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title: "为什么同一个分子不会总在同一拉力下展开"
description: "用存活概率和瞬时跃迁率描述随机展开，推导恒力等待时间与线性加载的首达分布。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/single-molecule/unfolding-hazard/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从一颗珠子读懂单分子力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/)

L2 · 第 4 章

# 为什么同一个分子不会总在同一拉力下展开

Sandbox Physics · 2026-10-28

分子越过展开势垒的时刻有随机性。拉力降低前向势垒，让展开更容易发生，却不指定某个必然展开的力。重复拉同一种分子，得到的是一团展开力；要解释这团分布，需要同时知道分子的逃逸率和施力随时间怎样变化。

## 开始前需要什么

需要第三章的力与加载率。概率从零到一；指数函数描述每过一小段时间都按当前剩余数量的一定比例减少。积分表示把许多小时间段的风险相加。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/series-compliance/)

- 区分瞬时跃迁率、等待时间和展开力。
- 推导恒力及线性加载的存活概率。
- 说明为什么未展开记录仍然提供信息。

## 一小段时间内，什么叫“更容易展开”

只跟踪一个折叠态和一个吸收的展开态。分子尚未展开时，在很短时间 $dt$ 内展开的概率近似为 $k(F)dt$。这里 $k(F)$ 是受力后的跃迁率，单位为每秒；它不是截至现在已经展开的概率。

用 $S(t)$ 表示到时刻 $t$ 仍未展开的概率。能在下一小段时间展开的，必须先存活到现在，因此存活概率的下降率还要乘 $S(t)$。从这个条件概率出发，就得到指数中累积风险的表达式。

$$
\frac{dS}{dt}=-k(F(t))S(t),\qquad S(t)=\exp\!\left[-\int_0^t k(F(s))\,ds\right]
$$

这是假设给定当前力后跃迁无记忆的单势垒模型。这里不含重折叠、分子间差异和多个隐藏折叠态。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 拉力怎样改变一道势垒

把折叠态到过渡态沿拉伸方向的距离记为 $x^\ddagger$。在 Bell 近似里，拉力给出机械能降低 $Fx^\ddagger$，逃逸率随这个能量与热能之比的指数增长。零力速率 $k_0$ 则保留在前面。

过渡态可以理解为离开原来稳定形状必须经过的窄口。这里用一个有效距离描述窄口受到拉力的影响；高力下势垒形状改变时，这个近似会失效。实验台的速率与距离是教学参数。

$$
k(F)=k_0\exp\!\left(\frac{Fx^\ddagger}{k_BT}\right)
$$

力用皮牛，距离用纳米，指数便是无量纲量。相同拉力下，过渡距离更大意味着力对速率的影响更强。

对应阅读：G. I. Bell · Evans & Ritchie

## 恒力下，等待时间没有预约

若理想反馈把力固定，速率就不随时间改变。存活曲线是指数，平均等待时间为速率的倒数。已经等待了很久的同一状态，下一小段时间的条件展开概率仍然相同。

例如取 $k_0=0.10\;\mathrm{s^{-1}}$、$x^\ddagger=0.50\;\mathrm{nm}$ 与 $k_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}$。恒力 $10.0\;\mathrm{pN}$ 下速率约为 $0.338\;\mathrm{s^{-1}}$，平均等待约 $2.96\;\mathrm{s}$。观察三秒仍未展开的概率约为 $0.363$。这类记录很常见，不能作为失败实验丢掉。

$$
S(t)=e^{-kt},\qquad p(t)=ke^{-kt},\qquad \langle t\rangle=\frac1k
$$

概率密度乘一小段时间才是落在该区间的概率。平均等待时间不代表每条记录都会在这一时刻展开。

折叠比例 时间（秒）

恒力十皮牛算例的解析存活参考。光滑曲线描述一群分子的概率，单个分子只会在某个随机时刻展开。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 线性加载把等待时间换成展开力

从初始力 $F_0$ 开始，按恒定加载率 $r$ 增力，便有 $F=F_0+rt$。力越大，速率越高。把累计风险中的时间换成力，可以直接算出展开力分布。

为了采样一条记录，先取零到一之间的均匀随机数 $U$，再让累计风险达到 $-\ln U$。Bell 模型下这一步能解析反解，避免用很粗的时间步碰运气。改变随机种子会换一条轨迹，分布规律保持相同。

$$
\alpha=\frac{x^\ddagger}{k_BT},\qquad S(F)=\exp\!\left[-\frac{k_0}{\alpha r}(e^{\alpha F}-e^{\alpha F_0})\right],\qquad p(F)=\frac{k(F)}rS(F)
$$

此式用于 $r>0$、$F\ge F_0$。实验台从 $F_0=2\;\mathrm{pN}$ 开始；起始力为零时，第二个指数项为一。若端点匀速拉动，加载率会随串联刚度改变，需要按实际力历程积分。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 从一份默认记录读出事件

实验台的合成默认参数与上面的恒力算例分开列出：$k_0=0.100\;\mathrm{s^{-1}}$、$x^\ddagger=0.450\;\mathrm{nm}$、$k_BT=4.114\;\mathrm{pN\,nm}$。力从 $2\;\mathrm{pN}$ 开始，以 $12\;\mathrm{pN\,s^{-1}}$ 增长，记录六秒；带宽参数为 $8\;\mathrm{Hz}$，每 $0.020\;\mathrm{s}$ 采样。种子 $49$ 生成 $128$ 个分子。

表中先看第一个分子：展开事件发生在连续时间里，探测器只能在后面的一个采样点越过阈值。再看整组速率估计，它会受随机等待与探测延迟共同影响。默认六秒内所有分子都检出了展开；换成较小恒力后，保留未展开记录就变得尤其重要。

随机展开的合成默认记录；首达真值、探测事件与整组估计分别标明。

| 量 | 保存值 |
| --- | --- |
| 首个分子的真实展开时刻 | $1.85230\;\mathrm{s}$ |
| 首个分子的探测时刻 | $1.86\;\mathrm{s}$ |
| 给定零力速率 | $0.100\;\mathrm{s^{-1}}$ |
| 由全部首达真值估计的零力速率 | $0.0932\;\mathrm{s^{-1}}$ |
| 由全部探测事件估计的零力速率 | $0.0918\;\mathrm{s^{-1}}$ |

对应阅读：Sandbox Physics

## 动手检验预测

### [比较一次展开与一群展开](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stochastic-unfolding-force/)

1. 选“恒力等待”，先预测三秒后是否还可能有分子未展开。比较单条记录与整组存活曲线。
2. 换一个种子，观察单次事件如何移动，再看群体规律。观察结束时仍未检出展开的记录会按右删失处理。
3. 比较“慢慢拉”和“快速拉”，区分真实加载力、探测器的延迟响应以及群体展开力分布。

## 练习与解释性答案

1. 两秒后还没有展开，意味着接下来一秒更容易展开吗？

   展开解释

   在本章恒力、单态、无记忆模型里不意味着。分子存活到两秒这一条件，不改变下一秒的条件风险。实验若显示明显等待时间依赖，就要检查多态、速率漂移或分子间差异。

2. 把未展开的长记录删掉，平均等待时间会怎样偏？

   展开解释

   会偏短，因为最长的等待更容易被删除。保留观察结束时刻并标记为右删失，才能使用这段“至少等了这么久”的信息。

[上一章：移动光阱，DNA 究竟伸长多少](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/series-compliance/) [下一章：怎样从一群展开事件估计势垒](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/loading-rate-inference/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics, FR19 synthetic default records and SHA-256 manifest (2026-10-28)](https://sandboxphysics.com/data/fr19/manifest.json)

   三个教学实验的固定默认参数、种子与保存的观测通道。全部记录均为合成数据；清单列出各 JSON 文件和校验值。

2. [Evans & Ritchie, Dynamic Strength of Molecular Adhesion Bonds, Biophysical Journal 72, 1541–1555 (1997)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC1184350/)

   受力逃逸与加载率相关的断裂分布。这里的 Bell 首达模型只含一道不可逆势垒，采用明确给出的教学速率，没有拟合某种蛋白或重建论文数据。

3. [G. I. Bell, Models for the Specific Adhesion of Cells to Cells, Science 200(4342), 618–627 (1978)](https://doi.org/10.1126/science.347575)

   印刷页 622 的式 (16) 与页 623 的图 6：力相关的键寿命和受力倾斜的能量景观。这里取寿命倒数作为一道不可逆教学势垒的速率，省略重结合，参数不对应某种蛋白。