--- title: "亲手缩小一族 S 矩阵，再复算一条已发表曲线" description: "在有限有理 ansatz 中分别施加交叉、固定极点谱与幺正性，解析求出允许线段，并对照 Paulos 等人的指定曲线。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/finite-bootstrap-benchmarks/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/scattering-amplitudes/finite-bootstrap-benchmarks/" last_modified: "2026-10-27" --- [散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/) L4 · 第 8 章 # 亲手缩小一族 S 矩阵，再复算一条已发表曲线 Sandbox Physics · 2026-10-27 有限参数家族能把 bootstrap 的工作方式变得具体：先选候选函数，再逐个排除违反必要条件的参数。这里还能直接解出整段允许区，因此可以把解析结论、网格抽样和已发表参考曲线放在一起比较。 ## 开始前需要什么 上一章的快度、物理带、交叉与 CDD 因子；二次函数在闭区间上的最大值。需要分清必要条件与充分条件，以及有限参数家族与全部解析函数的区别。 [回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/analytic-strip-crossing/) - 解析推导有限家族的交叉、无额外极点与边界模长条件。 - 独立复算指定论文曲线，说明哪些结论有证明、哪些仍只是有限范围证据。 ## 先把解析带变成单位圆盘 沿用 $m=1$ 与 $\alpha=\pi/3$。用下面的双曲正切映射把物理带送进单位圆盘。交叉变换把圆盘坐标 $z$ 变成 $-z$；真实快度沿下半圆周走，带内部落在圆盘内部。这个坐标与前面的 BCFW 的复参数同名，但用途完全不同。 在固定 CDD 因子外乘一个有限有理函数。实系数 $r,a,b$ 控制候选形状；$0.1\leq r\leq1$。先冻结这三参数族，所有“允许”都指它内部满足所列必要条件的位置。 $$ z(\theta)=\tanh\frac{\theta-i\pi/2}{2},\qquad z(i\pi-\theta)=-z(\theta) $$ 固定谱的 CDD 极点已经显式提出；额外有理因子仍需检查是否引入新极点。 $$ S(\theta)=C_{\pi/3}(\theta)\frac{r+iaz(\theta)}{1-bz(\theta)^2} $$ 这是本课程的教学 ansatz，不是原论文色散样条的截断；两种数值问题有不同的参数空间。 来源：M. F. Paulos · Patrick Dorey ## 三种条件各删掉什么 交叉要求额外因子在 $z\mapsto-z$ 下不变。分母本来是偶函数，分子的一次项只能消失，因此 $a=0$。在系数平面上，这一步把二维区域压到一条直线。 指定极点谱要求分母不要在单位圆盘中再长出极点。根满足 $z^2=1/b$；当 $|b|>1$ 时，它们进入圆盘。当 $|b|=1$ 时，它们到达阈值或高能边界，本模型也要求这些边界规则，故一并排除。正的 $r$ 保证一次分子不能同时抵消这两个根。撤掉交叉条件时，分子还可能抵消一个指定 CDD 极点；固定谱检查也排除这些系数线。 最后检查整条物理边界的模长。固定 CDD 因子在那里模长为一，问题只剩有理因子。把复数模长展开后，原本连续无限多个快度条件就变成一个闭区间上的二次函数最大值问题。 $$ a=0,\qquad |b|<1 $$ 第一项是本 ansatz 的精确交叉条件；第二项还包含这里明示的边界规则性。 $$ t=-\operatorname{Im}z\in[0,1],\quad F(t)=r^2+a^2-(1-b)^2+2rat-4bt^2\leq0 $$ 逐项展开分子模长平方减分母模长平方即可得到这一式，端点也覆盖相应边界极限。 ## 完整例题：把允许区解出来 先施加交叉 $a=0$。若 $b\geq0$，二次项系数非正，最大值在 $t=0$；再用 $|b|<1$ 得 $b\leq1-r$。若 $b<0$，函数向上弯，最大值在 $t=1$，于是 $-b\leq1-r$。两段合成一条精确线段。 取 $r=0.6$，允许范围是 $-0.4\leq b\leq0.4$。例如 $b=0.3$ 时，分母模长最小为 $0.7$，所以边界最大模长为 $0.6/0.7=6/7$。改成 $b=0.5$，最大模长变为 $1.2$，幺正必要条件失败。 还有一个容易误判的点：$r=0.6,a=0,b=2$。边界最大模长仍只有 $0.6$，却在圆盘内部多了 $z=\pm1/\sqrt2$ 两个极点。只看边界模长会把它留下；固定谱条件会把它删掉。 $$ \boxed{a=0,\qquad |b|\leq1-r\qquad(0.1\leq r\leq1)} $$ 这是这族函数对所列条件的解析结论；完整理论的解释还需要其他通道和阈值条件。 ## 复算论文图 5a 的明确范围 选 $r=1,a=b=0$，候选函数退回精确 CDD 参考。Paulos 等人 arXiv:1607.06110v2 的图 5a 使用交换质量 $m_1=\sqrt3$；原文式 (9) 用能量平方写同一个函数，式 (14) 用快度写它。用两套独立变量计算实部、虚部与模长，再比较，能发现分支或符号错误。 取物理上边缘 $s+i0$，并选择 $Q(s)=-i\sqrt{s}\sqrt{s-4}$。这对应 $Q=-2i\sinh\theta$，与前章 CDD 的正号配套。代入 $s=6$，有 $\sinh\theta=\sqrt3$，得到 $S=3/5+4i/5$。这是一个能手算的复数基准，不依赖拟合。 页面和导出表重算这些函数值，没有抄取论文的像素或数字化红点。复现范围是选定参数的解析曲线和残数；原文的色散样条优化、最大耦合全质量曲线以及多粒子谱没有在浏览器里重做。 $$ S_{\rm ref}(s)=\frac{Q(s)+\sqrt3}{Q(s)-\sqrt3},\qquad Q(s)=-i\sqrt{s}\sqrt{s-4}\quad(s>4) $$ 这是原文式 (9) 在外质量一、交换质量根号三及所选物理边缘上的形式。 $$ S_{\rm ref}(6)=\frac35+\frac45i,\qquad |S_{\rm ref}(6)|=1,\qquad\operatorname*{Res}_{s=3}S_{\rm ref}=-6 $$ 复平面值、单位模长与内部极点残数提供三种不同的核查。 来源：M. F. Paulos ## 网格能发现反例，解析最大值覆盖整个区间 在一般参数下，先检查二次函数的两个端点；若二次项向下且驻点在区间内，还要检查驻点。有限候选点即可精确决定这个家族的边界模长条件。独立加密快度网格用于检查计算，覆盖整个区间则依靠这条最大值论证。 这个差别在更复杂 ansatz 里会更难处理。有限网格通过只能说明采样点通过；增加基底阶数可能扩大可行集，增加检查点又可能缩小它。要宣布严格界，需要控制连续边界、截断余项和数值误差。 最后还要问函数是否具有完整物理解释。本家族没有给出其他通道和非弹性阈值；许多模长小于一的候选一直损失弹性概率到阈值附近。在假定外粒子最轻、没有其他通道于该弹性阈值或更低处开放的谱中，完整理论还需要第一处非弹性阈值前的弹性区间，并需检查剩余谱与留数条件。这里的线段回答一个有限的必要条件问题，精确 CDD 参考另有已知理论支持。 来源：M. F. Paulos ## 把推理带进实验 ### [预言一条线段，再检查它](https://sandboxphysics.com/zh/labs/s-matrix-bootstrap/) 1. 把尺度选到零点六，先手算允许端点正负零点四。逐个打开交叉、固定谱与幺正条件，观察删去的区域。 2. 拖到边界模长合格、内部却有额外极点的预设。说明仅看圆周轨迹为何会误判。 3. 回到精确 CDD 参考，导出曲线；用原文能量平方表达复算并比较实部、虚部、模长和残数。最后在外部脚本中用保存的参数比较粗网格、密网格与解析最大值。 ## 练习与解释性答案 1. 为什么 $r=1$ 时允许线段缩成一个点？这是否说明全部理论空间只有一个理论？ 展开解释 本家族的结果 $|b|\leq1-r$ 迫使 $b=0$，交叉又给 $a=0$。这是固定 ansatz、固定 CDD 谱与所列条件内部的唯一点；其他函数族、粒子谱或散射通道仍在问题之外。 2. 设 $b>0$，二次函数的内部驻点在哪里？怎样检查它是否需要加入最大值比较？ 展开解释 对 $F$ 求导得 $t_*=ra/(4b)$。只有 $0