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title: "一片膨胀的气体需要多少光"
description: "电离区的体积由逃逸光子的供给与复合损耗共同决定；用固定共动体积数氢核，可以把膨胀放进同一个方程。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/photons-in-an-expanding-box/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/reionization/photons-in-an-expanding-box/"
last_modified: "2026-11-12"
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[星光怎样改变星系间的氢](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/)

# 一片膨胀的气体需要多少光

Sandbox Physics · 2026-11-12

维持电离既要照到尚未电离的氢，也要不断补偿复合。跟踪一批随宇宙膨胀的气体时，先固定氢核总数。再比较每秒增加和失去多少电离，就能算出电离体积怎样变化。

先修是[电离一半究竟是什么意思](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/ionized-volume-and-local-fraction/)，以及分数、指数函数和量纲。下面从短时间内的增减引出导数；不要求先学会数值解微分方程。目标是写出体积方程、解一个定系数例子，并用一组已保存的合成记录解释光子的去向。

## 每一秒增加多少，失去多少

采用均匀密度的两相近似，电离相近乎完全电离。总氢核数记为 $N_{\mathrm H}$，电离体积填充因子为 $Q$，于是当前电离氢核数为 $N_{\mathrm I}=QN_{\mathrm H}$。这些数都是粒子计数，$Q$ 没有单位。

光源每秒送入星系际气体的电离光子数记为 $S$，单位为 $\mathrm{s^{-1}}$。这里数的是已逃出星系的光，不是恒星原本产生的全部光。教学模型把相对的盒面接在一起，不另计盒子边界流失；逃逸率只针对星系内部。每个光子计一次初级氢电离，暂不计额外的二次电离或穿越时间。

电离相的气体温度取为给定值，Case-B 复合系数为 $\alpha_{\mathrm B}$。用给定的无量纲因子 $C$ 表示未分辨细节增加的共同复合代价。它没有给格子画出稠密团块。每个电离氢核的有效复合速率是 $\alpha_{\mathrm B}C\bar n_{\mathrm H}$，其中 $\bar n_{\mathrm H}$ 是此刻的物理数密度。

若很短的一段时间为 $\Delta t$，且其中各速率变化很小，电离份额的变化近似为

$$
\Delta Q\simeq\left(\frac{S}{N_{\mathrm H}}-\alpha_{\mathrm B}C\bar n_{\mathrm H}Q\right)\Delta t.
$$

把变化除以时间间隔，再把间隔取得越来越短，就得到变化率 $\mathrm dQ/\mathrm dt$。定义 $s=S/N_{\mathrm H}$ 和 $t_{\mathrm{rec}}=1/(\alpha_{\mathrm B}C\bar n_{\mathrm H})$，方程成为

$$
\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=s-\frac{Q}{t_{\mathrm{rec}}}.
$$

$s$ 是每颗氢核每秒能分到多少逃逸光子，$t_{\mathrm{rec}}$ 的单位是秒。两项都是每秒改变的份额。这里损耗正比于 $Q$，因为减少的是完全电离相；上一章同一团气体的局部 $x^2$ 方程在计算不同的对象。各处电离体积共用同一复合代价，因此源总量和历史固定以后，改变源的位置不会改变这个体积方程；真实稠密结构若改变了复合损耗，就需要把那份影响另外算进去。[Madau、Haardt 与 Rees，1999，§3.1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9809058v1)

## 一个能完整算完的例子

先保持密度、温度和 $C$ 不变，让光源以恒定速率供光，从 $Q=0$ 开始。取 $s\,t_{\mathrm{rec}}=0.8$：意思是每过一个复合时间，光源送入每颗氢核 0.8 个光子。令 $u=t/t_{\mathrm{rec}}$，方程是

$$
\frac{\mathrm dQ}{\mathrm du}=0.8-Q.
$$

最初几乎没有复合损耗，增长最快。随着电离相增加，要补偿的复合也越来越多。若把离平衡值的差写成 $0.8-Q$，这份差的下降速率正比于它自身，因此呈指数下降。满足初始条件的解是

$$
Q(u)=0.8(1-\mathrm e^{-u}).
$$

代入 $u=0$ 得零；对它求变化率，得到 $0.8\mathrm e^{-u}=0.8-Q$，也符合方程。过一个复合时间，

$$
Q(1)\simeq0.505696.
$$

已经送入每颗氢核 0.8 个光子，当前只保留约 0.506 份电离。其余约 0.294 对应期间的净复合。若把累计逃逸光子、净复合和足够维持完全电离后仍剩余的光分别记作 $N_\gamma$、$N_{\mathrm{rec}}$、$N_{\mathrm{spare}}$，从全中性开始有

$$
N_\gamma=N_{\mathrm I}+N_{\mathrm{rec}}+N_{\mathrm{spare}}.
$$

这个例子还没填满，最后一项是零。光源强到能填满盒子时，$Q$ 到达一；只要后续供光仍足以补偿复合，它就保持在一。继续供入、又未用于补偿复合的光进入剩余计数。后续的传播路径要由额外的辐射模型描述。

送入的逃逸光子

保留的电离

累计复合

恒密度例子经过一个复合时间后，供给为 $0.8$，保留电离约为 $0.506$，累计复合约为 $0.294$。这些数值都对应每颗氢核；条形长度使用保存的未舍入值。

## 膨胀改变复合时间

想跟踪同一批气体，方便的办法是取一个固定共动体积 $V_{\mathrm c}$。共动坐标把整体膨胀除去了；若尺度因子为 $a$，真实体积是 $V_{\mathrm p}=a^3V_{\mathrm c}$。数密度随之降低：

$$
\bar n_{\mathrm H}(a)=\bar n_{\mathrm H,0}a^{-3},\qquad
N_{\mathrm H}=\bar n_{\mathrm H}(a)V_{\mathrm p}
=\bar n_{\mathrm H,0}V_{\mathrm c}.
$$

氢核数没有因为稀释而减少，变化的是它们彼此相遇的频率。在固定温度和 $C$ 下，$t_{\mathrm{rec}}$ 随 $a^3$ 增大。把这一时间依赖代回体积方程即可；对填充因子另添一项“膨胀造成的氢损失”，会把同一次稀释算两遍。

数值求解还需要给定 $a$ 与时间的关系。一个具体选择是平直的物质加宇宙常数背景：

$$
H(a)=H_0\sqrt{\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+1-\Omega_{\mathrm m}},\qquad
\frac{\mathrm dt}{\mathrm da}=\frac{1}{aH(a)}.
$$

$H$ 是单位时间内尺度因子的相对增长率，$H_0$ 是 $a=1$ 时的值，$\Omega_{\mathrm m}$ 是物质项的无量纲权重；常数项来自宇宙常数。这里给定 $H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$、$\Omega_{\mathrm m}=0.315$，在红移七到十的教学区间忽略辐射项。这一步把膨胀历史作为额外输入。复合系数采用固定电离相温度 $10^4\,\mathrm K$ 下的 Hui–Gnedin Case-B 拟合，约为 $2.592\times10^{-19}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$。它不是中性氢的自旋温度。[Hui 与 Gnedin，附录 A](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9612232v1)

## 一组已经保存的合成数值

![同一默认合成记录的四列直接计数。时间从红移十开启源时算起；共同复合预算下，供光分给保留电离、累计复合和饱和后的剩余。](https://sandboxphysics.com/figures/reionization/photon-counters-zh-desktop.svg)

同一默认合成记录的四列直接计数。时间从红移十开启源时算起；共同复合预算下，供光分给保留电离、累计复合和饱和后的剩余。

取边长 $20$ 共动 Mpc 的均匀气体，给定今天对应的共动氢数密度 $0.190922\,\mathrm{m^{-3}}$，总氢核数约为 $4.48743\times10^{70}$。设教学光源恒定产生 $4.00\times10^{55}\,\mathrm{s^{-1}}$ 的电离光子，逃逸率 $0.2$，所以 $S=8.00\times10^{54}\,\mathrm{s^{-1}}$，并取 $C=3$。这些恒定源由教学算例指定。

从红移十的光源开启时刻起，过约 103 百万年，把保存的全局计数折成平均每一百颗氢核，得到：

**表 3.1** 每一百颗氢核对应的电离、复合与光子数量。

| 每一百颗氢核 | 数量 |
| --- | --- |
| 已送入的逃逸光子 | $57.9216$ |
| 累计净复合 | $12.1202$ |
| 当前保留的电离 | $45.8015$ |
| 剩余光子计数 | $0$ |

前三项满足 $57.9216\simeq45.8015+12.1202$，显示值分别舍入。当前电离体积约占 45.8%；约五分之一的入射光子数已经对应重复电离的消耗。时钟可以直接从同一记录的光子数复核：

$$
t=\frac{0.5792161\,(4.4874332\times10^{70})}{8.00\times10^{54}\,\mathrm{s^{-1}}}
\simeq3.249\times10^{15}\,\mathrm s\simeq103\,\mathrm{Myr}.
$$

这里 $1\,\mathrm{Myr}=10^6\times31557600\,\mathrm s$。从上述光源开启时刻算起，未经舍入的经过时间为 102.954 百万年；该时刻的尺度因子约为 0.103693，仍采用今天为一的归一化。数值摘录与输入来源保存在[配套数据](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/materials/teaching-values.json)。这个方程算出了多少体积能维持电离；把它安排到哪些空间位置，还需另一套空间分配方法。

## 试着改变条件

1. 在相同初始中性条件下，忽略复合且总共送入每颗氢核 0.6 个光子。求 $Q$。再说明为什么只知道这 0.6 个光子，就不足以确定有复合时的 $Q$。
2. 温度和 $C$ 固定，尺度因子变为原来的两倍。共动盒子中的氢核数、物理数密度和复合时间分别怎样变？能否据此直接说 $Q$ 也变成八倍？
3. 两组源的体积填充因子相同，是否说明逃逸率相同？指出还需要哪些信息。

第一题没有复合损耗，且尚未填满，所以 $Q=0.6$。加入复合以后，需要知道已经复合多少；同样的累计供光可以留下较少的当前电离。

第二题的氢核数不变，数密度降到八分之一，复合时间增为八倍。$Q$ 是过去供光和损耗累积的结果，仍要解随时间变化的方程，不能把瞬时复合时间的倍率直接当成体积倍率。

第三题还要知道光源原本产生多少电离光子、持续多久，以及复合代价和历史。更强的供光与更多复合可以同时出现，给出相同的 $Q$。即使这些条件都固定，同一个总体积仍可被安排成不同的空间图像；后面的泡合并与 21 厘米章节会接着研究这份空间信息。

## 来源

1. [Madau、Haardt 与 Rees，1999，§3.1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9809058v1)
2. [Hui 与 Gnedin，附录 A](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9612232v1)

## 继续阅读

星光怎样改变星系间的氢 · 阅读路径

### 从光子、电离体积到无线电信号

1. [文章 **星系的光怎样改变宇宙中的氢**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/starlight-and-hydrogen/)
2. [文章 **电离一半究竟是什么意思**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/ionized-volume-and-local-fraction/)
3. [当前页面 **一片膨胀的气体需要多少光**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/photons-in-an-expanding-box/)
4. [文章 **两个电离泡相遇以后，光去了哪里**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/when-ionized-bubbles-overlap/)
5. [文章 **从中性氢的信号读出电离泡**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/reading-a-neutral-hydrogen-map/)
6. [文章 **亲手复算一段电离历史**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/recompute-a-fixed-source-history/)
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