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title: "氘为什么要等宇宙冷下来"
description: "用核统计平衡算出氘核何时能在光子浴里站住，再看物质越密为什么剩下的氘越少。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/why-deuterium-waits/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/primordial-nucleosynthesis/why-deuterium-waits/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙最初几分钟与轻元素](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/)

# 氘为什么要等宇宙冷下来

Sandbox Physics · 2026-11-12

氘核的结合能是 $2.22\,\mathrm{MeV}$，可是要等热能量再降低约三十倍，它才能存活。原因在光子的数量：按测得的重子密度，每个重子对应约 16 亿个光子，高能尾巴上那一小撮光子就足以把每个氘核打碎。用核统计平衡，也就是俘获与光致分解之间的平衡来算，这个瓶颈在 $k_BT\approx0.07\,\mathrm{MeV}$ 附近打开，约在大爆炸后四分钟。氘一旦能留下来，就被继续烧成氦；物质越稠密，剩下的氘越少。

本章接着[中子和质子什么时候停止互相转变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/when-neutrons-and-protons-stop-converting/)，从那里取用中子的数量和 $t\propto T^{-2}$ 的关系。需要的数学是指数、对数和数密度。读完后，你应当能算出给定重子密度下氘何时能存活，解释为什么氦只微弱地依赖这个密度，而氘却强烈地依赖它。

## 每个重子对应多少光子

用 $n_b$ 表示重子（质子和中子，自由的和束缚在核里的都算）的数密度，$n_\gamma$ 表示光子的数密度。二者之比叫重子光子比：

$$
\eta=\frac{n_b}{n_\gamma},\qquad \eta_{10}=10^{10}\,\eta.
$$

正负电子湮灭之后，两种密度都按尺度因子的三次方下降，所以在本章关心的那几分钟里 $\eta$ 保持不变。如果在拟合微波背景时用核合成来确定氦的含量，得到 $\eta_{10}=6.12\pm0.04$；不用这一步则是 $6.104\pm0.058$（[粒子物理评述 2025 年版](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-bbang-nucleosynthesis.pdf)，式 24.8 及其后的正文）。本章取 $6.12$，即每个重子约对应 $1.63\times10^9$ 个光子。

黑体光子的数密度是

$$
n_\gamma=\frac{2\zeta(3)}{\pi^2}\left(\frac{k_BT}{\hbar c}\right)^3,\qquad \frac{2\zeta(3)}{\pi^2}=0.2436.
$$

### 例题：瓶颈打开时宇宙有多稠密

在 $k_BT=0.07\,\mathrm{MeV}$，取 $\hbar c=1.973\times10^{-11}\,\mathrm{MeV\,cm}$，光子数密度 $n_\gamma=1.09\times10^{28}\,\mathrm{cm^{-3}}$。乘以 $\eta$ 得 $n_b=6.7\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$，重子质量密度约 $1.1\times10^{-5}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$，大约是海平面空气密度的百分之一，而温度高达八亿开尔文。最初几分钟的核反应，是在一团稀薄而极热的气体里进行的。

## 俘获与分解之间的平衡

氘核由 $p+n\to d+\gamma$ 形成，又被逆反应 $\gamma+d\to p+n$ 拆开。两个方向都很快时，三种粒子处在同一温度，化学势满足 $\mu_d=\mu_n+\mu_p$。由每种粒子的非相对论数密度，得到萨哈关系

$$
\frac{n_d}{n_nn_p}=\frac{g_d}{g_ng_p}\left(\frac{m_d}{m_nm_p}\right)^{3/2}\left(\frac{2\pi\hbar^2}{k_BT}\right)^{3/2}\exp\!\left(\frac{B_d}{k_BT}\right).
$$

其中 $g_d=3$、$g_n=g_p=2$ 是自旋状态数，$B_d=(m_n+m_p-m_d)c^2$ 是氘核结合能。由 2020 年原子质量评估（[AME2020 质量表](https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2020/mass_1.mas20.txt)）中中子、氢一和氢二的质量过剩，得到 $B_d=2.2246\,\mathrm{MeV}$。

用每个重子对应的丰度 $Y_i=n_i/n_b$ 比用数密度方便，因为它不随膨胀改变。取 $m_d\simeq2m_N$，$m_Nc^2=939\,\mathrm{MeV}$，$m_n\simeq m_p\simeq m_N$，并代入 $n_b=\eta n_\gamma$：

$$
\frac{Y_d}{Y_nY_p}=\frac34\,\frac{2\zeta(3)}{\pi^2}\,(4\pi)^{3/2}\;\eta\left(\frac{k_BT}{m_Nc^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(\frac{B_d}{k_BT}\right)=8.14\,\eta\left(\frac{k_BT}{m_Nc^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(\frac{B_d}{k_BT}\right).
$$

两类因子在较劲。$\eta\approx6\times10^{-10}$ 和 $(k_BT/m_Nc^2)^{3/2}\approx6\times10^{-7}$ 这两个小数，说的是重子在光子中有多稀少；玻尔兹曼因子 $\exp(B_d/k_BT)$ 则随宇宙变冷而增大。只有当指数赢了，氘才会多起来。

### 例题：比值什么时候达到 1

令右边等于 1，取 $\eta_{10}=6.12$，用二分法求解，得到 $k_BT=0.0665\,\mathrm{MeV}$，即 $T_9=0.772$。验算：$(0.0665/939)^{3/2}=5.96\times10^{-7}$，$\exp(2.2246/0.0665)=3.37\times10^{14}$，于是

$$
8.14\times(6.12\times10^{-10})\times(5.96\times10^{-7})\times(3.37\times10^{14})\approx1.0.
$$

这时 $B_d/k_BT=33.5$：热能量要比结合能低三十来倍，氘核才站得住。$\eta$ 在指数外面，所以改变它几乎挪不动这个温度：

**表 3.1** 平衡估算中 $Y_d/(Y_nY_p)=1$ 的温度。

| $\eta_{10}$ | $k_BT$，单位 $\mathrm{MeV}$ |
| --- | --- |
| $2$ | $0.0643$ |
| $6.12$ | $0.0665$ |
| $15$ | $0.0684$ |

重子密度相差 7.5 倍，温度只差 6%。由于 $t\propto T^{-2}$，时间约差 12%。

## 要多少氘才够

氦并不等到 $Y_d/(Y_nY_p)=1$。只要每一千个重子里有几个氘核，$d+d$、$d+p$、$t+d$ 和 ${}^3\mathrm{He}+d$ 这些快反应就会几乎随生随转，把它们送进氦四。教程网络直接显示了这一点：取氦形成一半的时刻，读出氘的丰度。

**表 3.2** 氦形成一半时的网络状态，与平衡估算比较。

| $\eta_{10}$ | 时间，单位 $\mathrm s$ | 网络的 $k_BT$，单位 $\mathrm{MeV}$ | $Y_d$ | $Y_d/(Y_nY_p)$ | 该比值对应的平衡 $k_BT$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $2$ | $289$ | $0.0672$ | $4.85\times10^{-3}$ | $0.110$ | $0.0689$ |
| $6.12$ | $247$ | $0.0723$ | $2.95\times10^{-3}$ | $0.063$ | $0.0728$ |
| $15$ | $219$ | $0.0764$ | $1.82\times10^{-3}$ | $0.038$ | $0.0765$ |

在两个较高的密度下，网络温度和同一氘比值对应的平衡温度相差不到 1%：氦形成期间，氘一直跟着它的平衡值走。$\eta_{10}=2$ 时网络落后约 2.5%：物质越稀，中子俘获越慢，氘就跟不上平衡。

这张表也说明了氦为什么会依赖重子密度。物质越密，瓶颈打开得越早：一是平衡本身移动了，二是反应更快，较小的氘比值就够用。这时衰变掉的中子更少。三种密度下网络给出 $Y_p=0.2300$、$0.2424$ 和 $0.2504$：密度相差 7.5 倍，氦只差 9%。这些数值来自方法篇保存的计算，见[用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/recompute-a-frozen-rate-network/)。

## 物质越密，剩下的氘为什么越少

瓶颈打开后，氘一边生成，一边被消耗。中子俘获生成它；$d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$、$d(d,n){}^3\mathrm{He}$ 和 $d(d,p)t$ 消耗它，产物再被烧成氦四。一个氘核被消耗的速率正比于反应伙伴的密度，也就正比于 $\eta$。当这个速率降到膨胀率以下，消耗就停了。物质越密，燃烧持续得越久，停下时剩下的氘就越少。

网络给出的最终丰度是：

**表 3.3** 三种重子密度下教程网络的最终丰度。

| $\eta_{10}$ | $Y_p$ | $\mathrm{D/H}$ | ${}^3\mathrm{He/H}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $2$ | $0.2300$ | $1.48\times10^{-4}$ | $2.17\times10^{-5}$ |
| $6.12$ | $0.2424$ | $2.55\times10^{-5}$ | $1.02\times10^{-5}$ |
| $15$ | $0.2504$ | $4.69\times10^{-6}$ | $6.42\times10^{-6}$ |

从最低到最高密度，D/H 下降了 32 倍。在我们宇宙附近，它按 $\eta^{-1.6}$ 变化；下一章会定义这个指数，并与已发表的计算比较。正是这种陡峭的依赖，让氘成了测量重子密度的“秤”。氦三下降得慢一些，因为它既是氘燃烧的产物，又是生成氦四的燃料。

## Lab 任务：看瓶颈怎样移动

1. 预测。动手之前，判断“重子稀少，氘留下来”（$\eta_{10}=2$）和“重子稠密，氘被烧掉”（$\eta_{10}=15$）哪个更早形成氦，哪个最后剩下的氘更多。
2. 改变。依次选择这两个预设，打开高级分组，记录氦形成一半的时刻、$Y_p$ 和 $\mathrm{D/H}$。
3. 比较。把读数和表 3.2、表 3.3 对照。Lab 的时间步比保存的计算粗，最后一位可能略有不同。
4. 解释。用平衡关系解释时间的变化，用燃烧的论证解释氘的变化；再说明为什么这两个变化对氦影响很小，对氘影响很大。

## 习题

1. 有同学说，$k_BT=0.2\,\mathrm{MeV}$ 时光子能量已经比结合能低十倍，氘应该稳定了。取 $\eta_{10}=6.12$，算出这个温度下的 $Y_d/(Y_nY_p)$，回答这位同学。
2. 对萨哈比值的对数关于 $k_BT$ 求导，估算 $\eta$ 增大到 $2.45$ 倍时，比值等于 1 的温度移动多少，并与表 3.1 比较。
3. 用 $t\propto T^{-2}$ 和第 2 题的结果，从 247 秒出发估算 $\eta_{10}=15$ 时的瓶颈时刻。网络给出 219 秒，解释差别。
4. 迁移。设想氘核结合能大 10%，其余一切，包括第一章末尾的中子数量，都不变。估算瓶颈打开的温度和时刻，以及氦的变化。有些锂问题的解决方案涉及氘核结合能的变化，见[读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/reading-lithium-and-extra-radiation-bounds/)。

答案

1. $8.14\times(6.12\times10^{-10})\times(0.2/939)^{3/2}\times\exp(2.2246/0.2)\approx1.0\times10^{-9}$。$Y_nY_p\approx0.1$，相当于每 $10^{10}$ 个重子才有一个氘核。比结合能低十倍还不够：每个重子对应 $1.6\times10^9$ 个光子，能量高于 $2.22\,\mathrm{MeV}$ 的尾巴里，光子数仍远多于重子数。
2. $\mathrm d\ln(\text{比值})/\mathrm d(k_BT)=(1.5-B_d/k_BT)/k_BT\approx-32/k_BT$。$\eta$ 增大到 $2.45$ 倍，对数增加 $\ln2.45=0.90$，所以 $k_BT$ 要升高 $0.90/32=2.8\%$：$0.0665\to0.0684\,\mathrm{MeV}$，与表 3.1 一致。
3. 温度高 2.8%，时间就是原来的 $1.028^{-2}=0.946$ 倍，约 234 秒。网络更早，在 219 秒，因为高密度下推动氦形成所需的氘比值本身更小：表 3.2 中是 $0.038$ 而不是 $0.063$，对应更高的温度。
4. 用 $B_d=2.447\,\mathrm{MeV}$ 对同一比值 $0.063$ 求解平衡关系，得 $k_BT=0.0805\,\mathrm{MeV}$，比 $0.0728\,\mathrm{MeV}$ 高约 10.5%。时间变为 $247\times(0.0728/0.0805)^2\approx202$ 秒。从 247 秒时的 $X_n=0.1211$ 出发，少衰变 45 秒，$X_n$ 乘以 $\exp(45/878.4)=1.053$，得 $Y_p\approx0.255$。这只是粗估：核结合真的变了，反应率也会跟着变。

## 平衡图像漏掉了什么

萨哈关系不管反应有多快。它告诉我们，如果俘获和分解无限快，氘会停在哪里；表 3.2 表明，只有中子俘获比膨胀快得多时，这才是好的指引。最终的氘丰度由燃烧速率决定，而燃烧速率需要实验测得的截面。教程用的是 [Serpico 等人的拟合](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0408076v3)。下一章[重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/baryon-density-radiation-and-abundance-sensitivity/)说明这些不确定度怎样传到预言的丰度上。

## 在Lab里试一试

比较两个重子密度预设，读出氦在时钟上形成的时刻。 [打开轻元素反应网络Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/big-bang-light-element-network/)

下一篇：[重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/baryon-density-radiation-and-abundance-sensitivity/)

## 来源

1. [粒子物理评述 2025 年版](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-bbang-nucleosynthesis.pdf)
2. [AME2020 质量表](https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2020/mass_1.mas20.txt)
3. [Serpico 等人的拟合](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0408076v3)

## 继续阅读

宇宙最初几分钟与轻元素 · 阅读路径

### 从第一秒走到轻元素

1. [文章 **温度和膨胀速度怎样决定今天的氦和氘**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/temperature-expansion-and-light-elements/)
2. [文章 **中子和质子什么时候停止互相转变**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/when-neutrons-and-protons-stop-converting/)
3. [当前页面 **氘为什么要等宇宙冷下来**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/why-deuterium-waits/)
4. [文章 **重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/baryon-density-radiation-and-abundance-sensitivity/)
5. [文章 **用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/recompute-a-frozen-rate-network/)
6. [文章 **读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/reading-lithium-and-extra-radiation-bounds/)