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title: "ATP 怎样让随机跃迁有了方向"
description: "建立可逆双态化学机械网络，用局部详细平衡连接 ATP、负载与步进，推导平均速度和停滞力。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/single-molecule/chemical-motor/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从一颗珠子读懂单分子力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/)

L3 · 第 6 章

# ATP 怎样让随机跃迁有了方向

Sandbox Physics · 2026-10-28

热运动让马达有机会向前，也有机会向后。ATP 与反应产物维持的化学势差，让完成一个前向循环更有利；逆向负载则抵消这份优势。把两个方向都写进状态网络，就能从化学等待一步步算到速度、倒退和停滞。

## 开始前需要什么

第四章的随机跃迁率与等待时间。状态网络是一张图：节点表示分子的有效状态，连线表示允许的随机转变。这里每完成一个前向循环，消耗一份 ATP 化学自由能并前进一个步长。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/loading-rate-inference/)

- 说明反向跃迁为什么必须保留。
- 从循环速率比算出化学与机械驱动力。
- 推导双态净循环流、平均速度和停滞负载。

## 每一步里还有看不见的等待

把第 $n$ 个位置上的状态记作 $A_n$ 和 $B_n$。化学边连接同一位置的两个状态，前向速率为 $u_0$，反向为 $w_0$。机械边把 $B_n$ 接到下一位置的 $A_{n+1}$，速率分别为 $u_1$ 和 $w_1$。机械跳变前后位置差为 $d$。

两态是粗粒化的化学机械构象，不逐一对应真实马达的每一种核苷酸结合结构。珠子只报告位移，可能看不见同一位置上已经发生的化学转变。

$A_n$ 化学转变 $B_n$ 机械步进 $A_{n+1}$

教学循环的原创示意。同一位置先发生化学状态转变，再由机械转变进入下一位置，两条边均保留反向跃迁。

对应阅读：U. Seifert · K. Svoboda & S. M. Block

## 一个循环的正反比有热力学限制

把逆向负载 $F$ 定为正。前进一步要对负载做功 $Fd$；一次前向循环释放化学自由能 $\Delta\mu$。把每条边的前后速率比相乘，中间态自由能相消，留下整圈的化学收益减机械代价。

下面的无量纲量 $\mathcal A$ 叫循环亲和力。它为正时，前向循环更有利；为零时，循环没有方向偏好。局部详细平衡固定的是速率之比，仍需要动力学信息才能知道走得多快。

$$
\mathcal A=\ln\frac{u_0u_1}{w_0w_1}=\frac{\Delta\mu-Fd}{k_BT}
$$

温度不变、化学储库维持浓度、单循环紧耦合。这个关系约束速率，不能单独预测某种真实马达的全部反应参数。

对应阅读：U. Seifert

## 教学网络里，ATP 改变哪一个速率

令 $c$ 为 ATP 浓度除以一微摩尔每升后的数值。示例采用下列速率，单位均为每秒。化学前向速率随浓度增加；机械前向跃迁被逆向负载压慢，反向跃迁被加快。力用皮牛，距离用纳米。取 $d=8\;\mathrm{nm}$ 和 $k_BT=4.114\;\mathrm{pN\,nm}$，得到一套可计算的教学参数。

这组速率对应的有效化学驱动力为 $\Delta\mu=k_BT\ln(c/0.01)$。平衡参考浓度 $0.01\;\mathrm{\mu M}$ 吸收了固定的 ADP、无机磷酸与标准化学势；它不是通用的细胞内平衡常数。真实实验需要同时报告反应产物、温度和溶液条件。

$$
u_0=3c,\quad w_0=3,\quad u_1=60e^{-Fd/(2k_BT)},\quad w_1=0.6e^{Fd/(2k_BT)}
$$

速率参数取教学示例值。正反化学和机械通道都保留，无驱动、停滞及倒退由同一网络计算。

对应阅读：U. Seifert

## 从状态占据推到速度

稳态时，流进每种状态的概率等于流出的概率。离开 $A$ 的总速率为 $u_0+w_1$，离开 $B$ 的总速率为 $w_0+u_1$。把两股概率流设为相等，再用概率和为一，便能解出占据率。机械边的前向流是 $p_Bu_1$，反向流是 $p_Aw_1$，相减后乘步长，就是平均速度。

例如 ATP 为 $100\;\mathrm{\mu M}$、负载为 $1.50\;\mathrm{pN}$ 时，四个速率约为每秒 $300$、$3.00$、$14.0$ 和 $2.58$。大部分时间停在 $B$ 态，净流约每秒 $13.1$ 圈，平均速度约 $105\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$。单条四秒记录会围绕这个长期均值起伏。

继续增大负载，净流降到零，分子仍会随机跃迁。同样 ATP 浓度下，化学亲和力为 $\ln10000$，停滞负载约 $4.74\;\mathrm{pN}$。真实 kinesin 的数据还包含这张最小网络省略的反应通道。

$$
S=u_0+w_0+u_1+w_1,\qquad p_A=\frac{w_0+u_1}{S},\qquad p_B=\frac{u_0+w_1}{S}
$$

流入与流出概率相等，决定两种状态各占多少时间。

$$
J=p_Bu_1-p_Aw_1=\frac{u_0u_1-w_0w_1}{S},\qquad v=dJ,\qquad F_{\rm stall}=\frac{\Delta\mu}{d}
$$

这些式子适用于周期双态网络。额外支路可能消耗 ATP 却不前进，停滞和能量消耗届时需要分别计算。

对应阅读：U. Seifert · K. Svoboda & S. M. Block

## 停滞时，效率与功率要分开

在前向运行且化学驱动力为正时，每个净循环的机械输出为 $Fd$，化学输入为 $\Delta\mu$，比值给出紧耦合效率。靠近停滞时比值趋近一，但净循环流也趋近零，输出功率随之消失。

有限时间轨迹仍然会有前后步。比较多次记录或较长时间平均，才会看见接近零的净速度。检验热平衡时，需要同时取消负载，并把 ATP 浓度降到参考值。

$$
P_{\rm out}=JF d,\qquad P_{\rm in}=J\Delta\mu,\qquad \eta=\frac{Fd}{\Delta\mu}
$$

效率式限定于正输入、正输出的稳态运行。停滞点的两个功率均为零，二者之比在该点没有定义。

对应阅读：U. Seifert

## 一条默认轨迹能比长期均值走得更快

默认合成记录采用 $100\;\mathrm{\mu M}$ ATP、$1.50\;\mathrm{pN}$ 负载与 $60\;\mathrm{Hz}$ 数字探测截止频率。种子 $4919$ 生成四秒、$2001$ 个采样点的记录。表中的位移与步数属于隐藏模型真值；拟合速度只用探测位置，并舍去开头 $0.10\;\mathrm{s}$。

这条轨迹恰好比长期均值走得快。分子等待时间是随机的，四秒内的步数也会变；不同种子的速度估计会有散布。理论稳态速度适合与多条独立记录的平均比较。

ATP 马达的合成默认结果；模拟真值、探测拟合与稳态理论分别列出。

| 量 | 结果 |
| --- | --- |
| 四秒时的隐藏马达位移 | $520\;\mathrm{nm}$ |
| 前进步数／后退步数 | $65\,/\,0$ |
| 这条探测记录的拟合速度 | $127.855\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$ |
| 同参数的长期稳态速度 | $104.628\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$ |

对应阅读：Sandbox Physics

## 动手检验预测

### [让化学驱动与负载相互抵消](https://sandboxphysics.com/zh/labs/atp-molecular-motor/)

1. 先选“看清前进台阶”。保持反向负载不变，只降低 ATP 浓度；预测哪条边会先改变，再观察等待与位移。
2. 逐渐增加反向负载，再选“停滞时仍在迈步”观察前后步。区分有限轨迹的漂移和稳态平均速度。
3. 把反向负载设为零，ATP 浓度设为 $0.01\;\mathrm{\mu M}$。这是本网络的无化学驱动条件。导出多条记录，比较两条边各自的正反向流。

## 练习与解释性答案

1. 把所有四个速率同时加倍，停滞力会改变吗？

   展开解释

   不会。速率比和循环亲和力不变，停滞条件不变。稳态占据率不变，净流和平均速度加倍，等待时间减半。这说明热力学比值没有决定完整动力学。

2. 停滞时看见前后随机步，是否违背净流为零？

   展开解释

   不违背。零净流是前向和反向平均相抵，单次轨迹仍有涨落。本教学网络在停滞时达到循环平衡；带耗能支路的真实马达还可能继续消耗 ATP。

[上一章：怎样从一群展开事件估计势垒](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/loading-rate-inference/) [下一章：看不清台阶时，还能知道马达走了多少吗](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/hidden-steps/)

## 来源与计算范围

1. [Sandbox Physics, FR19 synthetic default records and SHA-256 manifest (2026-10-28)](https://sandboxphysics.com/data/fr19/manifest.json)

   三个教学实验的固定默认参数、种子与保存的观测通道。全部记录均为合成数据；清单列出各 JSON 文件和校验值。

2. [K. Svoboda & S. M. Block, Force and Velocity Measured for Single Kinesin Molecules, Cell 77(5), 773–784 (1994)](https://doi.org/10.1016/0092-8674(94%2990060-4)

   图 1 与图 4—5 描述珠子装置和连接链柔顺性。论文采用固定光阱；这里用理想力钳和自选双态速率解释化学驱动与负载响应。

3. [U. Seifert, Stochastic Thermodynamics, Fluctuation Theorems, and Molecular Machines, arXiv:1205.4176v1 (2012)](https://arxiv.org/html/1205.4176v1)

   第 9.4.5 节式 (240)—(244) 给出局部详细平衡，第 10.5 节式 (273) 给出单循环机器的输入与输出功率。限定复算将这些关系用于自选网络。图 3 展示一般多循环网络；页面的双态图是另画的示意。