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title: "地震定位的误差椭圆，以及它没算进去的误差"
description: "到时误差可以换算成协方差和震中周围的置信椭圆。数一数它多常包住真实震源，就会发现它漏掉了速度模型的误差。"
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last_modified: "2026-10-30"
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[地震成像 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/)

L2 · 第 5 章

# 地震定位的误差椭圆，以及它没算进去的误差

用来更新试探震源的那个矩阵，同样告诉我们随机的到时误差能把结果推多远。由它得到协方差矩阵，再由协方差画出一个椭圆，按设定的概率包住真实震中。这个承诺可以靠计数来检验：只有到时误差时，它成立；速度模型错了几个百分点，它就失效，而椭圆本身看不出任何迹象。

Sandbox Physics · 2026-10-30

这一章

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开始前

读过第四章；会求 2 阶对称矩阵的特征值；了解正态分布。

## 到时误差变成协方差矩阵

假设每个到时都带有独立的误差，标准差相同。在解附近，定位结果近似是到时的线性函数。到时误差服从高斯分布，定位误差也就服从高斯分布，协方差等于到时方差乘以上一章正规矩阵的逆。如果各个到时的质量不同，就按各自的方差给每一行加权；定位实验假定 S 到时的读数误差是 P 到时的两倍。

Klein 的 HYPOINVERSE-2000 手册在附录 4 用问题的特征值和特征向量写出了同一个矩阵。到时方差取读数误差 RDERR 的平方，加上系数 ERCOF 乘以该次地震残差均方根（RMS）的平方。ERCOF 取 1 时，拟合较差的地震会得到更大的椭圆。

对角元是发震时刻、两个水平坐标和深度的方差；非对角元表示它们之间的此消彼长，例如深度和发震时刻的关系。去掉发震时刻，剩下震源的 3 阶块；其中两个水平坐标的行和列，构成震中的 2 阶块。

$$
\mathbf C=\sigma^2\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1}=w^2\,\mathbf V\mathbf S^{-2}\mathbf V^{\mathsf T},\qquad w^2=\mathrm{RDERR}^2+\mathrm{ERCOF}\cdot\mathrm{RMS}^2
$$

## 从协方差到椭圆

取协方差中震中那个 2 阶块。它的特征向量定出椭圆两轴的方向，特征值开平方得到沿两轴的标准误差，由此画出 1 倍标准差椭圆。要达到 95%，每根轴都要乘一个系数，系数大小取决于这个区域包含几个坐标。

只有一个坐标时，95% 的系数是熟悉的 1.96；两个坐标是 2.45；三个坐标是 2.80。1 倍标准差区域内的概率也随维数下降：线段上 68.3%，椭圆内 39.3%，椭球内只有 19.9%。

Klein 的手册写道，震源有 32% 的概率落在 1 倍标准差椭球内，乘以 2.4 可得 95% 的椭球。这两个数都和三维高斯分布对不上，三维的正确值是 19.9% 和 2.80。2.4 倒是接近二维的系数。定位实验的震中椭圆用的是二维系数。

$$
k_{95}=\sqrt{\chi^2_{\nu,\,0.95}}:\quad \nu=1\to1.96,\ \ \nu=2\to2.45,\ \ \nu=3\to2.80;\qquad P_{1\sigma}=68.3\%,\ 39.3\%,\ 19.9\%
$$

## 数一数椭圆包住真值的次数

95% 椭圆给出了一个可以检验的说法：对许多次到时噪声相互独立的地震，大约每 100 个真实震中里应有 95 个落在各自的椭圆内。定位实验从同一个震源反复生成固定种子的合成地震，逐个定位，然后计数。

环形台网、使用 S 到时、到时噪声 0.1 s 时，1000 个真实震中有 944 个落在椭圆内。1000 次计数本身大约有 0.7 个百分点的随机起伏，所以 94.4% 与承诺相符。

## 速度模型错了，答案会移动，椭圆却不变

现在告诉定位程序岩石比实际快 5%，其他一切不变，把同一组到时重新定位。平均震中误差从 0.31 km 增加到 0.42 km，平均深度从 9.99 km 移到 9.62 km。椭圆几乎没变，因为它只取决于台站几何和假定的到时噪声，与速度误差无关。现在 1000 个真实震中里只有 849 个落在椭圆内。

拟合只变差了一点：平均残差均方根从 0.138 s 升到 0.173 s。定位程序可以通过挪动震源、调整发震时刻，把很大一部分速度误差吸收掉。手册的措辞因此很谨慎。Lee 和 Lahr 提醒，统计意义上的标准误差未必代表实际误差范围；Klein 写道，真正的误差椭圆需要知道地壳模型的不确定度，而这几乎不可能做到。

完整例题

## 把一个协方差换成椭圆

取震中协方差块：东向方差 0.040 平方千米，北向方差 0.010，协方差 0.010。

迹的一半是 0.025，对角元之差的一半是 0.015；把 0.015 和 0.010 各自平方、相加再开方，得 0.0180。两个特征值于是为 0.0430 和 0.00697 平方千米，沿两轴的标准误差是 0.2074 km 和 0.0835 km。

都乘以 2.448（即 5.991 的平方根），得到 95% 震中椭圆的两个半轴：0.508 km 和 0.204 km。长轴从正东向北偏转的角度，是正切为 0.020 比 0.030 的那个角的一半，即 16.8 度。

$$
\lambda_{\pm}=0.025\pm\sqrt{0.015^2+0.010^2}=0.0430,\ 0.00697\ \mathrm{km^2};\quad a_{95}=2.448\sqrt{\lambda_\pm}=0.508,\ 0.204\ \mathrm{km};\quad \theta=\tfrac12\arctan\frac{0.020}{0.030}=16.8^\circ
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 在定位实验中先选“环形台网：椭圆很小”，记下覆盖率读数。预测把假设波速的误差调到 5% 后，它会怎样变化。
2. 把波速误差滑块调到 5%，或者直接选“速度模型错了”。
3. 解释为什么椭圆大小几乎不变，覆盖率却下降了。

[给地震定位，再检验误差椭圆](https://sandboxphysics.com/zh/labs/earthquake-location/)

这些实验使用平坦、各向同性的弹性或声学岩石，波速是虚构但接近实际的数值，都不对应真实的观测。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

## 试着自己解释

### 1. 1 倍标准差的震中椭圆要乘多大的系数才变成 99% 椭圆？

展开答案与解释

对两个坐标，落在 k 倍标准差内的概率是 1 减去 e 的负 k 平方除以 2 次方。令它等于 0.99，得 k 等于负 2 乘 0.01 的自然对数再开方，即 3.03。

$$
k_{99}=\sqrt{-2\ln 0.01}=3.03
$$

### 2. 实验的覆盖率读数统计 40 次地震。如果椭圆是对的，计数会有多大的随机起伏？

展开答案与解释

计数服从二项分布，按百分比计的标准差是 0.95 乘 0.05 除以 40 再开方，约 3.4 个百分点。读数 90% 仍在两倍标准差以内；统计 1000 次时，起伏缩小到 0.7 个百分点。

### 3. 1000 次里有 849 次落在椭圆内，这与正确的 95% 椭圆相符吗？

展开答案与解释

不相符。期望值是 950 次，标准差约 6.9 次，849 比期望低了约 15 倍标准差。椭圆相对实际误差太小了。

## 可以放在旁边读的来源

1. [W. H. K. Lee and J. C. Lahr, HYPO71 (revised): a computer program for determining hypocenter, magnitude, and first motion pattern of local earthquakes, U.S. Geological Survey Open-File Report 75-311 (1975)](https://pubs.usgs.gov/of/1975/0311/report.pdf)

   第 4.1 节讲 Geiger 方法：把到时残差对发震时刻和三个坐标作一阶展开（式 2），解最小二乘正规方程（式 3 至 5），更新试探震源（式 6），然后重复。引言提醒：残差小、标准误差小，并不保证震源定得准。

2. [F. W. Klein, User’s guide to HYPOINVERSE-2000, a Fortran program to solve for earthquake locations and magnitudes, U.S. Geological Survey Open-File Report 02-171 (2002)](https://pubs.usgs.gov/of/2002/0171/pdf/of02-171.pdf)

   附录 4 用定位问题的特征值和特征向量乘上到时方差，构造 4 行 4 列的协方差矩阵，再取其中只含空间坐标的 3 行 3 列得到误差椭球。附录指出，椭圆随假定的到时误差缩放；真正的误差还要算上地壳模型本身的不确定度，而这几乎无法知道。

[上一章 用 P 波和 S 波到时给地震定位](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/locating-an-earthquake/) [下一章 走时层析成像与分辨率矩阵](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/travel-time-tomography-and-resolution/)