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title: "换一种负载，马达模型还能预测吗"
description: "用冻结的双态网络复算论文热力学关系，比较相同平均速度背后的不同动力学，并用新负载协议检验预测。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/single-molecule/predicting-protocols/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从一颗珠子读懂单分子力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/)

L4 · 第 8 章

# 换一种负载，马达模型还能预测吗

Sandbox Physics · 2026-10-28

两个模型可以在一种负载下给出相同平均速度，换个负载后却走得不同。研究因此不能停在一条拟合曲线：先固定参数，再预测没参与拟合的协议，才有机会看出隐藏的动力学差别。这一章用可复算的双态网络示范这种检验。

## 开始前需要什么

第六章的循环亲和力与稳态流，第七章的仪器响应。新增的主方程只是逐项计算每种状态的概率流入与流出。这里只做小网络的理论复算和合成预测。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/hidden-steps/)

- 区分热力学限制和动力学预测。
- 复算冻结论文版本中的单循环关系。
- 设计能够区分候选模型的新负载实验。

## 先确定要复算的理论关系

选定 Seifert 2012 年综述的 arXiv 第一版。第 9.4.5 节式 (244) 规定马达转变的局部详细平衡；第 10.5 节式 (273) 把单循环的输入、输出功率写成前向循环流与亲和力的函数。接下来把这两条已发表的理论关系用于自选双态参数。

论文图 3 展示一般多循环网络。页面另画最小的双态周期网络，所有轨迹都由教学参数生成。复算只覆盖选定关系；真实 DNA 和 kinesin 的实验可分别阅读 Wang 与 Svoboda 的原论文。

对应阅读：U. Seifert · Wang et al. · K. Svoboda & S. M. Block

## 独立解一次状态概率

把上一章的轨迹采样器暂时放在一边，直接求状态概率。定义从 $A$ 流出的总速率 $a=u_0+w_1$，从 $B$ 流出的总速率 $b=w_0+u_1$。概率流方程是一条线性微分方程，既有稳态解，也有负载切换后的解析弛豫。

离线脚本独立求出状态概率，再算稳态速度，与浏览器模型比较。无驱动时两股流相等，停滞时净位移为零，负载超过停滞值后则会倒退。这些比较能发现采样或数值程序中的错误；真实蛋白是否符合双态假设，还需要实验。

$$
\dot p_A=b-(a+b)p_A,\quad p_A^{\rm ss}=\frac b{a+b},\quad p_A(t)=p_A^{\rm ss}+[p_A(0)-p_A^{\rm ss}]e^{-(a+b)t}
$$

这一解用于负载固定的每个区段。负载突变时概率连续，速率立刻切换；再把机械正、反跃迁流相减得到瞬时平均速度。

对应阅读：U. Seifert

## 把功率关系写成可检查的量

从第六章的净流分子分出前向循环贡献 $j^+$ 和反向贡献 $j^-$，共用分母 $S$。两者之比由循环亲和力决定，净流是两者之差。净流分别乘机械功与化学自由能，便得到式 (273) 在本网络中的功率关系。

冻结基准保存参数、单位、计算方法和输出。重新运行脚本，可以比较净流方向、零点和输入减输出的功率；各项都来自同一组速率。

$$
j^+=\frac{u_0u_1}{S},\qquad j^-=\frac{w_0w_1}{S},\qquad \frac{j^-}{j^+}=e^{-\mathcal A}
$$

此处正反循环贡献按双态网络定义，分母是四个跃迁率之和。

$$
J=j^+(1-e^{-\mathcal A}),\qquad P_{\rm out}=j^+(1-e^{-\mathcal A})Fd
$$

单条有限轨迹的化学与机械事件数可能相差一个边界状态；稳态平均时，两条边共享同一净循环流。

对应阅读：U. Seifert

## 一样的平均速度可以藏着不同的等待

只在一个恒定负载下测平均速度，无法唯一确定四个速率。做一个具体对照：模型 A 采用第六章的速率；模型 B 把两个方向的化学速率都乘 $0.15$，把两个方向的机械速率都乘 $1.4476924$。每条边的正反比保持不变。在 $100\;\mathrm{\mu M}$ ATP、$1.50\;\mathrm{pN}$ 负载下，两者的长期速度同为 $104.628\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$。

现在固定参数，把负载提高到 $3.00\;\mathrm{pN}$。两者在切换前各自达到稳态；切换时保留原占据率。模型 A 立刻继续前进，模型 B 的初始平均速度却向后。两者最后都向前，但弛豫快慢也不同。表中的平均位移直接由主方程积分得到。

这给出了区分所选候选模型的协议。不过，前 $10\;\mathrm{ms}$ 的平均位移只有零点几纳米，远小于单颗珠子的热涨落。实际比较需要把预测先送过相同的珠子和探测器响应，再对多次独立记录取平均，并检验噪声与带宽是否足以分辨这点差别。

同一恒力速度校准后，冻结参数再预测新负载；全部数值来自教学模型。

| 观测量 | 模型 A | 模型 B |
| --- | --- | --- |
| 切换前速度 $(\mathrm{nm\,s^{-1}})$ | $104.628$ | $104.628$ |
| 切换瞬间速度 $(\mathrm{nm\,s^{-1}})$ | $19.8834$ | $-11.8260$ |
| 切换后弛豫时间 $(\mathrm{ms})$ | $3.151$ | $15.105$ |
| 新负载长期速度 $(\mathrm{nm\,s^{-1}})$ | $23.7119$ | $24.6812$ |
| 前十毫秒平均位移 $(\mathrm{nm})$ | $0.22556$ | $-0.02019$ |

对应阅读：U. Seifert

## 一次可以复做的预测检查

先在恒定负载下取得记录，用独立重复估计速度散布。接着固定参数和误差模型，不再拿第二组记录调参。选择足够长的负载突变协议，分别保存真实事件、珠子响应和探测信号。

预测应当先穿过相同的仪器响应，再与探测记录比较。若差异只在切换后的短暂区间，可能是响应时间或初始占据估错；若长时间速度也偏离，则要检查力依赖速率、化学条件或额外循环。更复杂的隐藏状态推断，还需要多种负载、浓度、噪声模型和独立实验数据。

对应阅读：Lang et al. · U. Seifert

## 动手检验预测

### [把负载突变留作预测](https://sandboxphysics.com/zh/labs/atp-molecular-motor/)

1. 在恒定负载下记下平均速度与记录间散布，写下提高负载后的方向预测。
2. 选“突然加重负载”，再展开加载方式，查看跳变后的指定负载。这个浏览器预设演示模型 A；上表的两模型对照由离线基准脚本计算。
3. 导出记录，保留种子和版本；在跳变前后分别复算速度，再改变带宽检验结论的稳定性。

### [把同样思路用于展开](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stochastic-unfolding-force/)

1. 在线性加载下确定参数，先写出恒力等待的存活曲线。
2. 改选“恒力等待”，保持分子参数，比较事件与删失比例，再考虑是否需要更复杂势垒。

## 练习与解释性答案

1. 两组模型都满足详细平衡关系且拟合同一个速度，为什么还会预测不同的负载响应？

   展开解释

   详细平衡限制正反速率比，单个速度只限制一个组合。各状态停留多久、占据多少，以及这些量怎样随力改变，仍可不同。负载突变同时检验稳态变化和弛豫。

2. 新协议的真值轨迹符合预测，探测轨迹却不符合，先检查哪里？

   展开解释

   先检查珠子与探测器响应、采样、拟合窗口和噪声模型。模型真值是合成计算中的已知参考；真实实验拿不到这层信息，需要独立标定和不同协议来区分仪器与分子原因。

[上一章：看不清台阶时，还能知道马达走了多少吗](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/hidden-steps/)

## 来源与计算范围

1. [Wang et al., Stretching DNA with Optical Tweezers, Biophysical Journal 72, 1335–1346 (1997)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/gold/pdfs/teaching/ufk_papers/DNA/wang.pdf)

   图 1 给出表面、DNA 与珠子的几何；弹性分析区分熵弹性和链本身的拉伸。这里采用共线、不可伸长的教学模型，自选参数并生成合成记录，没有数字化论文实验点。

2. [Lang et al., An Automated Two-Dimensional Optical Force Clamp for Single Molecule Studies, Biophysical Journal 83, 491–501 (2002)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC1302163/)

   装置与反馈部分说明外加负载、珠子响应和探测器响应为什么需要分开。展开与马达实验采用理想给定力控制，没有模拟整套反馈仪器。

3. [K. Svoboda & S. M. Block, Force and Velocity Measured for Single Kinesin Molecules, Cell 77(5), 773–784 (1994)](https://doi.org/10.1016/0092-8674(94%2990060-4)

   图 1 与图 4—5 描述珠子装置和连接链柔顺性。论文采用固定光阱；这里用理想力钳和自选双态速率解释化学驱动与负载响应。

4. [U. Seifert, Stochastic Thermodynamics, Fluctuation Theorems, and Molecular Machines, arXiv:1205.4176v1 (2012)](https://arxiv.org/html/1205.4176v1)

   第 9.4.5 节式 (240)—(244) 给出局部详细平衡，第 10.5 节式 (273) 给出单循环机器的输入与输出功率。限定复算将这些关系用于自选网络。图 3 展示一般多循环网络；页面的双态图是另画的示意。