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title: "给加速的观察者用雷达时间"
description: "加速的旅行者照样能用光回声给远处事件定时。雷达时间消除了掉头时的跳变，也让火箭身后出现视界。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[相对论测量 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/)

L3 · 第 6 章

# 给加速的观察者用雷达时间

第 2 章的光回声规则从没问过观察者是否匀速。任何观察者都能发出光脉冲、接住回声，再把自己钟上的两个读数取平均。2001 年，Dolby 和 Gull 把它用到出行的双生子身上：家中时间的分配不再跳变；而一艘永不停止加速的火箭，会有一片家中事件永远无法定时。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

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开始前

第 2 章和第 5 章：惯性观察者的雷达时间与双生子之旅。双曲函数只出现一次，正文会说明它的作用。

## 雷达时间只要一只钟

观察者带着一只钟沿任意世界线运动，钟读 $\tau$。对一个事件，取 $\tau^-$：光最晚在钟读这个数时离开观察者，还能赶到该事件；再取 $\tau^+$：该事件发出的光最早在钟读这个数时到达。Dolby 和 Gull 用这两个数定义雷达时间和雷达距离。

定义里没有坐标，也没有静止系，所以结果与图怎么画无关。每个事件只有一个最早到达、一个最晚出发，雷达时间因此是单值的。对惯性观察者，它就是第 2 章爱因斯坦的同步规则。

$$
\tau=\tfrac12\left(\tau^++\tau^-\right),\qquad \rho=\tfrac12\left(\tau^+-\tau^-\right)
$$

完整例题

## 从掉头的双生子看家中第 5 年

沿用第 5 章的旅行：速度 0.8，B 在 $t=5,\ x=4$ 掉头，那时 B 的钟读 3。在 $t_0=5$ 到达家中的光，是 B 去程中 $t=25/9$ 时发出的，B 那时读 $\tau^-=5/3$；家中 $t_0=5$ 发出的光，在回程 $t=65/9$ 追上 B，B 读 $\tau^+=13/3$。

于是 B 把 A 的第 5 个生日定在 3 年，正是自己掉头的时刻，雷达距离 4/3 光年。瞬时静止系的捷径在这一刻从 1.8 跳到 8.2 年；雷达时间则把 $t_0=1$ 到 $t_0=9$ 的家中事件均匀铺在 B 的钟上，跨过掉头时刻，家中每过 1 年，B 的钟走三分之一年。

$$
\tau=\tfrac12\!\left(\tfrac53+\tfrac{13}3\right)=3\,\mathrm{yr},\qquad \rho=\tfrac12\!\left(\tfrac{13}3-\tfrac53\right)=\tfrac43\,\mathrm{ly},\qquad \tau(t_0)=3+\tfrac{t_0-5}{3}\ \ (1\le t_0\le 9)
$$

## 缓慢掉头，对远处几乎没有影响

真实的火箭以有限加速度掉头。Dolby 和 Gull 让双生子在掉头前后各匀加速一小段固有时，再重算雷达面。在掉头点左右两侧远处，也就是去程发出、回程收到回声的区域，雷达面完全不变；在未来和过去两个区域，只因掉头多花了一点时间而略微改了标号。

这和瞬时静止系的图景正好相反：那里短暂的加速会让同时线大幅扫动，远处事件忽前忽后。用雷达时间，短暂的掉头只带来短暂的影响。

## 永不停止加速，家就被挡在视界后面

让 B 从家中静止出发，永远保持恒定固有加速度 $a$。它的路径弯向光线 $x=t-1/a$，却永远够不着。家中 $t_e$ 发出的光沿 $x=t-t_e$ 走，只有 $t_e<1/a$ 才追得上 B。

家中 $t=1/a$ 及之后的事件发出的信号永远到不了 B，没有 $\tau^+$，也就没有雷达时间：它们在 B 的视界之外。取 $a=0.5\,\mathrm{ly/yr^2}$，2 年后家就被视界切断。一个标准重力加速度约为 $1.03\,\mathrm{ly/yr^2}$，所以按 1 g 一直加速的火箭，出发约 0.97 年后就再也收不到家里的消息。

Dolby 和 Gull 把匀加速观察者的转折点放在零时刻的 $x=1/a$。在这种放法下雷达时间如下式，雷达坐标只覆盖楔形区域 $x>|t|$。换到我们的放法，把 $x$ 平移 $1/a$ 即可。

$$
\begin{gathered}x_B(t)=\frac{\sqrt{1+a^2t^2}-1}{a},\qquad t_e<\frac1a\\ \tau=\frac1{2a}\ln\frac{x+t}{x-t}\end{gathered}
$$

## 经典雷达到此为止

上面的视界纯粹是光线的几何，与粒子无关。一个在真空中加速的探测器会不会探测到东西，是量子场论的问题，叫 Unruh 效应。Crispino、Higuchi 和 Matsas 的综述（我们只读了摘要）说，这个效应让人认识到，场论中的粒子内容取决于观察者。要得出这个结论，靠的是这条路线接下来的场论。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 先预测：掉头变得缓慢后，雷达时间给出的家中时间分配还会不会跳变？
2. 在双生子实验中比较“瞬间掉头：10 年对 6 年”和“缓慢掉头”。再选“一直加速，家被视界挡住”，沿 A 的世界线把圆形的家中事件往上拖，越过“光还能追上 B 的最晚家中时刻”。
3. 用落在 B 的渐近线上或其后方的家中光线，解释家中事件越过这个时刻后，“B 收到它的光时”为什么变成无穷大。

[数一数双生子各自收到的信号](https://sandboxphysics.com/zh/labs/twin-radar-time/)

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

## 试着自己解释

### 1. 瞬间掉头的旅行中，B 给 A 的第 8 个生日 $t_0=8$ 定什么雷达时间？

展开答案与解释

它在 $1\le t_0\le 9$ 范围内，所以 $\tau=3+(8-5)/3=4$ 年。直接算：B 在 $\tau^-=8/3$ 发出光，回声在 $\tau^+=16/3$ 返回。

### 2. 火箭以 $a=1\,\mathrm{ly/yr^2}$ 从家中出发、永远加速。家中多少年以后的信号再也追不上它？

展开答案与解释

家中 $t=1/a=1\,\mathrm{yr}$ 之后。再晚发出的光与火箭的渐近线平行，永远追不上。

### 3. 为什么雷达时间不会给同一个事件两个时间？

展开答案与解释

一个事件在观察者的钟上只有一个最早接收时刻和一个最晚发出时刻，平均值只有一个。同时线重叠，是把不同静止系拼在一起造成的，雷达定义从不这样拼。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Dolby & Gull, On Radar Time and the Twin “Paradox”, arXiv:gr-qc/0104077v2 (2002); American Journal of Physics 69, 1257 (2001)](https://arxiv.org/abs/gr-qc/0104077v2)

   已读全文（九页，图 1 至图 10）。课程复算了瞬间掉头的雷达时间公式、缓慢掉头各区域的显式公式和匀加速情形；四个角区域的隐式公式和图 8、图 9 的坐标变换没有复算。

2. [David Tong, Quantum Field Theory, University of Cambridge Part III lecture notes](https://davidtong.org/teaching/quantum-field-theory/)

   核对了课程页和章节目录：第 1 章讲洛伦兹不变性，第 2 章讲因果性与相对论归一化。它是本课之后的下一步，不是课程计算的来源。

3. [Crispino, Higuchi & Matsas, The Unruh effect and its applications, arXiv:0710.5373; Reviews of Modern Physics 80, 787 (2008)](https://arxiv.org/abs/0710.5373)

   只读了摘要。这篇综述讨论加速观察者的量子响应；本课的经典视界计算推不出这个效应。

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