---
title: "同一只镜子为什么会有两种宽度"
description: "从一次高斯观测推导条件均值与协方差，再用全方差公式连接单条记录和无条件总体。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-optomechanics/conditional-state/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/quantum-optomechanics/conditional-state/"
last_modified: "2026-10-28"
---

[量子光力学](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-optomechanics/)

L3 · 第 6 章

# 同一只镜子为什么会有两种宽度

Sandbox Physics · 2026-10-28

看过记录的人，比没看过的人更能预测镜子下一步会在哪里。他给出的分布可以更窄；可每次实验读到的记录不同，窄分布的中心也会不同。条件态的宽度与所有实验混在一起的宽度，正是在回答这两个不同的问题。

## 开始前需要什么

第五章的归一化位置、动量、效率和观测记录。协方差表示两个量怎样一起偏离平均值；高斯分布由中心和协方差完全确定。

- [为什么照得更亮也会把镜子推得更乱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-optomechanics/imprecision-and-backaction/)

- 从一个有限精度读数推导高斯更新。
- 解释连续条件协方差中的扩散与信息项。
- 用全方差关系检验条件轨迹的总体。

## 先做一次有限精度的测量

设测量前对位置的预测是均值 $\mu$、方差 $V$ 的高斯分布。探测器给出 $y=q+\epsilon$，独立误差 $\epsilon$ 的方差为 $N$。贝叶斯规则把原先的预测乘以读数的似然，也就是“若位置在这里，出现这个读数有多大可能”。

把两个高斯指数相加并配平方，得到新的均值和方差。原先越不确定，就越相信读数；读数越模糊，就越保留原来的预测。这个权重来自两份精度，没用到模拟器另存的真值。

$$
V_{\rm new}=\left(V^{-1}+N^{-1}\right)^{-1},\qquad \mu_{\rm new}=\mu+\frac V{V+N}(y-\mu)
$$

这是单个实变量的高斯更新。量子位置测量同时增加共轭动量的不确定度，完整更新必须包含这份反作用。

## 让小更新连续发生

用向量 $\boldsymbol r=(q,p)^T$ 表示两分量，条件均值记为 $\boldsymbol\mu_c$。条件协方差 $V$ 用对称化算符乘积定义。向量 $e=(1,0)^T$ 选出位置。沿用第五章的 $A$、$D=D_{\rm th}+D_{\rm ba}$ 和 $R$。

一小段记录的平均值，其噪声方差为 $R/d\tau$。将刚才的更新展开到时间的一阶，再加自由运动和扩散，就得到下面的连续滤波。观测减预测的差叫新息；只有这份新信息会移动估计中心。

$$
d\boldsymbol\mu_c=A\boldsymbol\mu_c\,d\tau+\frac{Ve}{R}\left(dZ-e^T\boldsymbol\mu_c\,d\tau\right)
$$

新息由保存的观测记录计算。滤波器的输入没有模拟器的隐藏位置或动量。

$$
\dot V=AV+VA^T+D-\frac{Vee^TV}{R}
$$

前三项让不确定度转动、衰减和扩散；最后一项是观测带来的信息。含二次项的这种方程叫 Riccati 方程。

原文位置：Jacobs & Steck · Rossi et al.

## 窄分布的中心仍会在不同实验间游走

把许多不同记录各自得到的条件态混合，就恢复忽略记录时的无条件态。总的宽度有两部分：每个条件态自己有多宽，以及它们的中心散得有多开。只画第一部分，会把条件定位误认成整个机械总体已经冷却。

完整例题先去掉动力学：先验 $\mu=0$、$V=2$，读数误差方差 $N=1$。若读到 $y=1$，更新中心是 $2/3$，方差是 $2/3$。但重复实验的读数方差为三，更新中心的方差便是 $(2/3)^2\times3=4/3$。相加又得到原先的二。

$$
V_{\rm uncond}=\mathbb E[V_c]+\operatorname{Cov}(\boldsymbol\mu_c)
$$

这是全协方差公式。无反馈时，模拟条件轨迹的平均必须恢复同一无条件主方程的二阶矩。

$q$ $p$

全协方差示意。小椭圆各代表一条记录下的条件态；中心在记录之间分散。大轮廓表示混合后的分布。图形是解释用高斯分布，不是采集样本。

## 一条量子轨迹在这里表示什么

条件量子轨迹指 $\rho_c$ 随观测历史改变，不是镜子暗中沿着一条同时具有精确位置和动量的轨迹跑。高斯量子态的 Wigner 函数为正，可以用相空间样本生成等价的观测统计；这些样本是模拟工具。

判断协方差是否仍是合法量子态，还要检查 $\det V\geq1/4$。位置变窄时，共轭分量、相关性与探测损失都必须一起算。有限步长数值更新应保持这个条件，并在减小步长后收敛。

Rossi 等人的实验进一步用后面的记录反推前面的状态，再把前向预测与后向估计比较。预测是否可靠，需要这种独立于当前滤波输出的验证。条件态的验证依靠这种额外的统计比较。

原文位置：Rossi et al.

## 先预测，再改变、比较和解释

### [只凭记录追踪状态](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optomechanical-continuous-measurement/)

1. 先预测提高效率会让条件椭圆怎样变，再比较高效率与低效率预设。保持反馈关闭。
2. 保存同一条记录，重放滤波；检查估计只读取观测列，模拟相空间样本列另作诊断。
3. 比较条件宽度、中心的散布和无条件宽度。用全协方差公式解释为什么它们必须一起看。

## 练习与解释性答案

1. 在上面的例题中，如果读到的数是负一，后验方差和中心怎样变？

   展开解释

   方差仍为三分之二，因为线性高斯模型中的信息量取决于噪声精度。中心变为负三分之二，读数改变了中心移动的方向。

2. 关闭探测器的数据保存，但保持相同光照，条件定位与反作用各怎样变？

   展开解释

   可用信息消失，条件估计逐渐退回无条件的不确定度。光仍与振子相互作用，反作用扩散继续存在。

[上一章：为什么照得更亮也会把镜子推得更乱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-optomechanics/imprecision-and-backaction/) [下一章：让已经读到的信息变成冷却的力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-optomechanics/feedback-from-records/)

## 继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

1. [Jacobs & Steck, A straightforward introduction to continuous quantum measurement, arXiv:quant-ph/0611067v1 (2006)](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0611067v1)

   连续位置测量、随机主方程与高斯矩方程。课程的测量强度乘在位置测量的耗散算符前；采用双重对易子的来源可能相差二倍。这里直接定义观测记录与扩散，避免只按符号对照。

2. [Rossi et al., Observing and Verifying the Quantum Trajectory of a Mechanical Resonator, arXiv:1812.00928v1 (2018)](https://arxiv.org/html/1812.00928v1)

   公式 1–5、图 1–3：旋转坐标下的高斯条件化，以及用后向估计验证轨迹。课程推导实验室坐标下的双分量例题；合成记录与原实验分列，不声称复现其装置参数。