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title: "先分清谱线的位置和宽度"
description: "定义真空波长、径向速度和强度，推导一阶 Doppler 公式与热展宽，并计算一条恒星谱线的移动量。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[从恒星暗线走到丰度模型](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/)

AC03 · L1

# 先分清谱线的位置和宽度

Sandbox Physics · 2026-10-28

整层气体一起运动，会让谱线整体移动；层里原子各有不同速度，会让谱线展开。先把这两种运动分开，测量速度与解释线宽就有了各自的起点。

## 开始前需要什么

需要知道波长、频率和速度的含义，会比例运算与平方根。吸收线的图像可先看配套现象文章。这里全部采用真空波长，远离观测者的速度为正。

## 探测器究竟在测什么

波长 $\lambda$ 是相邻波峰的间距，用纳米表示。光速 $c$ 等于波长乘频率。一个光子的能量由频率决定，原子能级差便选择了它能吸收哪一种光。

沿一个方向测到的比强度 $I_\lambda$，是每单位投影面积、时间、波长和立体角上的辐射能量。和整个恒星的光度相比，它只描述一束光；后续薄层方程就沿这束光来算。把强度除以邻近的连续谱 $I_{\lambda,c}$ 后，纵轴无量纲，连续谱落在一。

$$
c=\lambda\nu,\qquad E=h\nu=hc/\lambda
$$

频率乘 Planck 常数给出光子能量。相同能级差选择相同的静止波长。

对应阅读：Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E

## 把整个原子群的速度读成波长

设谱线在气体静止时波长为 $\lambda_0$。气体以径向速度 $v_r$ 远离我们，相邻波峰抵达的间隔略微增加，波长也拉长。速度远低于光速时，只保留速度与光速之比的一次项，就得到下式。

用 $\lambda_0=500\,\mathrm{nm}$ 和 $v_r=12\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 算一次。先把速度除以 $299792.458\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，再乘静止波长，得到移动量约 $0.0200\,\mathrm{nm}$。线心因此在 $500.0200\,\mathrm{nm}$ 附近。百分比移动相同，较长波长的线会移动更多纳米。

$$
\frac{\lambda_c-\lambda_0}{\lambda_0}\simeq\frac{v_r}{c},\qquad |v_r|\ll c
$$

一阶关系适合这里每秒数十公里的模型。很高速度需要相对论 Doppler 公式，实际测量还需说明观测者速度和参考系。

## 原子热运动怎样把一条细线摊开

温度不代表所有原子以同一速度运动。沿视线的热速度近似呈高斯分布，标准差 $\sigma_v$ 随温度开根号增加，随原子质量开根号减小。每个速度对应一个轻微 Doppler 移动，叠起来便是一条有宽度的线。

常用的 Doppler 参数 $b$ 比标准差大根号二。再给定一个小尺度随机速度 $\xi$，并用同一种高斯宽度约定表示，就能按方差相加。模型的微湍动取 $2\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，原子质量取五十六原子质量单位。温度 $4500\,\mathrm K$ 时，总 $b$ 约为 $2.31\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。这里的原子种类与跃迁是人为设置，目的是拆开不同物理作用。

$$
\sigma_v^2=\frac{kT}{m_a},\quad b^2=\frac{2kT}{m_a}+\xi^2,\quad \Delta\lambda_D=\frac{\lambda_0 b}{c}
$$

质量用千克，温度用开尔文；先在国际单位制下求速度，再换成每秒公里。Doppler 宽度是高斯指数中的尺度，半高全宽采用另一种数值约定。

## 仪器还能再加一层展宽

仪器分辨本领 $R$ 等于波长除以仪器线型的半高全宽。半高全宽是在峰高一半处量得的宽度。把它误当成 Doppler 参数，就会把不同的宽度约定混在一起。

在 $500\,\mathrm{nm}$ 和 $R=60000$ 下，仪器半高全宽约 $0.00833\,\mathrm{nm}$，已经比本模型的热运动尺度更宽。要从观测线宽推原子运动，先要把已知仪器响应放进预测。下一章会计算仪器收到的那条谱线究竟有多深。

$$
\Delta\lambda_{\rm FWHM}=\frac{\lambda}{R},\quad \sigma_{\rm inst}=\frac{\Delta\lambda_{\rm FWHM}}{\sqrt{8\ln2}}
$$

第二个关系只适用于高斯仪器线型。真实光谱仪可能有非高斯翼，须由标定确定。

教学薄层默认预测的固定结果

均匀薄层、固定电离阶段与人为跃迁，没有随机噪声。固定计算采用七百二十一个波长样本和归一化高斯仪器响应。

| 薄层温度 | $4500\,\mathrm K$ |
| --- | --- |
| 柱密度与参考值之比 | $N/N_0=1$ |
| 远离速度 | $12\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ |
| 光谱分辨本领 | $R=60000$ |
| 强线中心 | $500.0200\,\mathrm{nm}$ |
| 总等值宽度 | $11.952\,\mathrm{pm}$ |
| 薄层与背景的源亮度比 | $0.201$ |

## [把整体移动与展宽分开](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-absorption-lines/)

1. 固定温度和柱密度，先拖动运动手柄，确认两条线一起移动。
2. 改用低分辨本领预设，比较线心与整条线形状。
3. 预测若只加热，线心与宽度各会怎样，再试一次。

## 练习与解释性答案

1. 同样远离我们的两条线，静止波长分别为五百和六百纳米。哪条移动的纳米数更多？

   展开解释

   六百纳米的线多五分之一，因为相同速度给出相同的相对移动量。

2. 若热运动占主导，温度翻四倍，Doppler 宽度如何变？

   展开解释

   宽度翻两倍。若给定的微湍动或仪器响应占主导，总宽度增加会更少。

[上一篇：星光里的暗线怎样透露恒星的秘密](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/why-starlight-has-dark-lines/) [下一篇：把吸收和发射放进同一个方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/absorption-emission-and-growth/)

## 来源与计算范围

1. [Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I](https://www.mso.anu.edu.au/~krumholz/teaching/astr8003_s1_2019/notes1.pdf)

   第 24—28 式：积分因子、形式解与常源函数薄层；这里另作推导，并用数值输运检验。

2. [Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/A5.html)

   辐射转移第 2.27 式、LTE Kirchhoff 关系第 2.30 式和 Planck 定律第 2.86 式；光学波段保留完整 Planck 函数。