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title: "一个圆怎样限制散射的强度"
description: "把角分布拆成分波，从概率守恒推导幺正圆，再用共振例题连接相移与总截面。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/scattering-amplitudes/partial-wave-unitarity/"
last_modified: "2026-10-27"
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[散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

L1 · 第 2 章

# 一个圆怎样限制散射的强度

Sandbox Physics · 2026-10-27

散射再强，每个入射分波所带的概率也有限。把它的复振幅画在平面上，弹性散射只能沿一个圆移动。这个几何图形把“概率不能凭空增加”变成了对振幅的精确限制。

## 开始前需要什么

上一章的概率流、复振幅和微分截面。需要复数的模与相位；本章介绍角动量分波、相移与幺正性。Legendre 多项式只需先认识前两项。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/flux-and-amplitude/)

- 推导弹性分波的幺正圆并计算一个共振截面。
- 说清势散射与相对论分波共享什么、归一化有何不同。

## 用简单角图形拼出复杂分布

中心势不偏爱任何空间方向，角动量大小因此可以分开处理。把波按角动量编号 $\ell=0,1,2,\ldots$ 展开，每一项叫一个分波。角分布由 Legendre 多项式 $P_\ell(\cos\vartheta)$ 描述：第一项是各向相同的常数，第二项随方向余弦改变正负。

入射波和散射后的波在远处都能拆成朝内、朝外传播的球面波。势改变它们之间的相位关系。对实的、没有吸收的中心势，每个分波的出射流等于入射流，变化只剩一个相位。

$$
f(\vartheta)=\frac{1}{k}\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)t_\ell P_\ell(\cos\vartheta),\qquad P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x
$$

定义无量纲分波振幅；这一章的波数仍有长度倒数的量纲。

$$
S_\ell=e^{2i\delta_\ell},\qquad t_\ell=\frac{S_\ell-1}{2i}=e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell
$$

相移是出射与入射径向波的额外相位关系；双倍相移来自标准的正弦径向波写法。

来源：David Tong

## 概率守恒画成一个圆

把 $t_\ell=x+iy$ 代入 $|S_\ell|=1$。展开模长平方，再完成平方，就得到圆心在虚轴一半处、半径为一半的圆。弹性相移改变时，点沿着圆周运动。

若某个分波还能把概率送进其他末态，它在弹性通道里留下的出射流会减少。允许点便进入圆内。圆外则要求弹性出射概率大于入射概率，违反幺正性。幺正性是整个散射算符保存概率的性质；单看一个通道时表现为不等式。

$$
|1+2it_\ell|^2\leq1\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{Im}t_\ell\geq|t_\ell|^2
$$

等号适用于这个分波只有弹性散射的情形。

$$
x^2+\left(y-\frac12\right)^2\leq\frac14
$$

幺正圆的内部对应弹性通道允许损失概率；外部不允许。

无量纲分波振幅

$t=e^{i\delta}\sin\delta$

金色点取六十度弹性相移。圆心处允许概率离开弹性通道。 $(\operatorname{Re}t,\operatorname{Im}t)=(\sqrt3/4,3/4)$

## 完整例题：只剩最低分波时

波长远大于势的作用范围时，较高角动量通常被离心势垒抑制。假设只保留 $\ell=0$，其角图形是常数。把微分截面对整个球面积分，便得到下面的总弹性截面。

取 $k=2\,\mathrm{nm}^{-1}$、$\delta_0=\pi/6$。先算 $t_0=\sqrt3/4+i/4$，模长平方为四分之一；再得 $\sigma=\pi/4\,\mathrm{nm}^2$。把相移调到 $\pi/2$，点走到圆的最高处，总截面升到 $\pi\,\mathrm{nm}^2$。这是该波数下最低分波的弹性上限。

实中心势的共振常伴随相移穿过直角。相移只在一个窄能量区间迅速变化，截面便出现峰。要判断真实散射是否由单个共振控制，还要检查背景、高分波和可能开放的非弹性通道。

$$
\sigma_{\rm el}=\frac{4\pi}{k^2}\sum_\ell(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell\quad\Longrightarrow\quad\sigma_{\ell=0}\leq\frac{4\pi}{k^2}
$$

总角积分中，不同分波的交叉项因角函数正交而消失；固定方向的微分截面仍包含分波干涉。

## 同一个圆可以出现在不同理论里

相对论散射也能按角动量展开，但常把两体相空间因子 $\rho(s)$ 留在振幅之外，写成 $S_\ell=1+2i\rho a_\ell$。这时落在上面那个圆里的量是 $t_\ell=\rho a_\ell$，不是直接把势散射振幅改个名字。

势散射实验给出一个可亲手探索相移的入口。后面的胶子振幅是无质量规范场的固定颜色顺序振幅，带有不同的自旋与通道结构；末两章还会换到一个空间维度。它们共享概率守恒的想法，每一步都要重新说明对象和归一化。

来源：M. F. Paulos

## 把推理带进实验

### [沿着幺正圆追踪一个分波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/partial-wave-scattering/)

1. 选择“近乎各向同性”，观察占主导的金色分波点。先预测浅势加深时它如何移动。
2. 连续改变势深或能量，找出截面峰与金色点接近圆顶的位置。观察圆图与角分布是否同步。
3. 提高能量或增大势阱半径，观察更高分波逐渐参与。解释为何总截面可逐项相加，而固定角度的振幅必须先求和。

## 练习与解释性答案

1. 点 $t=0.4+0.1i$ 是否允许？给出计算。

   展开解释

   其模长平方为 $0.17$，虚部为 $0.1$，不满足虚部不小于模长平方。等价地，它在幺正圆外；对应的弹性 $|S|^2=1.28$ 大于一。

2. 若 $S_\ell=0$，弹性分波振幅在哪？弹性散射截面是否也为零？

   展开解释

   代入定义得 $t_\ell=i/2$，在圆心。弹性出射的径向分波为零，但散射振幅衡量的是相对自由传播的改变，$|t_\ell|^2=1/4$ 仍非零。剩余概率流向其他通道。

3. 波数加倍且相移不变，最低分波截面怎样变？

   展开解释

   截面降为四分之一。幺正圆使用无量纲振幅，圆上的点不动；换成有面积量纲的截面时，波长尺度仍然影响结果。

[上一章：散射振幅怎样变成探测器上的计数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/flux-and-amplitude/) [下一章：为什么把动量拆成两个旋量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/helicity-and-color/)

## 来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

1. [David Tong, Topics in Quantum Mechanics, Chapter 10, Scattering Theory](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/aqm/aqmten.pdf)

   第 10.2.1—10.2.3 节：三维远场波、散射截面与分波。概率流到面积的推导和幺正圆例题由课程展开；链接的方势阱实验保留自己的模型与单位。

2. [M. F. Paulos, J. Penedones, J. Toledo, B. C. van Rees and P. Vieira, The S-matrix Bootstrap II: Two Dimensional Amplitudes, arXiv:1607.06110v2; JHEP 11 (2017) 143](https://arxiv.org/html/1607.06110v2)

   第 2 节式 (1)—(3) 固定交叉、弹性幺正性与耦合归一化。式 (9)、(13)—(14) 及图 5a、6 给出 sine-Gordon 参考、CDD 因子与物理带。这里复算外质量一、交换质量根号三时图 5a 的解析参考、极点残数和能量平方六处的复数值；不复现第 2.1 节及附录 A 的色散优化。三参数有理函数族是课程扩展。