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title: "从发光时刻拼出一张照片"
description: "先定义源时刻、到达时刻和天空投影，再推导两侧视速度，算清同一张照片里的不同年龄。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/emission-and-arrival-times/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/relativistic-jets/emission-and-arrival-times/"
last_modified: "2026-11-13"
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L2 · 推导与例题

# 从发光时刻拼出一张照片

Sandbox Physics · 2026-11-13

一张照片收集同时到达的光。朝向我们的亮结可以更晚发光，仍与远侧较早发出的光一同到达。先分别求出两个发光时刻，再投影位置，才能让照片中的位置与视速度来自同一套几何。

上一章跟着两束光走过一遍。现在用匀速运动和三角函数把它算清楚。设两团紧致亮结同时从原点出发，沿相反方向等速运动；时空平直，观测者足够远。例子暂不加入宇宙学膨胀。

## 先分清三只钟

把喷流轴放在源参考系的 $z$ 轴上，正方向指向靠近我们的一侧。观测者位于 $x$ 与 $z$ 张成的平面内。从源指向观测者的单位矢量记为 $\mathbf n$，它与正向喷流轴的夹角为 $\theta$。真实速度为 $\beta c$，其中 $c$ 是光速。用 $s=+1$ 表示朝向侧，$s=-1$ 表示远离侧。

源附近的钟记时为 $t$。跟着亮结一起飞的钟，记录固有时间 $\tau$。两者相差一个洛伦兹因子：

$$
\begin{aligned}
\Gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\\
\tau&=\frac{t}{\Gamma}.
\end{aligned}
$$

望远镜也有自己的钟。光从原点赶到望远镜需要一个很大的固定时长；先把这段共同的时长减去，余下的到达时刻记为 $T$。换一个时间零点，只去掉常数，没有去掉亮结靠近或远离时的光程变化。这三种时间的单位相同，所指却不同。

## 光少走的路要从时间里扣掉

源时刻为 $t$ 时，亮结的位置是 $\mathbf r_s=s\beta ct\,\hat{\mathbf z}$。它向观测者靠近了多少，要取位置沿视线的分量，也就是点积 $\mathbf n\cdot\mathbf r_s$。这段距离除以光速，就是光省下的赶路时间：

$$
T=t-\frac{\mathbf n\cdot\mathbf r_s}{c}
 =t(1-s\beta\cos\theta).
$$

这里用了远处观测者近似：从源的不同位置看过去，视线几乎平行。若观测者离得很近，就要逐个计算发光点到观测者的实际距离。

现在指定一张照片的到达时刻，先把公式倒过来：

$$
t_s(T)=\frac{T}{1-s\beta\cos\theta}.
$$

同一个到达时刻，给出两侧不同的发射时刻。若一开始就把两侧都画在同一个源时刻，得到的会是源参考系里的同时示意图。

![同一到达时刻的两侧发射时刻不同，朝向侧发光时更老。](https://sandboxphysics.com/stories/relativistic-jets/figures/equal-arrival.zh.desktop.svg)

同一到达时刻下的解析例子。朝向侧发光时，源附近已经过去更久；远侧则还较年轻。图中分别列出共同的到达时刻、两侧发射时刻与天空投影距离。

## 把位置投到天空平面

天空平面垂直于视线。选第一条天空轴 $\mathbf e_1$ 指向朝向侧喷流的投影，第二条轴为 $\mathbf e_2$。与前面的坐标配套，可以写成

$$
\begin{aligned}
\mathbf n&=(\sin\theta,0,\cos\theta),\\
\mathbf e_1&=(-\cos\theta,0,\sin\theta),\\
\mathbf e_2&=(0,-1,0).
\end{aligned}
$$

三条轴长度都为一，彼此垂直，且 $\mathbf e_1\times\mathbf e_2=\mathbf n$。天空第一坐标取正，表示朝向侧。这个直线模型里，两侧亮结的第二天空坐标始终为零。把各自发射事件投到第一条轴上，得到

$$
x_{\perp,s}(T)=\frac{s\beta cT\sin\theta}{1-s\beta\cos\theta}.
$$

在“位置随到达时间变化”的图上，斜率就是带方向的视速度。用光速作单位，两侧分别为

$$
\begin{aligned}
b_+&=\frac{\beta\sin\theta}{1-\beta\cos\theta},\\
b_-&=-\frac{\beta\sin\theta}{1+\beta\cos\theta}.
\end{aligned}
$$

负号记录远侧在图中朝哪个方向走。若只比较速度大小，可另记 $a=b_+$、$r=-b_-$，两者都取正。

## 算一张同时收到光的图像

取 $\beta=0.95$、$\theta=20^\circ$，到达时刻为 $T=2T_0$。这里 $T_0=L_0/c$，$L_0$ 是任选的参考长度。朝向侧与远侧公式分母约为 $0.1073$ 和 $1.893$；对应发射时刻约为 $18.6T_0$ 和 $1.06T_0$。天空坐标分别约为 $6.06L_0$ 与 $-0.343L_0$。

两侧洛伦兹因子相同，约为 $3.20$。在各自发光的事件上，随亮结飞行的钟分别走过约 $5.82T_0$ 与 $0.330T_0$。照片里的年龄差，来自光还要走的路不同。

也可以从单位上检查计算。视速度乘共同的到达时间，给出天空位移；真实速度乘各自的发射时间，给出源参考系位置，再作投影。例子里两侧视速度大小约为 $3.03c$ 和 $0.172c$，乘上两个时间单位，恰好对应上面的图像坐标。

## 哪个方向的视速度最大

固定真实速度，从正对喷流转向侧面，朝向侧视速度先升后降。对它的角度求导，结果为

$$
\frac{\mathrm d b_+}{\mathrm d\theta}
=\frac{\beta(\cos\theta-\beta)}{(1-\beta\cos\theta)^2}.
$$

导数表示角度改变一点点时，视速度怎样变化。它在 $\cos\theta=\beta$ 时为零，此处视速度达到 $\Gamma\beta$。反过来，测得视速度 $a$，便要求 $\Gamma\geq\sqrt{1+a^2}$。即使还不知道唯一视角，这个匀速亮结解释也能给出洛伦兹因子的下限。

## 练习

1. 把视角改为直角，两侧发射时刻和带符号视速度会怎样？
2. 保持默认参数，让到达时间加倍。哪些量加倍，哪些量不变？
3. 一段程序在非零到达时刻，把强烈朝向我们的喷流两侧画成同龄。它可能混用了哪只钟？

答案与理由

严格侧视时，亮结沿视线的位移为零。两侧发射时刻都等于到达时刻；带符号视速度等于真实速度占光速比例的正值与负值。

到达时间加倍，两侧发射时刻、固有年龄、天空位移都加倍。速度、角度没有变化，洛伦兹因子、多普勒因子、视速度斜率便保持不变。本模型还假定辐射区本身不随年龄变化，强度也不随时间改变。

程序很可能选了共同的源时刻，再画两个位置。要拼出望远镜照片，必须先对两侧分别解到达时间关系，再画各自的发光事件。

## 来源

- Urry与Padovani（1995），附录A的A1、A4、视速度最大值及图案速度与物质速度假设。[作者推导](https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Urry1/UrryP_appena.html)。
- 同文附录B的B1、B2区分发射源静止系间隔与观测者收到的间隔。[另一对时钟](https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Urry1/UrryP_appenb.html)。

## 动手检验预测

### [比较同一张图像里的年龄](https://sandboxphysics.com/zh/labs/relativistic-jets/)

1. 用默认参数，先判断同一到达时刻下，哪侧亮结在源附近的年龄较大。
2. 点击“暂停”和“保存当前观察”，在相同arrivalTime下读取两侧的emissionTime。
3. 把各自天空投影位置与发射时刻放在一起比较，解释同时收到光为什么不等于同时发光。

## 继续阅读

相对论喷流怎样进入我们的望远镜 · 阅读路径

### 相对论喷流怎样进入我们的望远镜

1. [文章 **喷流为什么能在照片上跑得比光快**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/seeing-superluminal-motion/)
2. [当前页面 **从发光时刻拼出一张照片**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/emission-and-arrival-times/)
3. [文章 **多普勒亮度与移动图案的速度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/doppler-brightness-and-moving-patterns/)
4. [文章 **先读偏振，再画磁场方向**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/stokes-and-projected-magnetic-fields/)
5. [文章 **拟合移动亮结时，视角的不确定性藏在哪里**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/fitting-moving-knots/)
6. [文章 **逐个参考系读一篇螺旋喷流偏振论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/relativistic-jets/reading-structured-jet-polarization/)