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title: "四个胶子的长计算为何只剩一行"
description: "比较四胶子树图求和与 Parke–Taylor 表达，用参考方向变化、Ward 检查和极点判断计算是否可靠。"
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language: "zh-CN"
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last_modified: "2026-10-27"
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[散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

L3 · 第 4 章

# 四个胶子的长计算为何只剩一行

Sandbox Physics · 2026-10-27

同一个四胶子振幅可以由交换图和接触图相加，也可以写成一行旋量积。长式中的许多项只是在补偿极化写法带来的冗余。改变参考方向，单张图会动，完整答案保持不变。

## 开始前需要什么

第三章的旋量积、螺旋度权重、全出射约定与颜色排序。需要四向量内积和复数运算。这里介绍极化参考动量、Ward 恒等式和浮点消减。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/helicity-and-color/)

- 对同一个四点模型比较图求和与紧凑表达。
- 区分参考变换、Ward 检查与数值条件数各自检查什么。

## 固定一个可复算的碰撞

只算颜色顺序 $(1,2,3,4)$、出射螺旋度 $(--++)$ 的无质量 Yang–Mills 树振幅。取入射束能量 $E=1$ 作为单位，两束沿纵轴相向而来。全出射四动量和末态方向如下；方位角取零。

把这组数代入内积，可逐个检查所有外腿无质量，总能量与总三动量守恒。这个颜色顺序的反向端点有质量为零的交换极点，前向端点的振幅保持有限。页面采用远离端点的有限角度窗口。

$$
k_1=(-1,0,0,-1),\quad k_2=(-1,0,0,1),\quad k_3=(1,\sin\vartheta,0,\cos\vartheta),\quad k_4=(1,-\sin\vartheta,0,-\cos\vartheta)
$$

能量和三动量均以束能量计；前两条负能量四向量表示真实入射粒子。

$$
s_{12}=4,\qquad s_{23}=-2(1+\cos\vartheta),\qquad\sum_i k_i=0
$$

这个颜色顺序的两个交换通道是相邻对；改变腿的排序也会改变通道标签。

## 极化方向需要一把参考尺

极化四向量 $\varepsilon_i$ 描述外腿的自旋态，它必须与该腿动量正交。用旋量写它时，再选一条无质量参考动量 $q_i$。参考动量提供表示横向方向的一把尺，不是又射进来一颗粒子。

下面的夹心符号表示把两端旋量与一组固定的 Dirac 矩阵收缩，结果是一个四向量。这一节使用它的两个性质：与自身动量正交，换参考只增加沿自身动量的分量。

换参考尺会给极化矢量增加一个与 $k_i$ 成比例的项。若完整振幅在把任一极化替换为自身动量后为零，新增项便不起作用。这就是此处的树级 on-shell Ward 检查。它需要所有必需图都已相加。

$$
\varepsilon_+^\mu(k;q)=\frac{\langle q|\gamma^\mu|k]}{\sqrt2\langle qk\rangle},\qquad k\cdot\varepsilon_+=0
$$

参考动量必须避开分母为零的共线方向；负螺旋度使用相应共轭手征表达。

$$
\varepsilon_i\mapsto\varepsilon_i+\beta k_i\quad\Longrightarrow\quad\Delta A_4=\beta A_4(\ldots,\varepsilon_i=k_i,\ldots)=0
$$

这里的等式依赖外腿在壳、动量守恒及完整树振幅；各图的规范依赖项在求和中抵消。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

## 两条计算路必须共享同一套约定

直接计算使用平面的 $s_{12}$ 交换、$s_{23}$ 交换和四胶子接触三项。每个交换图由两个三胶子顶点、一条传播子与四个外腿极化收缩得到。接触项没有内部传播子，却是规范抵消所必需的一部分。

第二条路直接使用 Parke–Taylor 的固定螺旋度表达。它没有极化参考动量。两路都去掉耦合与颜色迹，保留同样的整体相位；否则只比较平方模会漏掉相位或符号错误。

完整例题：碰撞角为直角。此时 $s_{12}=4$、$s_{23}=-2$。用 $|\langle ij\rangle|^2=|s_{ij}|$ 算紧凑式的平方模：分子为 $4^4$，分母为 $4\cdot2\cdot4\cdot2$，结果为 $|A_4|^2=4$。图求和在相同旋量相位约定下还要给出同一个复数。

$$
A_4=A_{12}+A_{23}+A_{\rm contact}=i\frac{\langle12\rangle^4}{\langle12\rangle\langle23\rangle\langle34\rangle\langle41\rangle}
$$

前一等式描述 Feynman 图路径；后一等式是独立的紧凑计算路径。

$$
J_{ab}=(\varepsilon_a\!\cdot\!\varepsilon_b)(k_a-k_b)+2(\varepsilon_a\!\cdot\!k_b)\varepsilon_b-2(\varepsilon_b\!\cdot\!k_a)\varepsilon_a
$$

对横向、在壳的外腿，三胶子顶点收缩可先整理为这个四向量流。所有内积采用同一个度规。

$$
A_4=\frac i2\left[\frac{J_{12}\!\cdot\!J_{34}}{s_{12}}+\frac{J_{23}\!\cdot\!J_{41}}{s_{23}}+2(\varepsilon_1\!\cdot\!\varepsilon_3)(\varepsilon_2\!\cdot\!\varepsilon_4)-(\varepsilon_1\!\cdot\!\varepsilon_2)(\varepsilon_3\!\cdot\!\varepsilon_4)-(\varepsilon_1\!\cdot\!\varepsilon_4)(\varepsilon_2\!\cdot\!\varepsilon_3)\right]
$$

前两项对应交换图，后面三项合为四胶子接触图。这给出了可逐项重算的直接张量路径。

$$
|A_4|^2=\frac{s_{12}^2}{s_{23}^2}=\frac{4}{(1+\cos\vartheta)^2}
$$

这是固定颜色顺序、固定螺旋度且去掉耦合后的结果，尚未平均颜色、自旋或加入相空间。

来源：Lance J. Dixon

## 让冗余变大，观察抵消如何变难

参考尺接近某条外腿时，极化表示的分母会变小。单张图可能很大，最后却只剩一个普通大小的答案。机器以有限位数储存数字，相减会丢掉有效数字。这个误差来自表示的条件，不是相互作用突然加强。

用各图绝对值之和除以总和绝对值，定义消减指标 $\kappa_{\rm sum}$。它估计这一求和对各项相对误差的敏感程度。在总振幅为零的构型附近，相对误差本身也不适合单独使用，需同时看绝对误差。

一组可靠检查会同时比较两路复振幅、逐条腿的 Ward 残差、动量守恒与无质量残差，并记录参考选择。换参考后总和稳定而单图大变，是规范冗余在数值计算中的直接表现。

$$
\kappa_{\rm sum}=\frac{|A_{12}|+|A_{23}|+|A_{\rm contact}|}{|A_4|}
$$

它衡量所选图分解中的消减；完整的输入条件分析还需改变各个独立运动学变量。

## 把推理带进实验

### [拖动参考方向，看大数怎样相消](https://sandboxphysics.com/zh/labs/gluon-amplitudes/)

1. 从默认角度开始，记录三张图、它们的复数总和和紧凑答案。
2. 保持物理碰撞不变，只拖动极化参考方向。预测后再比较单项、总和、Ward 残差与消减指标。
3. 走完允许的参考方向圆，比较最大与最小的消减指标。页面把参考方向与平面内外腿隔开；近共线参考的大数消减留作下面的解析练习。

## 练习与解释性答案

1. 删掉接触图后，某一个角度仍与紧凑结果很接近，能否保留这个计算方法？

   展开解释

   不能。偶然接近不能代替一个模型恒等式。改变角度和参考方向，再逐条腿做 Ward 检查；缺少接触项通常会破坏这些关系。

2. 两个大图项分别为约 $10^{10}$ 与 $-10^{10}+1$。每项有 $10^{-15}$ 的相对误差，总和的绝对误差可能到什么量级？

   展开解释

   每项的绝对误差约 $10^{-5}$，总和也可能保留这个量级的误差。相对于大小为一的结果，误差远大于机器输入的相对精度；换一个良态参考选择或提高精度可改善计算。

[上一章：为什么把动量拆成两个旋量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/helicity-and-color/) [下一章：一颗很软的胶子为何记不住整个碰撞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/soft-collinear-factorization/)

## 来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

1. [Lance J. Dixon, A brief introduction to modern amplitude methods, arXiv:1310.5353v1 (2013)](https://arxiv.org/html/1310.5353v1)

   第 2 节式 (5) 为颜色分解；3.1 节式 (14)、(19)、(21)—(27) 为旋量和全出射约定；3.3 节式 (41)—(46) 为极化；4.1 节式 (55)—(57) 为软因子；4.3 节式 (68)—(70) 为 MHV 与共线因子；4.5、5.1 节式 (74)—(84) 为复三点起点与递推。守恒扫描路径和四点留数例题是课程推导的扩展。

2. [R. Britto, F. Cachazo, B. Feng and E. Witten, Direct Proof Of Tree-Level Recursion Relation In Yang-Mills Theory, hep-th/0501052v2; Physical Review Letters 94, 181602 (2005)](https://arxiv.org/pdf/hep-th/0501052v2)

   第 2 节介绍无质量动量旋量，以式 (2.1) 构造双腿复位移，并在式 (2.7) 推导递推；第 3 节控制大参数行为；第 4 节证明 MHV 构造。课程保留 Dixon 的振幅整体相位，把位移用于第一、第四条腿。软扫描以 MHV 函数为输入，另行推导守恒的实动量路径。