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title: "珠子一直在晃，怎样用它测力"
description: "从光阱中珠子的热运动建立力标尺，推导均分关系与弛豫时间，再判断标定误差会怎样传到分子张力。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/single-molecule/bead-noise/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从一颗珠子读懂单分子力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/)

L1 · 第 1 章

# 珠子一直在晃，怎样用它测力

Sandbox Physics · 2026-10-28

光镊把珠子拉回光斑中心，分子则把它拉向另一边。只要知道光阱有多硬，珠子偏离中心的距离就是一把力尺。珠子的热运动也有用：它晃动的幅度和恢复的快慢，能帮助我们标定这把尺子。

## 开始前需要什么

会用弹簧的力与位移关系、会计算平均值即可。方差是偏离平均值的平方再取平均；它描述一团数据有多宽。第一章只讨论没有连接分子的自由珠子。

- 从珠位移判断光阱力的大小和方向。
- 用热涨落估计自由珠子的光阱刚度。
- 解释为什么不能把连接分子后的方差直接套进自由珠子标定。

## 先把受力方向画清楚

沿水平测量轴向右为正。光阱中心位于 $X$，珠心位于 $x$，两者都用纳米计。离中心不远时，光阱对珠子的力近似为 $F_{\rm trap}=k_{\rm trap}(X-x)$，刚度的单位是皮牛每纳米。珠子在中心左侧，光阱便向右拉。

分子连接在珠子左侧时，静止珠子的左右两股力相等。没有分子时，平均位置回到光阱中心。力标定先在这个简单状态下做，才容易认清后来多出来的那股分子力。

$$
1\;\mathrm{pN}=10^{-12}\;\mathrm{N},\qquad 1\;\mathrm{nm}=10^{-9}\;\mathrm{m}
$$

生物分子的典型机械信号很小。长度、刚度与能量使用同一套单位，后面的数值才能直接相乘。

对应阅读：Wang et al. · Lang et al.

## 水没有让珠子安静下来

水分子不停撞击珠子，珠子也因水的阻力迅速失去速度。这里关注毫秒尺度的位置，忽略更短时间的惯性：给定一股力，珠子的平均速度由力除以拖曳系数决定。热碰撞让位置围绕平均值随机起伏。

光阱中心附近的势能是一只碗，珠子越偏，势能越高。热平衡时，一个二次型位置自由度平均储存半份热能。写成方差关系，就能从位置散布反推刚度。这里 $k_B$ 是 Boltzmann 常数，$T$ 是绝对温度。

$$
U=\frac12 k_{\rm trap}(x-X)^2,\qquad \left\langle(x-X)^2\right\rangle=\frac{k_BT}{k_{\rm trap}}
$$

平均值需要足够长、已达平衡的记录。探测器应当能保留相关的热涨落；过慢的探测器会低估方差。

对应阅读：M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort

## 完整算例：从十纳米的晃动开始

在约室温条件下取 $k_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}$。一颗自由珠子的真实位置标准差是 $10.0\;\mathrm{nm}$，方差就是 $100\;\mathrm{nm^2}$。用热能除以方差，得到刚度 $0.0411\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$。

随后接上分子，平均珠位向左偏离中心 $40.0\;\mathrm{nm}$。若光阱仍在线性范围内，平衡张力就是 $1.64\;\mathrm{pN}$。先问刚度在接分子前后是否相同，再做乘法；激光功率、珠子高度或探测灵敏度改变，都需要重新检查。

对应阅读：Wang et al.

## 记录多久才算“很多次”

连续两个采样点往往来自同一次还没结束的晃动。珠子偏离中心后，平均偏离按指数衰减，特征时间为拖曳系数除以刚度。把采样率加倍，并不会自动获得两倍的独立信息。

粗略估计不确定度时，可以把长记录切成比弛豫时间长得多的区段，比较各段估计。换一颗珠子或一次标定带来的整体误差，则不会因同一条记录更长而消失。下一章连接 DNA 后，珠子会感到第二只弹簧，涨落也要重新解释。

$$
\tau=\frac{\gamma}{k_{\rm trap}},\qquad C(t)=\left\langle\delta x^2\right\rangle e^{-|t|/\tau}
$$

拖曳系数用皮牛毫秒每纳米计，弛豫时间便是毫秒。这里是无限均匀流体中的线性、过阻尼近似；邻近表面会改变拖曳。

对应阅读：Lang et al. · M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort

## 动手检验预测

### [先观察没有分子的珠子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)

1. 预测光阱更硬时珠子会晃得更大还是更小。只改变光阱刚度，比较位置记录与功率谱。
2. 保留自由珠子的几何；这次练习不把 DNA 添进原装置。记下标定方法，再进入下一章的连接分子实验。

## 练习与解释性答案

1. 探测器把位置标准差从真实的十纳米抹成八纳米。直接使用均分关系，会把光阱刚度估高还是估低？

   展开解释

   会估高。方差从一百变成六十四平方纳米；同一热能除以更小的数，刚度估计成为真实值的一点五六倍。延长记录只能减少随机波动，补不回被滤掉的频率。

2. 把连接分子的珠子误当成自由珠子标定，会发生什么？

   展开解释

   分子也提供恢复力，珠子晃得更小。用自由珠子公式会把分子的局部刚度算进光阱刚度；第三章会推导这两种刚度怎样同时进入不同测量。

[下一章：DNA 为什么越拉越难伸长](https://sandboxphysics.com/zh/stories/single-molecule/dna-elasticity/)

## 来源与计算范围

1. [Wang et al., Stretching DNA with Optical Tweezers, Biophysical Journal 72, 1335–1346 (1997)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/gold/pdfs/teaching/ufk_papers/DNA/wang.pdf)

   图 1 给出表面、DNA 与珠子的几何；弹性分析区分熵弹性和链本身的拉伸。这里采用共线、不可伸长的教学模型，自选参数并生成合成记录，没有数字化论文实验点。

2. [Lang et al., An Automated Two-Dimensional Optical Force Clamp for Single Molecule Studies, Biophysical Journal 83, 491–501 (2002)](https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC1302163/)

   装置与反馈部分说明外加负载、珠子响应和探测器响应为什么需要分开。展开与马达实验采用理想给定力控制，没有模拟整套反馈仪器。

3. [M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort, Force Spectroscopy with Dual-Trap Optical Tweezers: Molecular Stiffness Measurements and Coupled Fluctuations Analysis, Biophysical Journal 103(9), 1919–1928 (2012)](https://doi.org/10.1016/j.bpj.2012.09.022)

   双阱装置的方差分析，以及未对齐时不同方向涨落的耦合。这里保留单珠共线运动和局部谐振分子弹性，并单独定义探测器响应。