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title: "为什么把动量拆成两个旋量"
description: "从无质量动量矩阵的零行列式引入旋量螺旋度，再用颜色排序解释振幅中哪些极点能够出现。"
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last_modified: "2026-10-27"
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[散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

L2 · 第 3 章

# 为什么把动量拆成两个旋量

Sandbox Physics · 2026-10-27

无质量粒子的动量不是四个独立数字。把它写成一个行列式为零的矩阵，就能拆成两个双分量对象。它们组成的旋量积既记录动量，也记住自旋态怎样转动，让长串张量收缩变成几个短因子。

## 开始前需要什么

前两章的复振幅；二阶矩阵、行列式与四动量。四动量的时间分量是能量，空间分量是三维动量。自然单位下二者同量纲；本章介绍旋量、螺旋度与颜色排序。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/partial-wave-unitarity/)

- 由无质量条件解释动量矩阵为何可分解。
- 检查一个公式的螺旋度权重，并列出颜色排序允许的通道。

## 无质量条件减少了一个自由度

从这里到递推一章，固定四维时空、度规 $(+,-,-,-)$ 和自然单位 $\hbar=c=1$。四动量 $k^\mu=(E,k_x,k_y,k_z)$ 满足 $k^2=0$。把它装进下面的二阶矩阵，行列式正是四动量平方。非零而行列式为零的矩阵只有一个独立列方向，因此可以写成列向量乘行向量。

两个向量记作 $\lambda_\alpha$ 与 $\widetilde\lambda_{\dot\alpha}$，叫 Weyl 旋量。每个分量的量纲是能量的平方根。这两个旋量一起描述同一个无质量动量。

$$
k_{\alpha\dot\alpha}=\begin{pmatrix}E+k_z&k_x-ik_y\\k_x+ik_y&E-k_z\end{pmatrix}=\lambda_\alpha\widetilde\lambda_{\dot\alpha},\qquad\det k=E^2-\mathbf k^2=0
$$

复动量时两个旋量独立；实动量的共轭关系还依赖能量符号和旋量约定。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

## 反对称乘积保留了转动信息

两列二分量数的行列式是反对称的：交换两列便变号。用这个运算定义角括号旋量积；方括号也作相应定义。我们沿用 $s_{ij}=\langle ij\rangle[ji]$ 的符号约定。数值计算应把方括号的符号与这条等式一起固定，使用同一套定义。

完整例题：取 $\lambda_1=\sqrt{2E}(1,0)$，$\lambda_2=\sqrt{2E}(\cos(\vartheta/2),\sin(\vartheta/2))$。直接算二阶行列式得 $\langle12\rangle=2E\sin(\vartheta/2)$。平方模为 $2E^2(1-\cos\vartheta)$，正好是两条等能量未来指向无质量动量的内积两倍。接近平行时，这个旋量积随夹角一次方趋零。

$$
\langle ij\rangle=\lambda_{i1}\lambda_{j2}-\lambda_{i2}\lambda_{j1},\qquad\langle ij\rangle=-\langle ji\rangle,\qquad s_{ij}=2k_i\cdot k_j
$$

旋量积带一个能量量纲。固定实动量分支后，其模长给出相应不变量绝对值的平方根。

## 螺旋度告诉我们公式应该怎样缩放

螺旋度是自旋沿运动方向的分量。无质量胶子只有两种物理螺旋度，单位约化 Planck 常数下分别为正一和负一。固定一种后，振幅仍能随着旋量相位约定改变相位，概率却保持不变。

把某条腿的旋量乘以非零复数 $q$，另一个旋量除以 $q$，动量矩阵不变。这种变换叫小群缩放。物理实态的相位自由度对应 $|q|=1$；一般复数缩放是它的解析延伸。螺旋度为 $h_i$ 的振幅按 $q^{-2h_i}$ 缩放。它是筛选候选公式的快速办法。

例如四胶子的 $(--++)$ 振幅，分母的循环角括号给每条腿两次。分子 $\langle12\rangle^4$ 给前两条腿各四次，于是前两条净权重为正二、后两条为负二，恰好符合螺旋度。

$$
\lambda_i\mapsto q\lambda_i,\quad\widetilde\lambda_i\mapsto q^{-1}\widetilde\lambda_i\quad\Longrightarrow\quad A_n\mapsto q^{-2h_i}A_n
$$

缩放检验是必要条件；不同相互作用仍可能具有相同权重，还要检查维数、极点和因子化。

## 把颜色代数先收起来

胶子的颜色是一个内部量子编号。描述颜色对称性的生成元是矩阵，乘法顺序会影响结果；这种对称性叫非 Abelian。这里取生成元归一化 $\operatorname{Tr}(T^aT^b)=\delta^{ab}$，把树振幅写成颜色迹乘以纯运动学的部分振幅，规范耦合 $g^{n-2}$ 提到外面。每个部分振幅保留一个循环顺序。

对顺序 $(1,2,3,4)$，可切开的树图通道是 $s_{12}$ 与 $s_{23}$。把 $1$ 和 $3$ 单独切在一起会破坏这个平面循环顺序，所以同一个部分振幅不含独立的 $s_{13}$ 交换极点。完整颜色振幅由多个顺序重组得到。

全部动量从顶点向外标。真实入射动量要取负号，入射螺旋度标签也按出射约定反转。这样动量守恒写成总和为零，跨通道比较时无需每次重画箭头。

$$
\mathcal A_n=g^{n-2}\sum_{\sigma\in S_n/Z_n}\operatorname{Tr}(T^{a_{\sigma(1)}}\cdots T^{a_{\sigma(n)}})A_n(\sigma(1),\ldots,\sigma(n))
$$

对循环移位等价的顺序只计一次。固定颜色顺序的部分振幅具有规范不变性；求截面还要重组完整颜色振幅。

来源：Lance J. Dixon

## 把推理带进实验

### [用角度验证一个旋量积的尺度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gluon-amplitudes/)

1. 保持参考方向远离任何外腿，选择四点振幅。预测第三腿转向第二束入射方向时，哪个相邻不变量的绝对值会缩小。
2. 连续拖动出射方向，比较图求和与紧凑表达；比较不同角度与参考选择下的数值误差。
3. 先用螺旋度权重说明紧凑表达为何要有四次方分子，再解释为何这个检查还不够证明公式正确。

## 练习与解释性答案

1. 把 $\langle12\rangle^4$ 改成 $\langle13\rangle^4$，循环分母不变，对应哪两条负螺旋度腿？

   展开解释

   第一和第三条。逐条数每个旋量出现的次数即可。每条腿的净权重决定螺旋度，动量编号的位置不能随意交换而保持原来的外态。

2. 五点颜色顺序振幅允许所有两粒子通道都出现极点吗？

   展开解释

   只有循环相邻的两条腿能形成这种通道；五点共有五种相邻对。非相邻对的极点可在其他颜色顺序中出现。

[上一章：一个圆怎样限制散射的强度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/partial-wave-unitarity/) [下一章：四个胶子的长计算为何只剩一行](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/four-gluon-ward/)

## 来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

1. [Lance J. Dixon, A brief introduction to modern amplitude methods, arXiv:1310.5353v1 (2013)](https://arxiv.org/html/1310.5353v1)

   第 2 节式 (5) 为颜色分解；3.1 节式 (14)、(19)、(21)—(27) 为旋量和全出射约定；3.3 节式 (41)—(46) 为极化；4.1 节式 (55)—(57) 为软因子；4.3 节式 (68)—(70) 为 MHV 与共线因子；4.5、5.1 节式 (74)—(84) 为复三点起点与递推。守恒扫描路径和四点留数例题是课程推导的扩展。

2. [R. Britto, F. Cachazo, B. Feng and E. Witten, Direct Proof Of Tree-Level Recursion Relation In Yang-Mills Theory, hep-th/0501052v2; Physical Review Letters 94, 181602 (2005)](https://arxiv.org/pdf/hep-th/0501052v2)

   第 2 节介绍无质量动量旋量，以式 (2.1) 构造双腿复位移，并在式 (2.7) 推导递推；第 3 节控制大参数行为；第 4 节证明 MHV 构造。课程保留 Dixon 的振幅整体相位，把位移用于第一、第四条腿。软扫描以 MHV 函数为输入，另行推导守恒的实动量路径。