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title: "同一像素的光，可以属于两颗星"
description: "从双像素例题推导加权双星拟合，理解误差、混叠与注入回收试验。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/stellar-photometry/separating-stars/"
last_modified: "2026-10-28"
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[在拥挤天空里测准星光](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-photometry/)

AC02 · L2

# 同一像素的光，可以属于两颗星

Sandbox Physics · 2026-10-28

两颗星的光落到同一像素，仍然可以分开测量。关键是它们在整幅图上留下的比例不同：把每个像素当作一条关于亮度的方程，就能一起解出两颗星。

## 开始前需要什么

先读“从一个光电子走到一圈像素”。会解二元一次方程。矩阵只是把多条方程排成一张表，下面从两个像素讲起。

## 先用两个像素解一次

假设背景已经准确扣除，两颗星都只有两个像素贡献。目标的光有八成落进左像素、两成落进右像素；邻星恰好相反。观测到左边九百、右边六百光电子。这里先忽略噪声，未知量只有两颗星的总亮度。

把左像素方程乘四，再减去右像素方程，可以消去邻星；也可以先把两个方程相加，得到两颗星总共一千五百。代回去，目标一千，邻星五百。每个像素都混着两颗星的光，方程却仍能分开它们。

$$
0.8F_{\mathrm t}+0.2F_{\mathrm n}=900,\qquad0.2F_{\mathrm t}+0.8F_{\mathrm n}=600
$$

光电子数在本例中按一次曝光计算。两行的比例不同，给了两条独立的信息。

$$
F_{\mathrm t}+F_{\mathrm n}=1500,\qquad F_{\mathrm t}=1000,\quad F_{\mathrm n}=500
$$

这不是把左像素全算给目标。左边九百中，有八百来自目标、一百来自邻星。

## 把像素排成一张方程表

真实图像有很多像素。用向量 $\boldsymbol y$ 表示一串观测值，用 $\boldsymbol f=(F_{\mathrm t},F_{\mathrm n},B)^{\mathsf T}$ 表示三个未知数。矩阵 $A$ 的每一行，依次存目标落入该像素的比例、邻星比例和常数一。把矩阵乘以这三个未知数，便得到所有像素的预期值。

有噪声时，通常找不到让每一行都精确相等的一组答案。于是给每个像素算残差：观测减预测。较不可靠的像素权重小一些，再让加权残差平方和尽量小。这叫加权最小二乘。

$$
\boldsymbol y=A\boldsymbol f+\boldsymbol\epsilon,\quad A_{i\cdot}=(P_{i\mathrm t},P_{i\mathrm n},1),\quad\chi^2=\sum_i\frac{(y_i-(A\boldsymbol f)_i)^2}{v_i}
$$

像素方差为已知数，且各像素独立。权重矩阵的对角线是方差的倒数，其他位置为零。

## 从最小残差求出亮度与误差

对每个未知亮度分别求导，意思是：微调这个亮度时，平方和还会不会继续下降。最低点的三个导数都为零。把三条条件排在一起，得到下面的线性方程。上标 $\mathsf T$ 表示把行列对调。

若三种空间形状可以独立分辨，左侧矩阵就有逆，乘上它可得拟合结果。逆矩阵也给出拟合量的协方差：对角线上是各自方差，非对角线上表示两个估计怎样一起涨落。开平方就得到亮度标准差。

教学模型把真实生成方差直接交给拟合，还固定了星心与高斯宽度。这相当于已知这些输入的理想实验。真实测光中，它们来自有误差的估计；固定输入的拟合误差没有包含这一部分。

$$
A^{\mathsf T}WA\widehat{\boldsymbol f}=A^{\mathsf T}W\boldsymbol y,\qquad\widehat{\boldsymbol f}=(A^{\mathsf T}WA)^{-1}A^{\mathsf T}W\boldsymbol y
$$

对三参数线性模型，求解一张三行三列的表即可。

$$
\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol f})=(A^{\mathsf T}WA)^{-1}
$$

此式要求模型正确、权重等于真实逆方差。它包含同时拟合常数背景带来的随机误差。

对应阅读：Photutils 3.1.1, PSF photometry · Photutils 3.1.1, Aperture photometry

## 两团光越像，误差越大

回到两个像素的例子。若两颗星都恰好把一半光分到左右两个像素，无论怎样转移两颗星之间的亮度，总预测都一样。你可以测总和，却无法唯一决定各自有多亮。

接近这种情况时，数学仍能给出一个答案，但噪声只要有一点改变，就会让亮度分配变很多。邻星的估计往上偏时，目标常往下偏。误差增大反映的是图像真的缺少区分能力。给拟合多加几位小数不会补上这些信息。

把真实照片拟合完，还应看残差在哪里聚集。一圈有方向的残差，可能提示光斑形状不准；一边正、一边负的残差，可能提示位置偏了。它们需要新的模型或校准。改善光斑模型或位置标定，才是在处理这类图案的来源。

Lab 默认条件下固定的一次合成曝光，各项均为每次曝光的光电子数。

| 量 | 保存结果 |
| --- | --- |
| 注入目标 | $6670\,\mathrm e^{-}$ |
| 补偿后的孔径估计 | $8320\,\mathrm e^{-}$ |
| 双星拟合 | $6760\,\mathrm e^{-}$ |
| 拟合标准差 | $104\,\mathrm e^{-}$ |
| 补偿后的邻星混光 | $1550\,\mathrm e^{-}$ |

孔径半径 2.8 像素，高斯宽度 1.2 像素，星距 3.2 像素，邻星与目标平均亮度之比 0.8；背景每像素 90 光电子，读出噪声标准差 4 光电子。随机种子 444、变化相位 1.2 弧度固定这次曝光。运行 node scripts/astronomy/ac02/default-benchmark.ts 可重算。连续曝光会推进相位和噪声，后续读数会变。

## 把人造星放进去，再找回来

注入回收试验提供一次可以知道答案的检查。先生成已知亮度的恒星，再加上背景与随机噪声，用同一套测量流程恢复它。重复许多次，可分别观察平均偏差、误差范围覆盖真值的频率，以及达到预设门槛的比例。

本路线固定了八组试验，每组二百次，门槛为拟合亮度大于五倍拟合标准差。目标位置已知，因此这里测试的是指定位置的条件回收，尚未包含搜索整幅图时的误报、多重比较和漏检定位。

在三百五十光电子这一组，邻星距目标一点四像素时，二百次中二十次过门槛；移到七像素时，一百九十二次过门槛。两组使用同一模拟规则。这个差别说明，邻星能显著降低暗星的回收率，即使平均亮度估计仍接近正确。结果文件同时保存每组偏差与均方根误差。

## 练习与解释性答案

1. 两颗星完全重合而光斑形状相同时，增加曝光能分出各自亮度吗？

   展开解释

   仅凭这一幅图像不能。更多光子能更准地测总亮度，但两颗星仍对应相同的空间形状。需要不同颜色、不同时间行为或独立位置等额外信息。

2. 为什么要同时拟合背景，而不是只拟合两颗星？

   展开解释

   背景给每个像素加常数。若模型遗漏这一项，拟合会让恒星亮度吸收一部分背景。把背景一起求出能处理该项，同时也会增加参数之间的随机相关。

3. 二百次中二十次回收，能否说所有真实巡天的完备率都是百分之十？

   展开解释

   不能。这个比例只对应指定亮度、间距、已知位置和理想光斑模型。真实巡天还要对天区、星等、颜色、背景和定位流程做注入试验。

## 动手检验预测

### [找出分不开的趋势](https://sandboxphysics.com/zh/labs/crowded-star-photometry/)

1. 固定邻星亮度和光斑宽度，逐渐减小恒星间距。
2. 比较青色拟合曲线相对白色注入真值的偏离与“拟合误差”。白色曲线自身也在变化，应先扣掉这部分真实变化。
3. 导出一幅图像，从其中的两个光斑和常数背景重建预测像素。

[上一篇：从一个光电子走到一圈像素](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-photometry/counting-photons/) [下一篇：从 TESS 的十二个像素提取亮度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stellar-photometry/tess-pixels/)

## 来源与计算范围

1. [Photutils 3.1.1, Aperture photometry](https://photutils.readthedocs.io/en/3.1.1/user_guide/aperture.html)

   孔径覆盖权重、背景扣除与误差传播。浏览器另用文档说明的面积中点求积。

2. [Photutils 3.1.1, PSF photometry](https://photutils.readthedocs.io/en/3.1.1/user_guide/psf.html)

   光源分组、亮度拟合与点扩散函数的作用。教学拟合固定两颗星的中心和高斯宽度。