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title: "从各自收到的信号看双生子之旅"
description: "双生子每过一次生日就发一束光。数一数各自收到多少，谁更年轻便一清二楚，无需争论谁的参考系对。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[相对论测量 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/)

L2 · 第 5 章

# 从各自收到的信号看双生子之旅

双生子 B 以 0.8 倍光速飞出去再飞回来，A 留在家里。重逢时 A 老了 10 岁，B 只老了 6 岁。两人不必借助任何关于“同时”的理论，就能亲自查明：每过一次生日就发一束光，再数自己收到几束。两边的计数不一样，而不一样的方式正好标出了掉头的是 B。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/)

开始前

第 4 章：两段式往返的固有时。第 1 章：时空图上的光信号。

## 这趟旅行和两只钟

B 在 $t=0$ 以 $v=0.8$ 从 A 身旁经过，按自己的钟滑行 3 年，瞬间掉头，再滑行 3 年回来。$\gamma=5/3$，每段占 A 的 5 年，B 在 $t=5,\ x=4$ 掉头。

按第 4 章的固有时，重逢时 A 老了 10 岁，B 老了 6 岁。这条规则在会回到原处的钟上检验过：第 4 章储存环里绕圈飞行的 μ 子，寿命按预言的倍数变长，误差约千分之二。所谓佯谬只是表面现象。在每一段路上，从 B 的惯性系看，A 的钟也走得慢，正如从 A 看 B 的钟走得慢。那到底谁更年轻？数信号就能直接回答。

## 运动的信号源，信号多久到一次

信号源以速度 $v$ 远离，按自己的钟每年发一次信号。在接收者的参考系里，相邻两次发射相隔 $\gamma$ 年，而且每次都比上次远 $v\gamma$ 光年，于是到达间隔是下式的 $k$ 倍。信号源靠近时，间隔变为 $1/k$。

在 $v=0.8$ 时这个因子是 3：远离的一方，信号 3 年才到一次；靠近的一方，一年到三次。两人用同一个因子，因为它只取决于相对速度。

$$
k=\gamma(1+v)=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\sqrt{\frac{1.8}{0.2}}=3
$$

完整例题

## 数一数生日信号

记 $N_{\mathrm B}$ 为 B 收到 A 的信号次数，$N_{\mathrm A}$ 为 A 收到 B 的信号次数。B 这边：去程在远离，3 年里 A 的信号 3 年到一次，收到 1 次；回程在靠近，3 年里又收到 9 次。B 共收到 10 次，A 的 10 个生日一个不少。

A 这边：B 掉头时发出的光在 $t=5$ 离开 $x=4$，在 $t=9$ 才到 A。前 9 年里，A 以 3 年一次的节奏收到去程信号，共 3 次；最后 1 年收到回程的 3 次。A 共收到 6 次，B 的每个生日都对上了。

两人对每个计数都没有分歧。不对称在于各自何时看到“由慢变快”：B 在掉头那一刻就看到，正好是自己旅程的一半；A 要等到第 9 年，因为掉头的消息走了 4 年才到。改变方向的是 B，信号把这一点记录了下来。

$$
N_{\mathrm B}=3\times\tfrac13+3\times3=10,\qquad N_{\mathrm A}=9\times\tfrac13+1\times3=6
$$

## “瞬时静止系”的捷径会跳变

常见的捷径是问：在 B 当下的静止系里，A 的钟“此刻”读多少？去程中 B 的同时线满足 $t-vx=\text{const}$，与掉头事件配对的家中时刻是 $5-0.8\times4=1.8$ 年；刚掉头后同时线满足 $t+vx=\text{const}$，得到 $5+0.8\times4=8.2$ 年。

照这样记账，A 的 6.4 年在 B 的钟上一瞬间就过去了。可 B 观测到的东西没有任何跳变，从 A 来的信号只是由慢变快。跳变来自从一个惯性系换到另一个惯性系。Dolby 和 Gull 还指出，教科书里的这类图会让一些远处事件同时得到好几个时间。第 6 章改用雷达时间，每个事件只得到一个时间，而且随 B 的钟连续变化。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 先预测：去程和回程，B 各收到 A 的几次年度信号？
2. 在双生子实验中先选“瞬间掉头：10 年对 6 年”，再选“缓慢掉头”，比较右图中两人收到闪光的台阶线。
3. 用各自看到“由慢变快”的时刻，解释两人收到的总数为什么不同。

[数一数双生子各自收到的信号](https://sandboxphysics.com/zh/labs/twin-radar-time/)

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

## 试着自己解释

### 1. 把速度换成 $v=0.6$，B 每段自己记 4 年，重新数一遍。

展开答案与解释

此时 $k=2$。B 去程收到 2 次、回程 8 次，共 10 次。B 在 $t=5,\ x=3$ 掉头，A 在 $t=8$ 看到：前 8 年慢收 4 次，最后 2 年快收 4 次，共 8 次。A 老 10 岁，B 老 8 岁。

### 2. B 为什么不能说出门的是 A？

展开答案与解释

B 收到信号的节奏在旅程一半时就变了，A 那边要到等待快结束时才变；两边的计数都认可这一点。B 掉头时还会感到加速，A 什么也感觉不到。

### 3. 第一题那趟旅行，瞬时静止系的跳变有多大？

展开答案与解释

掉头在 $t=5,\ x=3$，配对的家中时刻从 $5-0.6\times3=3.2$ 年跳到 $5+0.6\times3=6.8$ 年。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Dolby & Gull, On Radar Time and the Twin “Paradox”, arXiv:gr-qc/0104077v2 (2002); American Journal of Physics 69, 1257 (2001)](https://arxiv.org/abs/gr-qc/0104077v2)

   已读全文（九页，图 1 至图 10）。课程复算了瞬间掉头的雷达时间公式、缓慢掉头各区域的显式公式和匀加速情形；四个角区域的隐式公式和图 8、图 9 的坐标变换没有复算。

2. [Bailey et al., Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit, Nature 268, 301 (1977)](https://doi.org/10.1038/268301a0)

   只读了摘要：储存环中的洛伦兹因子 29.33，正 μ 子寿命 64.419(58) 微秒。全文没有读，课程只比较这两个引用值。

[上一章 固有时就是运动的钟自己记下的时间](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/proper-time/) [下一章 给加速的观察者用雷达时间](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/radar-time-accelerated-observer/)