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title: "怎样从一群展开事件估计势垒"
description: "推导展开力峰值与加载率的关系，用包含删失的似然估计速率，并辨认带宽和仪器柔顺性的偏差。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/single-molecule/loading-rate-inference/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从一颗珠子读懂单分子力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/)

L3 · 第 5 章

# 怎样从一群展开事件估计势垒

Sandbox Physics · 2026-10-28

加载更快，分子来不及在小力下展开，展开力分布就向高力移动。比较多种加载率，可以估计力对逃逸速率有多敏感。真正进入估计的应当是每条记录的力历程、事件和观察终点，而不只是直方图最高的一格。

## 开始前需要什么

第四章的累计风险与首达分布。对数把指数增长变成直线；似然比较不同参数让已经观察到的记录有多大可能出现。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/unfolding-hazard/)

- 从首达分布推导展开力众数。
- 用含删失的似然估计已知势垒距离下的零力速率。
- 诊断滤波、阈值和实际加载率带来的系统误差。

## 峰值移动的斜率告诉我们什么

把上一章的概率密度取对数，对力求导。峰值处导数为零，得到峰值时的逃逸率等于加载率乘 $x^\ddagger/(k_BT)$。代入 Bell 速率后，峰值随加载率的对数线性上升。

这给出一种直观读图法：横轴用加载率的对数，纵轴用展开力峰值，斜率与过渡距离成反比。直方图分箱、样本量和有限记录长度都会影响峰的位置，正式估计还要回到逐条记录。

$$
F_* = \frac{k_BT}{x^\ddagger}\ln\!\left(\frac{r x^\ddagger}{k_0k_BT}\right)
$$

只有 $F_*>F_0$ 时，峰才在起始力以上。否则密度最大值就在起始边界 $F_0$。实验台的起始力为两皮牛。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 完整算例：加载率增加十倍

仍取 $k_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}$、$x^\ddagger=0.50\;\mathrm{nm}$、$k_0=0.10\;\mathrm{s^{-1}}$。加载率 $10\;\mathrm{pN\,s^{-1}}$ 时，内部峰约在 $20.5\;\mathrm{pN}$；增加到 $100\;\mathrm{pN\,s^{-1}}$，峰约在 $39.5\;\mathrm{pN}$。差值约 $18.9\;\mathrm{pN}$，等于热能除以过渡距离再乘十的自然对数。

这些数来自同一个单势垒教学模型。若实验在不同加载区间出现不同斜率，可以检查势垒形状、多个通道和力的标定；不能只凭一条折线就宣布看见了某个原子结构。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 未展开的记录也进入似然

第 $i$ 条记录观察到 $t_i$；若看见展开，记 $\delta_i=1$，否则记零。已知过渡距离时，把沿真实力历程的指数因子积分，记为 $A_i$。每条事件贡献一次速率因子，每条记录都贡献存活概率。

每个加权暴露量仍以秒计。把事件的速率因子和所有记录的存活概率相乘，再取对数，就能看出零力速率怎样进入似然。对它求导并令结果为零，得到事件数除以总加权暴露时间。恒力、同负载时，事件数除以总观察时长估计的是受力后的速率；再除以固定力的指数因子，才得到零力速率。完全没有事件时，估计落在零边界，总暴露时间仍能给出上限。

$$
A_i=\int_0^{t_i}e^{F_i(t)x^\ddagger/(k_BT)}dt,\qquad \ln L(k_0)=N_{\rm event}\ln k_0-k_0\sum_i A_i+\mathrm{constant}
$$

过渡距离已固定，与零力速率无关的项并入常数。每条删失记录也贡献一段加权暴露时间。

$$
\frac{d\ln L}{dk_0}=\frac{N_{\rm event}}{k_0}-\sum_i A_i=0,\qquad \widehat k_0=\frac{\sum_i\delta_i}{\sum_i A_i}
$$

该式还假设事件时间准确。若距离和零力速率都未知，需要组合多个负载条件；两者的估计可能高度相关。

对应阅读：Evans & Ritchie

## 探测阈值会把等待时间拉长

真实装置里，分子展开之后，珠子和探测器都需要时间响应。先看只有探测器滞后的理想参照：无噪声的孤立位移阶跃经过连续一阶低通，达到一半高度的时刻会延后。

展开实验台把珠子视作即时达到受力平衡，再给位置采样加入独立高斯探测噪声，最后使用离散单极点滤波。它没有另设珠子弛豫，也没有模拟热运动。识别时，先减去经过同样滤波的已知折叠基线，再找第一次超过半个位移增量的采样点。事件真值和探测事件分别保存；观察结束前没检出的记录仍按右删失保留。

$$
y(t)=\Delta z\left(1-e^{-(t-t_0)/\tau_d}\right),\qquad t_{1/2}-t_0=\tau_d\ln2
$$

这是连续、无噪声的孤立阶跃参照，$\tau_d=(2\pi f_d)^{-1}$。实际采样只能把跨阈时刻定位到一个采样间隔，噪声还会改变首次跨越。

$$
y_j=ay_{j-1}+(1-a)x_j,\qquad a=e^{-2\pi f_d\Delta t}
$$

这是展开实验保存数据所用的离散滤波器。截止参数来自连续单极点；接近采样的 Nyquist 频率时，应使用这条递推式计算响应。

对应阅读：Lang et al.

## 把检验留给新的加载方式

用几种线性加载率估计参数后，先冻结它们，再预测恒力等待或分段加载。只比较已经参与拟合的直方图，很容易掩盖模型遗漏。

若新协议下系统性偏离，先检查实际力、串联弹性与事件检测。排除仪器解释后，再考虑多势垒或重折叠。第八章会把这种“先拟合、后预测”的思路用到马达状态网络。

对应阅读：Evans & Ritchie · Lang et al.

## 动手检验预测

### [从保存的事件重新估计](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stochastic-unfolding-force/)

1. 比较“慢慢拉”和“快速拉”，先预测峰值移动方向。两种预设保留相同分子速率参数。
2. 导出整组记录，检查每条事件或删失标记，再用加权暴露时间复算零力速率。
3. 只降低探测带宽，比较事件真值估计和阈值事件估计。注意“迟钝的探测器”还会切换到恒力；要单独研究带宽，应在同一协议内调节。

## 练习与解释性答案

1. 恒力下共观察二十次展开，总暴露时间为四十秒，受力速率估计是多少？

   展开解释

   受力速率估计为 $0.500\;\mathrm{s^{-1}}$。总时长包括尚未展开就结束的记录。估计零力速率时，还要除以该力下的指数增强因子。

2. 加载很慢，内部驻点落到起始力以下，峰值在哪里？

   展开解释

   峰就在起始力边界。实验从两皮牛开始时，最大值只能在两皮牛及其以上寻找。内部驻点公式只适用于落在实际支持区间内的驻点。

[上一章：为什么同一个分子不会总在同一拉力下展开](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/unfolding-hazard/) [下一章：ATP 怎样让随机跃迁有了方向](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/chemical-motor/)

## 来源与计算范围

1. [Lang et al., An Automated Two-Dimensional Optical Force Clamp for Single Molecule Studies, Biophysical Journal 83, 491–501 (2002)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC1302163/)

   装置与反馈部分说明外加负载、珠子响应和探测器响应为什么需要分开。展开与马达实验采用理想给定力控制，没有模拟整套反馈仪器。

2. [Evans & Ritchie, Dynamic Strength of Molecular Adhesion Bonds, Biophysical Journal 72, 1541–1555 (1997)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC1184350/)

   受力逃逸与加载率相关的断裂分布。这里的 Bell 首达模型只含一道不可逆势垒，采用明确给出的教学速率，没有拟合某种蛋白或重建论文数据。