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title: "把二维散射放进一条复平面带"
description: "转入一个空间维度的有隙散射，用快度展开物理解析带，推导交叉关系并计算一个 CDD 极点的质量与残数。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/analytic-strip-crossing/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/scattering-amplitudes/analytic-strip-crossing/"
last_modified: "2026-10-27"
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[散射振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/)

L4 · 第 7 章

# 把二维散射放进一条复平面带

Sandbox Physics · 2026-10-27

在一个空间维度，两颗等质量粒子的弹性散射只剩一个独立运动学变量。把能量换成快度，物理解析域变成一条带。交叉对称、概率守恒和束缚态极点便能画在同一个复平面上。

## 开始前需要什么

第一、二章的振幅和概率守恒；复数、双曲函数和简单极点。无需先完成胶子递推。此处换成有质量、全同且无电荷的粒子；四维无质量胶子的颜色与螺旋度公式到此停止使用。

[回看先修概念](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/partial-wave-unitarity/)

- 从快度推导阈值、交叉变换和物理带。
- 算出固定 CDD 参考的束缚态质量、交叉伙伴和极点残数。

## 一个空间维度把运动学变简单

现在的时空是一维时间加一维空间，度规为 $(+,-)$，自然单位仍取 $\hbar=c=1$。粒子质量为 $m$，并以它为能量单位。单粒子动量可写成 $p=m(\cosh\beta,\sinh\beta)$，因为双曲余弦平方减双曲正弦平方恒为一。

两条入射腿的快度差记作 $\theta=\beta_1-\beta_2$。质心系快度各为正负一半，故总能量平方只依赖这个差。实快度给出两粒子阈值以上的物理散射。

$$
s=4m^2\cosh^2\!\frac\theta2=2m^2(1+\cosh\theta),\qquad s\geq4m^2\quad(\theta\in\mathbb R)
$$

本章的标量弹性 S 矩阵元素包含自由传播的单位项；这个定义与前面胶子部分振幅的归一化分别使用。

来源：M. F. Paulos · Patrick Dorey

## 交叉把带的下边缘连到上边缘

把一条粒子线从末态换到初态，解析关系把 $s$ 送到 $4m^2-s$。对全同无电荷粒子，交叉对称要求这两个解析值相等。在快度里，这个变换是 $\theta\mapsto i\pi-\theta$。

平方根在复平面上需要选定分支；沿割线两侧靠近同一点，可以得到不同符号。把两条割线围出的物理片展开为 $0<\operatorname{Im}\theta<\pi$，叫物理解析带。真实散射位于下边缘，交叉后的散射位于上边缘。内部纯虚快度对应阈值之间的实能量平方；稳定粒子交换可以在那里留下极点。

$$
S(\theta)=S(i\pi-\theta),\qquad S(s)=S(4m^2-s)
$$

交叉是一个解析关系；不能仅把正实能量数据镜像后就认定内部函数已被确定。

$$
|S(\theta)|^2\leq1\qquad(\theta\in\mathbb R)
$$

完整幺正矩阵中，单个弹性元素只能携带不超过全部入射概率；纯弹性解达到等号。

快度物理解析带

$0<\operatorname{Im}\theta<\pi$

下边缘是真实散射；成对极点来自固定 CDD 参考。本图是课程自行绘制的示意。 $\theta=i\pi/3,\;2i\pi/3\quad\Longleftrightarrow\quad s=3,\;1$

来源：M. F. Paulos

## 构造一个每个实快度都幺正的函数

取实角 $0<\alpha<\pi/2$，用双曲正弦组成下面的比值。对实快度，分子与分母互为共轭，模长恒为一。又因为 $\sinh(i\pi-\theta)=\sinh\theta$，它自动满足交叉关系。这叫一个 CDD 极点因子。

分母在 $\theta=i\alpha$ 及 $i(\pi-\alpha)$ 为零。把第一个位置代入能量平方，得到交换粒子质量 $m_1=2m\cos(\alpha/2)$；另一个给出交叉伙伴。一个函数因此同时展示了边界幺正性与内部谱信息。

$$
C_\alpha(\theta)=\frac{\sinh\theta+i\sin\alpha}{\sinh\theta-i\sin\alpha},\qquad C_\alpha(\theta)C_\alpha(-\theta)=1
$$

这是 Paulos 等人式 (14) 的单个 CDD 因子，选定正号；它的极点结构必须与所假设粒子谱配套。

$$
s(i\alpha)=4m^2\cos^2\!\frac\alpha2=m_1^2,\qquad s(i(\pi-\alpha))=4m^2-m_1^2
$$

交叉把两个极点配对；选定一个位置后，另一个也随之确定。

来源：M. F. Paulos

## 完整例题：质量平方为三的交换态

设 $m=1$、$\alpha=\pi/3$。两个极点位于纯虚快度的三分之一和三分之二处，对应 $s=3$ 与 $s=1$。直接在第一个极点附近把分母作一次展开：分母导数为 $\cos\alpha=1/2$，分子在极点为 $i\sqrt3$。

快度变量中的留数为 $2i\sqrt3$。留数会随变量变换改变；乘上 $ds/d\theta=i\sqrt3$ 才得到能量平方变量里的 $-6$。把两个留数当同一个数字，会让耦合归一化错掉。

$$
\operatorname*{Res}_{\theta=i\alpha}C_\alpha=2i\tan\alpha,\qquad\operatorname*{Res}_{s=3}S=\left(2i\sqrt3\right)\left(i\sqrt3\right)=-6
$$

变量变换使用极点处的导数；这里以外粒子质量为单位，所有质量比均无量纲。

$$
S(s)\simeq-\frac{g_1^2}{2m_1\sqrt{4-m_1^2}}\frac{1}{s-m_1^2}\quad\Longrightarrow\quad g_1^2=12\sqrt3\qquad(m_1=\sqrt3)
$$

这个无量纲耦合严格采用原文式 (3) 的定义。若改用连接 T 振幅或别的态归一化，必须重新换算。

来源：M. F. Paulos

## 必要条件还留下哪些问题

固定一个弹性元素的交叉、解析域和模长，能排除许多候选函数。要把每个留下的函数解释成完整量子场论，还需其他散射通道、阈值、留数符号及更高过程相容。末章会亲手缩小一个有限参数家族，并明确分清解析结论、数值抽样与理论存在性。

这个单 CDD 参考对应原论文讨论的 sine-Gordon 轻 breather 散射。这里复算它的解析函数与指定参数曲线，完整粒子谱的确定还需要更多过程与信息。

来源：M. F. Paulos

## 把推理带进实验

### [沿实边界追踪同一个解析函数](https://sandboxphysics.com/zh/labs/s-matrix-bootstrap/)

1. 选择精确 CDD 参考，预测实快度轨迹的模长。沿曲线观察它在复平面如何移动。
2. 对照本章物理带示意图中的交叉极点。用质量公式算出极点处的质量平方三和一；实验里的探查位置滑条沿实快度边界移动。
3. 改变有限 ansatz 的系数，观察它如何离开参考轨迹；说明哪一个必要条件先被破坏。

## 练习与解释性答案

1. 若 $\alpha=\pi/2$，两个极点位置怎样变？还能直接套用简单极点留数公式吗？

   展开解释

   两个位置都到 $i\pi/2$，对应 $s=2m^2$。分母的一阶导数为零，原来的简单极点展开失效；必须重新展开函数。固定单简单极点谱的界不能不加分析地延伸到这个退化点。

2. 只在有限个实快度点看到模长不超过一，能否认定整个物理带中没有额外极点？

   展开解释

   不能。边界上的有限采样只给出那些点的模长；内部极点需要解析分析或能够控制整个域的其他论证。下一章的有限家族会把这种差别具体画出来。

[上一章：怎样用极点拼回一个树振幅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/on-shell-recursion/) [下一章：亲手缩小一族 S 矩阵，再复算一条已发表曲线](https://sandboxphysics.com/zh/stories/scattering-amplitudes/finite-bootstrap-benchmarks/)

## 来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

1. [M. F. Paulos, J. Penedones, J. Toledo, B. C. van Rees and P. Vieira, The S-matrix Bootstrap II: Two Dimensional Amplitudes, arXiv:1607.06110v2; JHEP 11 (2017) 143](https://arxiv.org/html/1607.06110v2)

   第 2 节式 (1)—(3) 固定交叉、弹性幺正性与耦合归一化。式 (9)、(13)—(14) 及图 5a、6 给出 sine-Gordon 参考、CDD 因子与物理带。这里复算外质量一、交换质量根号三时图 5a 的解析参考、极点残数和能量平方六处的复数值；不复现第 2.1 节及附录 A 的色散优化。三参数有理函数族是课程扩展。

2. [Patrick Dorey, Exact S-matrices, arXiv:hep-th/9810026v1 (1998)](https://arxiv.org/pdf/hep-th/9810026v1)

   第 3 节印刷页码 12—16 推导快度映射、物理带、实解析性、矩阵幺正性与交叉。第 4 节页码 16—21 连接纯虚快度与束缚态质量，并讨论 sine-Gordon 极点，包括把每个极点都认作新粒子的适用限制。课程取相同粒子的标量特例，有限有理 ansatz 另行定义。