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title: "从一条谱线，走到一个质量"
description: "推导多普勒速度、轨道半振幅与最小质量，逐步看清倾角和恒星质量在哪一步进入推断。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[恒星活动与径向速度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/rv-activity/)

AC18 · L2

# 从一条谱线，走到一个质量

Sandbox Physics · 2026-10-28

波长移动是观测量，行星质量是再走几步才到达的结论。把中间的路展开，那一点点速度就不再是一个神秘数字。

## 开始前需要什么

比例、正弦余弦和牛顿圆周运动。上一篇解释了表面为什么能在没有轨道运动时移动谱线。

## 先约定，哪一边为正

把视线坐标的正方向定为远离我们。在低速近似下，远离的光源让波长变长：用波长改变量除以静止波长，再乘光速，就得到一阶多普勒速度。新表面模型用米、秒和名义太阳及地球引力参数；原双星模式保留它已经说明的天文单位教学约定。

$$
v_r\simeq c\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}
$$

这是在明确观测参考系与静止波长之后的一阶关系。恒星对流、引力红移和仪器零点，也会贡献到报告的绝对速度中。

一条位于 600 纳米的线，遇到每秒 1 米的速度，只移动约 0.000002 纳米。精密光谱并不是盯着屏幕上的一个像素读位移，而是合并许多经过标定的谱线信息。Lab 的单条吸收槽采用刻意简化的局部线型，并没有模拟 HARPS 的完整数据处理。

对应阅读：Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1 · IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants

## 让伴星提供加速度

把相对轨道半长轴记为 $a$，恒星绕质心的半长轴记为 $a_\star$。牛顿引力与质心条件先给出下面两式；轨道角频率再把恒星轨道半径换成速度，视线投影贡献倾角的正弦。

$$
n^2a^3=G(M_\star+m),\qquad a_\star=\frac{m}{M_\star+m}a
$$

这里 $n=2\pi/P$；倾角为零表示正面看轨道。第一式的半长轴属于相对轨道，还没有乘上质量分数。

$$
K=\left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m\sin i}{(M_\star+m)^{2/3}\sqrt{1-e^2}}
$$

椭圆轨道的速度尺度还含偏心率因子。这个半振幅属于给定的开普勒轨道；活动造成的谱线重心变化不能直接代入。

取名义地球引力质量、名义太阳和一儒略年圆轨道，从侧面看，半振幅约为每秒 0.089 米。把倾角降到 30 度，振幅减半；在小伴星近似下，要得到原来同样的振幅，伴星质量就得约增为两倍。所以单谱线速度常给出的是最小质量。

对应阅读：IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants · Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1

## 近星点，究竟是谁的？

Lab 的角度指伴星的近星点。恒星绕共同质心的位置和速度与伴星相反，因此下式带负号。常见的正号版本指恒星自己的近星点，两者相差半周；约定用对了，描述的仍是同一条轨道。

$$
v_\star=-K\left[\cos(\nu+\omega_{\rm companion})+e\cos\omega_{\rm companion}\right]+\gamma
$$

真近点角沿伴星的相对轨道计算，常量项是速度参考零点。合成记录把这个参考设为零。

圆轨道没有独立可识别的近星点方向，相位可以写进正弦与余弦系数。真实数据教程因此采用两个相位自由的圆轨道分量，不靠一段短观测声称测出了偏心率。短周期是外部已知条件，也没有被当成一次全周期搜索的结果。

对应阅读：IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants · Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1

## 离质量还差哪些条件

还需要恒星质量和倾角。凌星可以在给定几何模型下限制倾角，天体测量在分辨出轨道幅度与方向时也能提供条件。这里的合成表面场景并没有这些实测约束。“正面看自转与轨道”预设正好展示退化：天空方向可以有明显运动，轨道径向速度却为零。

原双谱线双星模式提供另一个极限：两条速度振幅限制质量比，再加入可分辨轨道，或采用倾角和尺度，才能补足质量信息。它的条件拟合固定了已说明的轨道形状和时刻；振幅误差小，不等于所有轨道与标定误差都消失了。

对应阅读：Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1 · Suárez Mascareño et al. — GJ 1002, arXiv:2212.07332v2

## 练习与解释性答案

1. 小伴星圆轨道的周期加倍，恒星质量和侧视伴星质量不变，半振幅变为原来的多少？

   展开解释

   $2^{-1/3}\simeq0.794$。开普勒定律让轨道变大，但绕行时间变长的影响占了上风。这个比例采用牛顿轨道，并要求伴星远轻于恒星。

2. 实测重心速度为每秒 3 米，暗斑模型预测同号每秒 2 米。能直接相减，再给剩余速度对应的行星质量吗？

   展开解释

   只有在联合模型成立、两部分误差也一起处理时才有这样的含义。暗区对比度、纬度和对流位移未必已知，它们还会与轨道振幅相关。直接减去一条确定曲线，会把这些不确定性藏起来。

## 动手检验预测

### [把轨道藏到天空方向](https://sandboxphysics.com/zh/labs/binary-star-mass/)

1. 选择安静恒星，在高级设置里降低轨道倾角，保持伴星质量不变。
2. 比较径向速度参考与下方没有放大数值的角位置轨迹。
3. 回到倾斜轨道，再改周期。先预测振幅如何变化，再看曲线。

[上一篇：恒星自己，也能晃出一条“行星信号”](https://sandboxphysics.com/zh/stories/rv-activity/a-star-can-fake-a-wobble/) [下一篇：沿着星斑少掉的光，算到速度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/rv-activity/a-spots-missing-light/)

## 来源与计算范围

1. [Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1](https://arxiv.org/pdf/1409.3594v1)

   2014年9月11日版本。第2.1—2.3节、式1—7及图1：表面线型积分、光量对比与对流蓝移。这里相同的局部高斯线是更简单的独立机制模型。

2. [Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1](https://arxiv.org/pdf/1407.1044v1)

   2014年7月3日版本。第2—3及4.2节、式1—12、附表A1。保留2012年HARPS全部71行数值，教程没有复现完整同期测光分析。

3. [Suárez Mascareño et al. — GJ 1002, arXiv:2212.07332v2](https://arxiv.org/pdf/2212.07332v2)

   arXiv于2023年1月25日提交的版本，稿件页眉为1月26日。第2.1—2.2、4.1—4.4节，表2、表B.1和图9—10。重点读仪器状态与最小质量，没有转载原图。

4. [IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants](https://www.iau.org/common/Uploaded%20files/IAUGA2015-Resolution-B3-recommended-nominal-conversion.pdf)

   正式通过的表：名义太阳、地球引力参数和名义太阳半径是精确换算常数，不是没有测量误差的真实太阳与地球。