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title: "理想流体与从不碰撞的粒子怎样降温"
description: "从同一初始能量和压强出发，推导理想共形冷却与有限时刻的自由流极限。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/qgp-hydrodynamics/expansion-limits/"
last_modified: "2026-10-27"
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[重离子物质与相对论流体](https://sandboxphysics.com/zh/stories/qgp-hydrodynamics/)

FR06 · L2 · 第 3 章，共 9 章

# 理想流体与从不碰撞的粒子怎样降温

粒子之间的碰撞会在不同方向重新分配动量。若这种调整瞬间完成，纵向压强就持续做功；若粒子从不碰撞，纵向动量随膨胀变小，纵向压强也逐渐减弱。让两者从同一个各向同性初态出发，就能看清这项差别。

读前准备用到第 2 章的能量守恒和第 1 章的共形压强关系。这里的积分表示把初始各方向的粒子贡献加起来。

Sandbox Physics · 2026-10-27

## 先拿到一条可以手算的参考曲线

理想共形流体始终保持 $P_L=P_T=e/3$。把它代入能量守恒式，除以能量密度，再对对数导数积分，就得到密度随时间的幂律。温度由密度取四次方根得到。

$$
e(\tau)=e_0\left(\frac{\tau_0}{\tau}\right)^{4/3},\qquad T(\tau)=T_0\left(\frac{\tau_0}{\tau}\right)^{1/3}
$$

这些幂次在纵向 boost 不变、横向均匀、理想共形流中精确成立，可以独立检查数值积分。

零化学势下，平衡熵密度为 $s_{\rm eq}=(e+p)/T=4e/(3T)$，理想演化满足 $s_{\rm eq}\tau=\mathrm{constant}$。远离平衡后，这个代数式仍可作为平衡参考，却未必等于粒子分布真正的动理学熵。

## 自由流还记得粒子最初朝哪里走

接着考虑无质量、初始动量分布各向同性的粒子。记 $q=\tau_0/\tau$，初始动量与束流夹角的余弦为 $\mu$。后来纵向动量变成 $p_z=q p_{z,0}$，横向动量不变；动量空间体积元另外贡献一个 $q$。

$$
\frac{e(\tau)}{e_0}=\frac q2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-(1-q^2)\mu^2}\,d\mu
$$

把各方向粒子红移后的能量相加，就得到这个角积分。初态各向同性且粒子无质量时，径向动量积分在比值中约去。

$$
\frac{P_L(\tau)}{e_0}=\frac{q^3}{2}\int_{-1}^{1}\frac{\mu^2\,d\mu}{\sqrt{1-(1-q^2)\mu^2}},\qquad P_T=\frac{e-P_L}{2}
$$

压强要按各方向的动量流加权。回到初始时刻，积分给出相等的三个压强。

能量密度与时间成反比，是纵向压强已经很小时的渐近结果。若从有限时刻的各向同性初态立刻套用它，就等于悄悄把初态换成了零纵向压强。实验台的自由流曲线会保留声明过的初始压强分布。

## 两个极限之间，还缺一段弛豫过程

理想模型假设各方向动量瞬间调整好，自由流模型则永远不调整。它们都没有有限的弛豫时间。接下来加入的剪切演化方程，会让应力记住初态，再逐渐减弱这段记忆。

不同模型总可以配上相同的初始能量。选各向同性预设时，还能配上相同初始压强；理想流体无法匹配任意各向异性应力。换到其他预设后，先看清各模型的初始压强，再讨论演化差异。

完整例题

## 从各向同性初态出发，把年龄翻倍

取 $\tau/\tau_0=2$。理想模型给出 $e/e_0=2^{-4/3}\simeq0.39685$。自由流对应 $q=1/2$，角积分可以直接算成：

$$
\frac{e}{e_0}=\frac q2\left[q+\frac{\arcsin\sqrt{1-q^2}}{\sqrt{1-q^2}}\right]\simeq0.42730
$$

自由流后来的纵向压强较小，做功传走的能量也较少，剩下的密度较大。若直接使用晚时渐近式，会得到 0.5，在这个有限时刻已经有明显误差。

## 先预测，再操作模型

先判断：不碰撞的粒子云，膨胀得足够久以后，会自动恢复相等压强吗？

选各向同性初态对照，推进固有时，同时看能量曲线和压强比。

[纵向膨胀实验台 ↗](https://sandboxphysics.com/zh/labs/bjorken-expansion/)

对照解释

纵向动量继续红移。自由流能让能量密度下降，却会让压强分布越来越偏向横向。

## 练习与解释性答案

1\. 理想模型的固有时变成八倍，温度剩下多少？

查看思路

温度幂次是三分之一，故 $T/T_0=8^{-1/3}=1/2$；能量密度则剩 $8^{-4/3}=1/16$。

2\. 为什么只看到能量密度下降，还不能判断粒子已经热化？

查看思路

自由流和理想流体都会变稀。区别在于动量是否重新分配，以及方向压强怎样演化。能量密度只是整个分布的一个矩，装不下全部信息。

自由流的时间反比律是晚时极限。比较有限时刻的曲线，必须保留初始动量分布。

## 来源与核读范围

1. [J. D. Bjorken, Highly relativistic nucleus–nucleus collisions: The central rapidity region (1983)](https://doi.org/10.1103/PhysRevD.27.140)

   原始纵向 boost 不变时空图景、固有时与时空快度。正文另行推导压强做功方程。

2. [Florkowski, Heller & Spaliński, New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era, arXiv:1707.02282v3](https://arxiv.org/html/1707.02282v3)

   2017-10-19 第三版，§5.1、§5.3、§6、§7.4；用于符号与动理学、流体近似范围。此项是综述，并非独立实验数据。

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