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title: "给膨胀中的物质找一个局域静止系"
description: "先分清碰撞几何、能量流和各个方向的压强，再讨论重离子物质的流体描述。"
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last_modified: "2026-10-27"
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[重离子物质与相对论流体](https://sandboxphysics.com/zh/stories/qgp-hydrodynamics/)

FR06 · L1 · 第 1 章，共 9 章

# 给膨胀中的物质找一个局域静止系

碰撞后的物质整体向外散开，每一小块仍然可以有自己的静止系：跟着它移动，看到的净能量流为零。此时沿束流方向和横向的压强还可能相差很大。抓住这两件事，我们就能描述一团尚未达到局域热平衡的物质。

读前准备先知道能量、动量，以及速度会随观察者改变。下面会解释矩阵记号，不要求学过流体力学。

Sandbox Physics · 2026-10-27

## 从碰撞的一个切片开始

让两束原子核迎面接近。沿束流看过去，两个核若没有完全对准，重叠区就像一颗杏仁。这个轮廓只给出了初始几何；它怎样加速物质、最后向哪里发射粒子，还要接上动力学。

约定沿束流是 $z$ 轴，垂直束流的平面用 $x,y$ 表示。两个核中心在横向错开的距离叫碰撞参数，记作 $b$。每次碰撞沉积的能量都略有不同，平均轮廓接近圆形时，单个事件仍可能有明显的椭圆形或三角形起伏。

我们先取一块横向均匀的小片，只研究纵向膨胀。这样可以单独看清物质怎样被拉稀。后面再把横向形状加回来，研究它与末态粒子方向之间的关系。

## 先去掉整块物质的运动

能动张量 $T^{\mu\nu}$ 可以看成一张表：时间—时间项记能量密度，时间—空间项记能量流，空间项记各方向的动量流。希腊指标包含一个时间方向和三个空间方向。本课程采用 $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ 的度规，后面的正负号都以此为准。

想象你坐上一辆跟着小片移动的车，不断调车速，直到看不到净空间能量流。这个观察系就是 Landau 局域静止系。把这张表与观察者的四速度相乘，会得到另一个四向量；如果结果仍与原向量平行，就叫本征向量，这里的比例系数是负的静止系能量密度。它的四速度 $u^\mu$ 满足 $u_\mu u^\mu=-1$；四速度把运动方向与相对论时钟合在一起表示。找车速这件事可以写成一个本征向量方程：

$$
T^{\mu\nu}u_\nu=-e\,u^\mu
$$

右边的本征值给出局域静止系中的能量密度。这个定义只要求去掉净能量流，还没有要求粒子达到热平衡。

移动中的箱子有整体动能，箱内粒子的杂乱运动也有能量。找局域静止系，就是先把这两部分分开。整场碰撞可以有一个总质心系，各个小片却未必在那个系中静止。

## 静止以后，压强仍可能分方向

在纵向对称的小片里，两个横向压强相同，记作 $P_T$，沿束流的压强记作 $P_L$。本组模型采用共形近似，也就是能动张量的迹为零。于是三个空间压强之和恰好等于能量密度。

$$
T^{\mu\nu}_{\mathrm{rest}}=\operatorname{diag}(e,P_T,P_T,P_L),\qquad 2P_T+P_L=e
$$

这是模型的状态假设。真实 QCD 物质，尤其在交叉过渡附近，需要更一般的状态方程。

用剪切量 $\phi$ 表示纵向压强减少了多少：$P_L=e/3-\phi$，$P_T=e/3+\phi/2$。这套符号下，剪切量为正时，纵向压强较小，横向压强较大。后面推演膨胀时，符号不再改变。

热平衡时，三个方向的压强相同。远离平衡时，我们仍可给能量密度配一个“能量匹配温度”：找一团平衡共形物质，让它有相同的能量密度，再取它的温度。这个数方便比较能量尺度；要完整刻画非平衡状态，还需要粒子在不同方向的动量分布。

完整例题

## 同一块物质为什么会有两个能量密度

设小片在自身静止系中的能量密度为 $e=12$，平衡压强为 $p=4$，二者使用相同单位。另一个观察者看到它以 $v=0.6$ 沿束流运动，这里把光速设为一。洛伦兹因子的平方是 $\gamma^2=1/(1-v^2)=1.5625$。

$$
T^{00}=\gamma^2(e+p)-p=21,\qquad T^{0z}=\gamma^2(e+p)v=15
$$

运动观察者测得更大的坐标体积能量密度，同时看到能量流。回到局域静止系后，能量密度仍是 12。

小片没有因为换了观察者就变热。增加的读数包含了整体运动；给物质赋温度之前，必须先处理这部分运动。

## 先预测，再操作模型

先预测：固定初始能量，增大初始剪切量，哪一个方向的压强会减小？

打开纵向膨胀实验台并暂停，选中时间柄按 Home 回到初始时刻，再调“MIS 初始剪切”，比较纵横向压强比和压强图形。

[纵向膨胀实验台 ↗](https://sandboxphysics.com/zh/labs/bjorken-expansion/)

对照解释

把两个横向压强和一个纵向压强加起来，始终得到同一能量密度。画面中的压强图形与读数描述的是同一个方向差异。

## 练习与解释性答案

1\. 一块共形物质有 $e=12$、$P_L=1$。求横向压强，并判断它在 Landau 静止系中是否已经各向同性。

查看思路

由迹为零，$P_T=(12-1)/2=5.5$。压强明显不相等，但净能量流仍可为零。静止系回答整块怎样运动，各向同性回答内部应力是否分方向。

2\. 为什么整场碰撞的总质心系，通常不能同时充当所有小片的静止系？

查看思路

不同位置的小片会以不同速度散开。总质心系只让整个体系的总动量为零；每一小片的局域能量流还要分别消去。

先消去局域净能量流，再比较不同方向的压强。这是描述非平衡物质的两个步骤。

## 来源与核读范围

1. [J. D. Bjorken, Highly relativistic nucleus–nucleus collisions: The central rapidity region (1983)](https://doi.org/10.1103/PhysRevD.27.140)

   原始纵向 boost 不变时空图景、固有时与时空快度。正文另行推导压强做功方程。

2. [Baier et al., Relativistic viscous hydrodynamics, conformal invariance, and holography, arXiv:0712.2451v3](https://arxiv.org/html/0712.2451v3)

   2008-07-15 第三版，§3.5 与 §6：Bjorken 化简、弛豫与因果性。实现模型将非线性的 lambda-one 系数设为零。

3. [Florkowski, Heller & Spaliński, New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era, arXiv:1707.02282v3](https://arxiv.org/html/1707.02282v3)

   2017-10-19 第三版，§5.1、§5.3、§6、§7.4；用于符号与动理学、流体近似范围。此项是综述，并非独立实验数据。

[沿着膨胀物质自己的时钟推演 →](https://sandboxphysics.com/zh/stories/qgp-hydrodynamics/bjorken-conservation/)