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title: "固有时就是运动的钟自己记下的时间"
description: "钟测的是自己世界线的长度。算一次两段式往返，再用储存环中 μ 子的寿命检验预言。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[相对论测量 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/)

L2 · 第 4 章

# 固有时就是运动的钟自己记下的时间

钟读出的，是它沿自己在时空中的路径累积起来的时间，叫固有时；坐标时间则是某个参考系给事件定的标签。在同样两个事件之间，出过门的钟比待在原地的钟记得少。这个读数所有观察者都认可，储存环里绕圈的 μ 子也证实了它。

Sandbox Physics · 2026-10-29

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/)

开始前

第 3 章：洛伦兹变换和间隔平方的不变性。

## 钟读出的是沿路径的间隔

一只钟匀速从一个事件走到另一个事件。在它自己的静止系里它没动，$\Delta x'=0$，它显示的时间就是 $\Delta\tau=\Delta t'$。第 3 章说过间隔平方在每个参考系都相同，所以在 A 的参考系里，钟的读数等于两事件间隔的平方根。

代入 $\Delta x=v\,\Delta t$，得 $\Delta\tau=\Delta t\sqrt{1-v^2}=\Delta t/\gamma$。以 0.6 倍光速运动的钟，A 的坐标时间每过 1 年，它只记 0.8 年。路径由几段直线组成，就把各段加起来。

$$
\Delta\tau=\sqrt{(\Delta t)^2-(\Delta x)^2}=\frac{\Delta t}{\gamma},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}
$$

完整例题

## 以 0.6 倍光速往返一趟

钟 B 在 $t=0$ 离开 A，以 $v=0.6$ 向外飞 A 的 5 年，掉头，再以同样速度飞回 5 年。每一段 $\gamma=1.25$，B 每段记 4 年。

重逢时 A 的钟读 10 年，B 的钟读 8 年。在 A 的坐标里，B 每两下滴答相隔 1.25 年。前两章那一下读 4 年的滴答因此发生在 $t=5$，正是 B 掉头那一刻。最后两只钟在同一地点，这 2 年之差既不含光的延迟，也不涉及怎么约定同时。

$$
\tau_B=2\times5\,\mathrm{yr}\times\sqrt{1-0.6^2}=8\,\mathrm{yr},\qquad t_A=10\,\mathrm{yr}
$$

## 直线路径记的时间最长

固定两个同地点、相隔 10 年的事件。原地不动的钟记 10 年。离开再回来的钟总有几段 $\Delta x\neq0$，每一段都让平方根变小。和平面几何相反，在时空里，类时分隔的两个事件之间，直线是钟记时最长的路径。

这个读数是给定事件上的滴答计数，每个观察者都认可。在实验里移动绘图参考系，某下滴答的坐标时间会变，B 在那里显示的读数始终如一。

## 绕圈的 μ 子照样按预言衰变

μ 子是不稳定粒子，静止时平均寿命 $\tau_0=2.1969811\,\mu\mathrm{s}$（PDG 2024）。1977 年 Bailey 等人在 CERN 储存环中测量时，μ 子绕圈的 $\gamma=29.33$。我们只读了论文摘要，它报告正 μ 子在实验室中的寿命为 $64.419(58)\,\mu\mathrm{s}$。

固有时给出的预言是 $\gamma\tau_0=64.437\,\mu\mathrm{s}$，与测量值相差 0.018 微秒，约为所给不确定度的三分之一。μ 子沿圆周运动，一直在加速，寿命却只通过 $\gamma$ 依赖速度。摘要称，在 95% 置信水平下，测得的时间膨胀与预期相符到约千分之二。

$$
\gamma\tau_0=29.33\times2.1969811\,\mu\mathrm{s}=64.437\,\mu\mathrm{s},\qquad\tau_{\mathrm{lab}}=64.419\pm0.058\,\mu\mathrm{s}
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 两段都以 0.8 倍光速、各飞 A 的 5 年，先预测 B 最后读多少。
2. 在光信号实验中把“第一段速度”设为 $0.8$、“第二段速度”设为 $-0.8$，再展开“更多读数与保存的记录”。
3. 解释：速度越大，B 世界线上的橙色刻度为什么拉得越开，而 A 的刻度始终一年一格？

[用三种办法给同一下滴答计时](https://sandboxphysics.com/zh/labs/light-signal-clocks/) [数一数双生子各自收到的信号](https://sandboxphysics.com/zh/labs/twin-radar-time/)

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

## 试着自己解释

### 1. B 以 $v=0.8$ 飞行，每段自己记 3 年。A 要等多久？

展开答案与解释

每段是 A 的 $3\times\tfrac53=5$ 年，A 共等 10 年，B 记 6 年。

### 2. 一束 μ 子 $\gamma=10$，实验室里的平均寿命预计多长？

展开答案与解释

约 $22.0\,\mu\mathrm{s}$，是静止平均寿命 2.197 微秒的十倍。

### 3. 从 $(t,x)=(0,0)$ 到 $(10,0)$，哪条世界线记的固有时最多？

展开答案与解释

原地不动，记 10 年。任何绕路都让某些段带上空间间隔，平方根随之变小。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Particle Data Group, 2024 particle listings: proton, neutral pion, charged kaon and muon](https://pdg.lbl.gov/2024/listings/rpp2024-list-p.pdf)

   课程使用的质量：质子 938.27208816 MeV，中性 π 介子 134.9768 MeV，带电 K 介子 493.677 MeV；μ 子平均寿命 2.1969811 微秒。后三项取自对应的 2024 年列表文件。

2. [Bailey et al., Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit, Nature 268, 301 (1977)](https://doi.org/10.1038/268301a0)

   只读了摘要：储存环中的洛伦兹因子 29.33，正 μ 子寿命 64.419(58) 微秒。全文没有读，课程只比较这两个引用值。

[上一章 运动的观察者为什么对“同时”看法不同](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/relativity-of-simultaneity/) [下一章 从各自收到的信号看双生子之旅](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativity-measurement/twins-and-signals/)