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title: "怎样用极点拼回一个树振幅"
description: "构造守恒且在壳的 BCFW 复位移，用四点振幅完整计算一次留数，并看清无穷远边界项的作用。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/on-shell-recursion/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/scattering-amplitudes/on-shell-recursion/"
last_modified: "2026-10-27"
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[散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

L3 · 第 6 章

# 怎样用极点拼回一个树振幅

Sandbox Physics · 2026-10-27

树振幅在复动量空间里是一个有理函数。沿一条保持外腿在壳、总动量守恒的复路径走，它的极点就是中间粒子在壳的位置。若无穷远贡献消失，几个较低点振幅给出的留数就足够拼回原来的答案。

## 开始前需要什么

第三至五章，另需复数函数的简单极点与留数。简单极点附近，函数可写成常数除以距极点的差；那个常数就是留数。本章说明所需的 Cauchy 关系，不要求先修完整复分析。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/soft-collinear-factorization/)

- 验证一个 BCFW 位移同时保持在壳和守恒。
- 对四点例子计算留数，并识别何时必须保留无穷远项。

## 真实三点碰撞太特殊，复动量给它更多空间

三个无质量动量若都取实值，又满足总和为零，就只能彼此平行。所有两体不变量都为零。复动量允许角括号为零而方括号不为零，或反过来，因此三点振幅仍能保存非平凡信息。

两条负螺旋度腿的三点答案使用角括号；两条正螺旋度腿使用方括号。它们是递推的起点。外腿数量多时，极点把树分成更小的两棵树，最终可以一路拆到这些三点对象。

$$
A_3(1^-,2^-,3^+)=i\frac{\langle12\rangle^3}{\langle23\rangle\langle31\rangle},\qquad A_3(1^+,2^+,3^-)=-i\frac{[12]^3}{[23][31]}
$$

前式定义在方括号为零的复三点分支，后式定义在角括号为零的分支；实三点极限需要单独处理。

来源：Lance J. Dixon

## 只移动两条腿，却保持所有约束

对四点 $(--++)$ 例子，改变第一腿的点旋量和第四腿的非点旋量，复参数记作 $z$。每个动量仍是两个旋量的外积，行列式继续为零。两条腿增加和减少的是同一个四向量，总动量保持不变。

这条复路径是计算工具。沿途的复能量不代表探测器能够测到的事件。最终回到参数零点，取回原来的实运动学振幅。

$$
\widehat{\widetilde\lambda}_1=\widetilde\lambda_1-z\widetilde\lambda_4,\qquad\widehat\lambda_4=\lambda_4+z\lambda_1
$$

其余旋量保持不变。这是负螺旋度第一腿与正螺旋度第四腿的良态位移。

$$
\widehat k_1=k_1-zq,\quad\widehat k_4=k_4+zq,\quad q_{\alpha\dot\alpha}=\lambda_{1\alpha}\widetilde\lambda_{4\dot\alpha},\qquad q^2=q\cdot k_1=q\cdot k_4=0
$$

两个位移相消；正交关系保证外腿质量平方在任意复参数处保持为零。

来源：Lance J. Dixon

## 完整例题：四点函数只有一个有限极点

把位移代进四点表达。分子不变，$\langle41\rangle$ 也不变，只有 $\langle34\rangle$ 变成参数的一次式。整个问题变成求一个简单有理函数的留数。

把与参数无关的因子记作 $C$。极点位置从分母为零求出。函数 $A_4(z)/z$ 在这个极点的留数，是把它乘以距极点的差后取极限，得到 $C/(z_*\langle31\rangle)=-C/\langle34\rangle$。

Cauchy 定理把原点留数、这个有限极点留数和无穷远贡献相加。此例 $A_4(z)$ 在无穷远按参数倒数衰减，边界贡献为零。原点留数就是 $A_4(0)$，于是得到下面的重建。

$$
C=\frac{i\langle12\rangle^3}{\langle23\rangle\langle41\rangle},\qquad A_4(z)=\frac{C}{\langle34\rangle+z\langle31\rangle},\qquad z_*=-\frac{\langle34\rangle}{\langle31\rangle}
$$

这里假设相关括号非零且远离原始物理奇点；特殊构型可由连续极限取得。

$$
A_4(0)=-\operatorname*{Res}_{z=z_*}\frac{A_4(z)}{z}=\frac{C}{\langle34\rangle}=i\frac{\langle12\rangle^4}{\langle12\rangle\langle23\rangle\langle34\rangle\langle41\rangle}
$$

这是对已知四点函数的完整留数检查；一般递推再把留数换成两个三点子振幅的乘积。

## 留数从小振幅中来

上例极点也满足 $\widehat P_{12}^2=0$。那里振幅因子化成左边的三点 $(--+)$ 与右边的三点 $(-++)$，连接腿在两侧的螺旋度相反。把上一章的极点关系用到每个允许通道，再除去产生留数的位移斜率，就得到 BCFW 递推。

每一项的左右子振幅在本通道自己的复极点处计算，连接传播子则用原始未位移通道动量。这样小振幅数量减少，递推终能结束。四点只有一种平面划分；点数增加时，划分与中间螺旋度的求和都要保留。

$$
A_n(0)=\sum_{\text{allowed channels }P}\sum_{h=\pm} A_L(z_P,\widehat P^h)\frac{i}{P^2}A_R(z_P,-\widehat P^{-h})+B_\infty
$$

无穷远边界项只有在所选位移确实衰减时才能设为零；递推同时使用极点留数和无穷远行为。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

## 一个坏位移能漏掉整块答案

反过来移动第一腿的非点旋量与第四腿的点旋量，四点分子的 $\langle12\rangle^4$ 一般按参数四次方增长，分母只有一个相关线性因子，结果按 $z^3$ 增长。此时只加有限极点留数会漏掉边界项。

良态位移、正确因子化和一个明示的理论共同支撑递推。换成含更高导数接触相互作用的理论时，极点可能不变，局部多项式却能改变答案。接触相互作用的信息会出现在无穷远行为中。

## 把推理带进实验

### [用四点基准检查递推终点](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gluon-amplitudes/)

1. 选取一个非奇异角度，记录图求和得到的复振幅。把同一构型的旋量积代入本章的单极点表达。
2. 逐步计算极点位置、留数和参数零点的答案，比较完整复数。
3. 把散射角改到另一个值再做一次。解释为什么角度变化会移动复极点，却不改变计算流程。

## 练习与解释性答案

1. 给一个有理函数加常数 $d$，有限极点的留数会变吗？只知道有限极点是否足以重建新函数？

   展开解释

   有限极点留数不变，但原点的函数值增加了常数。常数改变无穷远行为；若不掌握边界项，有限极点数据不能唯一决定答案。

2. 为什么位移后还要坚持每条外腿在壳，而不只保持总动量？

   展开解释

   递推使用物理外态的在壳子振幅和它们的因子化规律。若外腿离壳，会引入额外、依赖规范的结构；这时需要相应的离壳对象与留数关系。

[上一章：一颗很软的胶子为何记不住整个碰撞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/soft-collinear-factorization/) [下一章：把二维散射放进一条复平面带](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/analytic-strip-crossing/)

## 来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

1. [Lance J. Dixon, A brief introduction to modern amplitude methods, arXiv:1310.5353v1 (2013)](https://arxiv.org/html/1310.5353v1)

   第 2 节式 (5) 为颜色分解；3.1 节式 (14)、(19)、(21)—(27) 为旋量和全出射约定；3.3 节式 (41)—(46) 为极化；4.1 节式 (55)—(57) 为软因子；4.3 节式 (68)—(70) 为 MHV 与共线因子；4.5、5.1 节式 (74)—(84) 为复三点起点与递推。守恒扫描路径和四点留数例题是课程推导的扩展。

2. [R. Britto, F. Cachazo, B. Feng and E. Witten, Direct Proof Of Tree-Level Recursion Relation In Yang-Mills Theory, hep-th/0501052v2; Physical Review Letters 94, 181602 (2005)](https://arxiv.org/pdf/hep-th/0501052v2)

   第 2 节介绍无质量动量旋量，以式 (2.1) 构造双腿复位移，并在式 (2.7) 推导递推；第 3 节控制大参数行为；第 4 节证明 MHV 构造。课程保留 Dixon 的振幅整体相位，把位移用于第一、第四条腿。软扫描以 MHV 函数为输入，另行推导守恒的实动量路径。