_{\rm miss}$是按$du/v_\infty$归一的回星、漏孔径光子面积。保存的泊松观测还会围绕这一模型值涨落。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction ## 数值收敛和物理近似要分别检查 有了内禀多普勒宽度$v_D$，共振层厚度大约是$v_D/D$。它需要同时小于密度和源函数的变化尺度，也要远小于到边界的距离。只比较它与恒星半径，可能漏掉光球附近变化很快的照明。 独立检验把源函数固定，再沿有限宽度线形解传输微分方程。当内禀多普勒宽度是渐近速度的0.00005倍时，四条测试射线的最大强度差约为$3.9\times10^{-5}$；增大到0.05倍，已有约0.033的负例。这检验的是形式积分近似，源函数本身在有限宽度下仍需更完整的计算。 这里的内禀多普勒宽度按$e^{-(\Delta u/v_D)^2}$定义。示例固定的每秒八千米高斯标准差属于仪器，它在风谱形成之后才卷积进去。把两种宽度互换，会同时改错物理和测量模型。 生产计算还用独立投影射线积分检查了197个预设、角点、边界面和内部配置。探测谱最大差约为连续谱的0.072%，运行时逐次比较谱、源函数与辐射力的加密结果。它们约束了声明模型的数值误差，有限宽度和非LTE近似仍保留各自的检验范围。 对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction ## 练习与解释性答案 1. 如果只沿每条射线使用径向速度导数，会漏掉哪部分梯度？在接近切向时尤其会怎样？ 展开解释 会漏掉球形流场方向随视线位置变化的投影项。接近切向时，径向加速项的权重很小，几何投影项反而主导；忽略它会严重改错共振长度与光学厚度。 2. 上面的数值例子为什么特意检查投影距离小于光球半径？ 展开解释 只有这样，近侧射线背后才有明亮星盘，才能把入射强度取为一。若它在星盘外，入射背景为零，出射强度只剩散射项，那是另一种观测几何。 3. 孔径收小后，应该重新改变局部源函数，还是只改收集积分的范围？ 展开解释 这里只改收集范围。孔径不影响恒星照明和气体局部散射，只决定哪些投影环带抵达观测；同一流场、源函数下，漏晕项就会增大。 ## 动手检验预测 ### [改变气流，跟着散射光读谱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-wind-p-cygni/) 1. 比较蓝侧与红侧共振面，按投影距离判断哪条路径会撞上星盘，再看高亮阻挡位置。 2. 先只改加速区形状，再只改速度标度，分别预测共振面位置、密度和谱深的变化。 3. 将孔径从完整散射晕收至接近星盘，检查源函数不变而漏晕项上升，按光子去向解释净面积。 [上一篇：一束光能带走多少动量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-winds/photon-momentum-and-wind-energy/) [下一篇：从一条谱反推风，有多少种答案](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-winds/what-a-wind-line-can-determine/) ## 来源与计算范围 1. [Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars](https://arxiv.org/html/1409.2084v1) 固定v1；第2节讲CAK/Sobolev平稳风，第3.1至3.4节讲谱线不稳定、团块、多孔性与速度空隙；链接原文，不重发受限许可原件。 2. [Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method](https://adsabs.harvard.edu/pdf/1987ApJ...314..726L) ApJ314,726，第II至V节、式4至10与14至19。这里的局部逃逸单线与固定源函数有限宽度检验各有近似，不声称复现完整SEI或非LTE求解器。 3. [Standalone stellar-wind scientific reproduction](https://sandboxphysics.com/stories/stellar-winds/materials/stellar-wind-science.zip) 原始小数据、独立传输/光子/力/有限宽度参照、197个生产检查和合成泊松练习；固定真值与先验平均覆盖分别保留。