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title: "把吸收和发射放进同一个方程"
description: "逐步推导均匀 LTE 薄层的辐射转移解，用等温极限检验，并从光学深度理解等值宽度的增长。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/absorption-emission-and-growth/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/stellar-spectroscopy/absorption-emission-and-growth/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从恒星暗线走到丰度模型](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/)

AC03 · L2

# 把吸收和发射放进同一个方程

Sandbox Physics · 2026-10-28

一层气体会削弱入射光，也会沿同一方向补进自己的辐射。把这两项一起累加，便得到吸收线为什么饱和，以及同一跃迁为什么能从暗线变成亮线。

## 开始前需要什么

先读上一章的强度和波长约定。这里引入导数来表示沿很短光路的变化，积分则把许多小段的贡献加起来；只用到指数函数的求导和积分。

## 先定光路和光学深度

沿着光从背景走向观测者的方向取坐标 $s$，入口在零，出口在 $L$。吸收系数 $\alpha_\lambda$ 表示每单位路程的衰减程度，发射系数 $j_\lambda$ 表示每单位路程补入的强度。很短一段路上的变化，就是补入量减去吸收量。

定义光学深度 $d\tau_\lambda=\alpha_\lambda ds$，它没有单位，随光向出口走而增加。再定义源函数 $S_\lambda=j_\lambda/\alpha_\lambda$，量纲和强度相同。这里源函数不随深度变，薄层在 LTE 下满足 $S_\lambda=B_\lambda(T)$；LTE 表示局部原子布居服从局部温度，并不要求整颗恒星温度一样。

$$
\frac{dI_\lambda}{ds}=-\alpha_\lambda I_\lambda+j_\lambda,\qquad \frac{dI_\lambda}{d\tau_\lambda}+I_\lambda=S_\lambda
$$

符号约定随光路向外增加。如果换用从表面向内定义的光学深度，微分方程的符号也会改变。

对应阅读：Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I · Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E

## 用积分因子一步步求出射强度

把整个方程乘 $e^{\tau_\lambda}$，左边恰好是 $I_\lambda e^{\tau_\lambda}$ 的导数。对入口到出口积分，常量源函数可以提出积分号，指数积分给出 $e^{\tau_\lambda}-1$。最后除回指数因子，得到下面的两项。

第一项把入口背景按透过率衰减；第二项累积薄层辐射。注意出射强度始终位于背景强度与源函数之间。薄层越厚，越接近自己的源函数。它不会在吸收原子无限增多时自动降到零。

$$
\frac{d}{d\tau}(I_\lambda e^{\tau})=S_\lambda e^{\tau}\quad\Longrightarrow\quad I_{\lambda,\rm out}=I_{\lambda,c}e^{-\tau_\lambda}+S_\lambda(1-e^{-\tau_\lambda})
$$

这是假定温度、源函数沿光路恒定的精确形式解。完整恒星大气还需要给出温度与布居随深度的结构。

对应阅读：Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I

## 三个极限与一个完整算例

透明极限 $\tau\to0$ 给出背景本身。很厚时 $e^{-\tau}\to0$，出口只剩源函数。同温极限最值得检查：背景也为 $B_\lambda(T)$ 时，无论光学深度多少，出射强度都等于背景，谱线应消失。

现在令源函数与背景之比 $r=0.2$，线心光学深度从 $0.1$ 增加到 $1$ 再增加到 $10$。归一化强度依次为 $0.924$、$0.494$ 和 $0.200$。一开始几乎线性下降，后来趋近薄层自己提供的两成亮度。若算出负强度，或厚层仍只由背景决定，方程或符号就错了。

$$
\frac{I_{\lambda,\rm out}}{I_{\lambda,c}}=r+(1-r)e^{-\tau_\lambda},\qquad r=\frac{B_\lambda(T)}{I_{\lambda,c}}
$$

薄层近似给出强度亏损约为背景与源函数亮度差乘光学深度；高光学深度必须保留指数。

## 原子数怎样进入光学深度

为给两条谱线定义一致的热平衡布居，先规定一个四能级的人为原子：基态能量为零，共用的吸收下能级高出基态 $2\,\mathrm{eV}$，两条线分别连向两个上能级。每个上、下能级差都等于对应光子的 $hc/\lambda_{0,j}$，约为 $2.48\,\mathrm{eV}$。所有统计权重取一。二电子伏表示吸收前的激发能，与被吸收光子的能量是两件事。

把四个能级的 Boltzmann 权重相加，得到配分函数，也就是归一化各能级原子数的总权重。下能级所占比例为 $p_l(T)$。电离阶段与总离子柱固定，温度会重新分配这四层之间的原子。真实原子的能级和跃迁概率要由原子数据给出。

上能级原子还会在入射光作用下受激发射，把光补回同一方向。LTE 下，上、下能级布居比正好给出指数因子；净吸收因此要再乘 $f_j(T)$。把这项和下能级布居一起算进不透明度，才与采用 Planck 源函数的发射项一致。

以下用 $T_0=4500\,\mathrm K$ 作参考，柱密度倍数为 $N/N_0$，两条线的参考强度 $s_1=1$、$s_2=0.42$。Doppler 参数仍记为 $b(T)$。柱密度和净吸收原子数增加，会增大线面积；相同面积摊到更宽的速度分布中，线心光学深度便按宽度的倒数降低。用这些比例可逐项重算默认和升温后的谱。

$$
E_0=0,\quad E_l=2\,\mathrm{eV},\quad E_{u,j}=E_l+hc/\lambda_{0,j},\quad g_i=1
$$

两条静止真空波长为五百与五百点一二纳米。模型固定这四层和一个电离阶段。

$$
p_l(T)=\frac{e^{-E_l/(kT)}}{\sum_{i=0,l,u_1,u_2}g_i e^{-E_i/(kT)}},\qquad f_j(T)=1-e^{-hc/(\lambda_{0,j}kT)}
$$

p 是无量纲布居分数，f 是吸收扣除受激发射后的无量纲因子。

$$
\tau_{0,j}=3s_j\frac{N}{N_0}\frac{p_l(T)}{p_l(T_0)}\frac{f_j(T)}{f_j(T_0)}\frac{b(T_0)}{b(T)}
$$

参考温度与参考柱密度下，强线线心光学深度为三，弱线为一点二六。所有因子都是无量纲比值。

$$
\tau_\lambda=\sum_{j=1}^2\tau_{0,j}\exp\left[-\left(\frac{\lambda-\lambda_{c,j}}{\Delta\lambda_{D,j}}\right)^2\right]
$$

将两条高斯光学深度相加，再代入同一个有限光学深度转移解。

对应阅读：Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, chapter 7.3 · Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E

## 等值宽度为什么先快后慢地增长

光学深度很小时，指数可用一次近似。把高斯函数积分，得到等值宽度正比于线心光学深度与 Doppler 宽度的乘积。若温度和速度分布不变，柱密度翻倍，等值宽度也近似翻倍。

线心饱和后，亏损深度最多接近 $1-r$。多加原子主要推动两翼变厚，增长速度就慢下来。等值宽度随柱密度的关系叫增长曲线。这里没有压强阻尼翼，因此不讨论真实强线在极高柱密度下进入的阻尼增长段。

$$
W_\lambda=\int(1-I_\lambda/I_{\lambda,c})d\lambda\simeq(1-r)\tau_0\sqrt{\pi}\,\Delta\lambda_D\quad(\tau_0\ll1)
$$

积分区域覆盖整条线，连续谱与源函数比在窄线内近似常量。发射时源函数较亮，按相同约定得到负等值宽度。

教学薄层默认预测的固定结果

均匀薄层、固定电离阶段与人为跃迁，没有随机噪声。固定计算采用七百二十一个波长样本和归一化高斯仪器响应。

| 薄层温度 | $4500\,\mathrm K$ |
| --- | --- |
| 柱密度与参考值之比 | $N/N_0=1$ |
| 远离速度 | $12\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ |
| 光谱分辨本领 | $R=60000$ |
| 强线中心 | $500.0200\,\mathrm{nm}$ |
| 总等值宽度 | $11.952\,\mathrm{pm}$ |
| 薄层与背景的源亮度比 | $0.201$ |

## [找到增长曲线转弯的位置](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-absorption-lines/)

1. 固定冷层温度，从很小柱密度开始，预测柱密度翻倍时等值宽度如何变化。
2. 逐渐增加柱密度，比较线心深度和两翼宽度。
3. 把温度设为六千开尔文，说明为什么整个增长曲线回到零。

## 练习与解释性答案

1. 若薄层源函数为背景的两倍，光学深度无限增加时会怎样？

   展开解释

   出射强度趋向背景的两倍，成为发射线。改变不透明度不会把一层比背景更亮的气体变成吸收层。

2. 保持源函数和温度不变，怎样用很薄的线检验增长曲线程序？

   展开解释

   逐步减小柱密度，检查 $W_\lambda/N$ 是否趋于常量，并与高斯解析积分比较。也应把波长网格缩小一半，确认积分值收敛。

[上一篇：先分清谱线的位置和宽度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/wavelength-motion-and-width/) [下一篇：从出射强度走到能拟合的光谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-spectroscopy/from-intensity-to-a-fitted-spectrum/)

## 来源与计算范围

1. [Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, chapter 7.3](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/Ch7.html)

   第 7.38—7.64 式：跃迁能量、Einstein 细致平衡、受激发射的负吸收、LTE 布居与 Planck 源函数；用于定义一致的人为有限能级原子。

2. [Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I](https://www.mso.anu.edu.au/~krumholz/teaching/astr8003_s1_2019/notes1.pdf)

   第 24—28 式：积分因子、形式解与常源函数薄层；这里另作推导，并用数值输运检验。

3. [Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E](https://www.cv.nrao.edu/~sransom/web/A5.html)

   辐射转移第 2.27 式、LTE Kirchhoff 关系第 2.30 式和 Planck 定律第 2.86 式；光学波段保留完整 Planck 函数。