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title: "球里的驻波怎样排出一列频率"
description: "从中心有限性和压力释放边界推导径向声学模态，算出频率、节点和完整例题。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/stellar-seismology/radial-standing-waves/"
last_modified: "2026-11-03"
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[读懂恒星内部](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-seismology/)

AC26 · L1

# 球里的驻波怎样排出一列频率

Sandbox Physics · 2026-11-03

同一个振动形状必须同时满足球心和外缘的条件，球体因而只允许一列离散的径向声学频率。在均匀声腔里，这列频率恰好等间隔。先把它推导出来，就能分清哪些结论来自波，哪些来自边界和近似。

## 开始前需要什么

先读“恒星的明暗为什么像和弦”。需要正弦、余弦，以及把导数理解为变化率；下面会说明波动方程每一步用了什么。

## 先说清气体怎样运动

考虑半径为$R$的球形声腔，半径用米计。平衡密度$\rho$为常数，单位是千克每立方米；声速$c$也为常数，单位是米每秒。先不加入重力和浮力，专心研究波与边界。真实恒星的平衡还需要别的方程。

径向坐标$r$从球心向外增加。$p(r,t)$表示压力随振动改变的那一小部分，单位是帕斯卡，不是气体原有的较大平衡压力。径向速度$u(r,t)$朝外取正。径向模态保持球对称，同一半径球面上的压力相同。

运动由两件事连接起来：压力梯度推动气体加速，气体膨胀则降低压力。只保留小扰动的一次项，就得到下面两式。第二式含有半径平方，是因为球壳面积随半径增加，不能把球壳当作截面积不变的直管。

$$
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r},\qquad \frac{\partial p}{\partial t}=-\rho c^2\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2u)}{\partial r}
$$

第一式给出单位质量受到的径向压力作用，第二式把压力变化与局部体积膨胀率连接起来。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology

## 把空间形状和时间节奏分开

把压力方程再对时间求一次导数，用第一式代入加速度。密度和声速都是常数，可以移到径向导数之外，于是得到球对称波动方程。

现在只找一种重复振动的形状，把压力写成径向函数$P(r)$乘以$\cos(\omega t)$。角频率$\omega$的单位是弧度每秒，一周包含$2\pi$弧度，普通频率则是$\nu=\omega/(2\pi)$，单位为赫兹。余弦对时间求两次导数，会带出$-\omega^2$。

这种分离正是在寻找模态：不同半径共享一个频率，径向函数决定哪些气层同时压缩，哪些半径的压力扰动始终为零。

$$
\frac{\partial^2p}{\partial t^2}=c^2\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial p}{\partial r}\right)
$$

从两条线性声学方程中消去速度，就得到这条波动方程。

$$
p(r,t)=P(r)\cos(\omega t),\qquad P^{\prime\prime}+\frac{2}{r}P^\prime+\frac{\omega^2}{c^2}P=0
$$

撇号表示沿朝外半径求导。径向形状满足的是常微分方程。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology

## 球心先排除一种解

方程在球心看似有奇异项，这是球坐标的写法带来的，气体压力本身必须有限。定义$\psi=rP$，代回方程后，一阶导数项恰好消失，剩下熟悉的一维正弦方程。

通解可以包含正弦和余弦。但余弦项再除以半径，会让球心压力发散，必须删去。正弦项则可以保留，因为靠近零点时，正弦与它的自变量成正比。把有限的中心压力记作$A$，就得到下方的规则解。

基本模态的球心也就不是压力节点。变换后的$\psi$在球心为零，压力却可以不为零。换变量简化了方程，没有把中心气体变成一端钉住的弦。

$$
\psi=rP,\qquad \psi^{\prime\prime}+k^2\psi=0,\qquad k=\omega/c
$$

波数$k$的单位是每米。

$$
P(r)=A\frac{\sin(kr)}{kr},\qquad \lim_{r\to0}P(r)=A
$$

这个规则压力形状也叫零阶球贝塞尔函数，这里直接写成正弦形式即可使用。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology

## 外缘再挑出允许的频率

在外缘采用压力释放条件：平衡半径处的压力扰动为零。把规则解代进去，就要求正弦在外边界取零。它的正根挑出允许的振动。

整数$n$是这个声腔的径向阶数，从一开始。基本模态没有内部压力节点，第二阶有一个，第三阶有两个。所谓内部节点，是某个模态的压力扰动在所有时刻都为零的半径，节点两侧气层的压缩符号相反。

频率阶梯里没有一个非平凡的零频模态：如果压力是非零常数，就无法满足外缘的压力释放条件。对于振动模态，球心和外缘一起把频率限制为离散的一列。

到了恒星自由表面，还要分清跟着谁看压力。GYRE 最简单的压力条件要求随气体移动的拉格朗日压力扰动为零，其中包含气层位移经过平衡压力梯度带来的变化。本章无重力声腔则在固定半径规定欧拉压力扰动为零。因此，这列等间隔频率不能原样搬到有分层和大气的真实恒星上。

$$
P(R)=0\quad\Longrightarrow\quad k_nR=n\pi,\qquad \nu_n=\frac{nc}{2R},\qquad n=1,2,\ldots
$$

从角频率除以$2\pi$，才得到以赫兹计的频率。

$$
r_j=\frac{jR}{n},\qquad j=1,\ldots,n-1
$$

这些是均匀声腔里的内部压力节点位置，外缘本身的零点不计作内部节点。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology · GYRE v7.1: Boundary conditions

## 压力为零，气体仍能运动

把气层的径向位移记作$\xi_r(r,t)$，速度是它对时间的导数。简谐振动的加速度等于位移乘以负的角频率平方。代入力学方程，就能把位移形状与压力梯度联系起来。

外缘压力为零，压力梯度通常不为零，气体仍然可以运动。反过来，球心位移由对称性要求为零，中心压力却可以振荡。画图时要分别标明压力节点和位移节点。

这一点也决定怎样生成可见信号。如果直接采样这个模型的边界压力，得到的只能是一条零线。边界位移代理可以携带模态节奏；要把它换成真实恒星的明暗，还得计算温度、辐射和大气的响应。

$$
\Xi_r(r)=\frac{P^\prime(r)}{\rho\omega^2}
$$

$\Xi_r$表示确定性简谐模态的位移振幅，在小振幅近似内可以自行选择整体归一化。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology

## 完整算一个一米声腔

设球半径为一米，声速为每秒300米。先认清模型：密度和声速均匀，外缘满足刚才的压力释放条件。用声速除以两倍半径，基本频率就是150赫兹，接下来两阶为300和450赫兹。

第三阶的内部压力节点，分别离球心三分之一米和三分之二米。声音从中心走到外缘需要三百分之一秒，往返则要两倍时间，恰好等于基本模态的周期。高阶模态在同样的传播时间内容纳更多次振荡。

如果半径加倍、声速不变，所有频率都减半。如果半径不变，声速增加百分之十，所有频率都增加百分之十。只改变某一层声速时，结果会丰富得多，因为不同模态经过那一层时的权重不同，下一章就来计算这种变化。

对应阅读：MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology

## 练习与解释性答案

1. 画出前三阶的压力正负与内部节点，球心算不算压力节点？

   展开解释

   第一阶在内部保持同一符号，没有内部节点；第二阶在半径一半处变号；第三阶在三分之一和三分之二处变号。按这里的归一化，中心压力有限且非零，在球心为零的是变换后的$\psi$和径向位移。

2. 均匀声腔的半径变为两倍，声速降为原来一半，各阶频率变成多少？

   展开解释

   频率与声速成正比、与半径成反比，两项相乘，所有频率都变成原来的四分之一。这里仍使用相同的均匀模型和边界条件。

3. 边界明明在动，为什么边界压力探针却看不到信号？

   展开解释

   压力释放条件把边界压力扰动规定为零，但压力梯度仍可推动气体，位移可以不为零。边界压力信号始终为零，位移敏感的测量则能看到模态。

## 动手检验预测

### [改变内部一层，读出模态变化](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-oscillation-modes/)

1. 选择均匀预设，在改变径向阶数前预测内部节点数。
2. 比较虚线节点圆环与阶数，并分清变换变量的零点和压力节点。
3. 稍微提高核心声速，指出原来的哪项均匀假设改变了，再说明怎样在新界面连接两侧的解。

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## 来源与计算范围

1. [GYRE v7.1: Boundary conditions](https://gyre.readthedocs.io/en/v7.1/ref-guide/osc-equations/bound-conditions.html)

   恒星模型的中心规则性与自由表面的拉格朗日压力条件；须与本章无重力声腔在固定半径采用的欧拉压力释放条件分清。

2. [MESA School 2026, Lab 3: Asteroseismology](https://mesastar.org/summer-school-2026-labs/monday/lab-3/)

   官方课堂的振动频率、声程积分与模型演化；这里可操纵的常密度声腔另作明确的教学模型。