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title: "矩阵与波：走向同一组预言的两条路"
description: "原子理论不再给每个电子安排路径之后，究竟改变了什么？"
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last_modified: "2026-10-15"
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[量子物理：读懂证据](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/)

诺奖 A · 证据与操控

# 矩阵与波：走向同一组预言的两条路

Sandbox Physics · 2026-10-15

原子理论不再给每个电子安排路径之后，究竟改变了什么？

## 轨道图像的细节，多于证据能支持的

光谱仪测的是谱线的频率和强度。旧量子论把其中一部分频率归为定态能量之差，却保留了经典轨道，再用挑选出的量子化规则来筛选。在氢原子上成功，并没有让这套规则自动变成普遍的力学。

Heisenberg 1925 年的论文一开头就质疑两件事：理论用了不可观测的轨道量，旧规则的适用范围又太窄。他要解决的实际问题，是怎样用与跃迁相关的量来计算。这是一种新的理论语言，不是新拍到的电子轨迹。

证据阅读：W. Heisenberg (1925), On the Quantum Reinterpretation of Kinematical and Mechanical Relationships — English translation by Luca Doria (2014)

## 乘积需要经过中间状态

经典 Fourier 振幅按一条运动的各次谐波编号；跃迁振幅则用一对定态来标记。要构造乘积的对应物，就得对中间态求和；调换因子的顺序，结果可能不同。

Born 后来回忆，他认出 Heisenberg 的乘法规则就是矩阵乘法。他先与 Jordan，再与 Heisenberg 三人合作，发展出这套形式体系。下面的现代对易关系，表明它与经典变量的可交换性不同。截断的有限维矩阵，不能指望精确满足这条关系。

$$
[\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar\widehat{I}
$$

证据阅读：M. Born (1954), The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics — Nobel lecture, December 11 W. Heisenberg (1925), On the Quantum Reinterpretation of Kinematical and Mechanical Relationships — English translation by Luca Doria (2014)

## 波动方程把量子化变成边界问题

Schrödinger 从力学与光学的联系出发。在 1926 年第一篇论文里，氢原子成了本征值问题：可接受的函数在原点和远处都要满足条件。离散的束缚能量由这些条件得出，不用先画轨道再挑选。

下面是现代的定态方程。Hamilton 算符确定模型，它的定义域和边界条件也是问题的一部分。同一个方程还可以有连续的散射能谱，所以有了波动方程，并不意味着所有物理能量都是离散的。

$$
\widehat{H}\psi_n=E_n\psi_n
$$

证据阅读：E. Schrödinger (1926), Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Ann. Phys. 79, 361–376 — German scan

## 计算等价，不要求图像相同

维也纳的出版目录，把 Schrödinger 1926 年比较自己的理论与 Heisenberg–Born–Jordan 力学的论文，单独列在波动力学系列之外。在合适的完整能量基里，算符可以写成波函数之间的矩阵元。换一种表象，就是换一种工作语言。

两者要一致，Hamilton 算符、允许的状态、可观测量和近似都得对上。截断的小矩阵和未截断的微分方程，并不自动是同一个计算。数学上一致，也不强迫人们对波函数的物理意义看法一致。

证据阅读：University of Vienna, Erwin Schrödinger: Publications — 1926 wave-mechanics and equivalence papers M. Born (1954), The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics — Nobel lecture, December 11

## 谱线位置只是一项检验

Schrödinger 的英文论述把几件事分开讲：氢原子方程、特征频率、光强，以及相对论和磁场带来的困难。算对氢原子的粗略能级是重大成就，但跃迁强度和更多结构还有待回答。

公平的比较，是把测量量当作给定，看理论不必逐例另立规则能预言出什么。后来的精密光谱，探测到了简单非相对论 Hamilton 算符里没有的项。这类偏差指出了还缺哪些物理，并不让轨道概率图变成一张失败的照片。

证据阅读：E. Schrödinger (1926), An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Phys. Rev. 28, 1049 — author abstract

## 新的抽象带来了什么

氢原子 Lab 把选定的定态和光谱跃迁联系起来；波包 Lab 在另一个模型里探索制备和展宽。两者都不重建历史上的演算，渲染出来的曲面也不是对原子波的直接观测。

收获是一套一致的方法，能算出制备和观测结果之间的关系。可以和 Born、Pauli 两篇连起来读：表象、概率和多电子对称性解决的是相互关联的问题，但谁也不能悄悄替代谁。

证据阅读：E. Schrödinger (1926), An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Phys. Rev. 28, 1049 — author abstract University of Vienna, Erwin Schrödinger: Publications — 1926 wave-mechanics and equivalence papers

## 接着操作模型

下面这些教学 Lab 产生的是模拟数据，和上文讨论的历史观测不是一回事。

- [看氢原子的定态和光谱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hydrogen-orbitals-spectra/)
- [比较波包局域得多紧、又怎样展宽](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)

## 来源与阅读说明

资料包括：Luca Doria 英译的 Heisenberg 1925 年论文，Schrödinger 1926 年第一篇论文的德文扫描件及其英文作者摘要，维也纳的出版目录，以及 Born 的回顾讲稿。本文比较两种计算思路，不重新证明算符等价，也不复现 1926 年的全部光谱。

1. [M. Born (1954), The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics — Nobel lecture, December 11](https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/born-lecture.pdf)
2. [W. Heisenberg (1925), On the Quantum Reinterpretation of Kinematical and Mechanical Relationships — English translation by Luca Doria (2014)](https://quantasc.ir/files/hp4-paper%28eng%29.pdf)
3. [E. Schrödinger (1926), Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Ann. Phys. 79, 361–376 — German scan](https://gilles.montambaux.com/files/histoire-physique/Schrodinger-1926-1.pdf)
4. [E. Schrödinger (1926), An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, Phys. Rev. 28, 1049 — author abstract](https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.28.1049)
5. [University of Vienna, Erwin Schrödinger: Publications — 1926 wave-mechanics and equivalence papers](https://zbphysik.univie.ac.at/ausstellung/schroedinger/ebibliographie/publications.htm)

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