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title: "重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度"
description: "定义对数敏感度，用氘推出重子密度，用氦限制额外辐射，再合成反应率误差。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/primordial-nucleosynthesis/baryon-density-radiation-and-abundance-sensitivity/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙最初几分钟与轻元素](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/)

# 重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度

Sandbox Physics · 2026-11-12

在标准参数附近，每种轻元素丰度对输入量的响应都像一个幂律，指数的大小决定了每项观测能测什么。氘按 $\eta^{-1.6}$ 变化，所以观测到的 D/H 能把重子密度定到优于百分之一。氦几乎不随 $\eta$ 变，但每多一种类似中微子的粒子就增加约 0.013，所以它能限制额外辐射。核反应率误差按平方和相加：在教程网络里，它们给 D/H 带来 0.7% 的误差，主要来自 $d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$；给锂七带来 1.8%，远不足以解释预言与观测之间三倍的差距。

本章以[中子和质子什么时候停止互相转变](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/when-neutrons-and-protons-stop-converting/)和[氘为什么要等宇宙冷下来](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/why-deuterium-waits/)为基础。需要会对数，并把导数理解为两个小变化之比；标准差和独立误差的平方和在用到时解释。读完后，你应当能用两次计算求出对数敏感度，把观测丰度反推成带误差的重子密度，把氦的测量变成对额外辐射的限制，并由反应率误差建立误差预算。

## 对数敏感度

设 $X$ 是某种丰度，$p$ 是一个输入量：重子光子比 $\eta$、类似中微子的粒子种数 $N_\nu$、中子寿命，或某个反应率。对数敏感度

$$
S_{X,p}=\frac{\partial\ln X}{\partial\ln p}
$$

表示其余输入不变时，$p$ 每变化百分之一，$X$ 变化百分之几。如果 $S$ 在一段范围内不变，那里就有 $X\propto p^{S}$。敏感度与单位无关，还能把小的相对变化写成线性求和：

$$
\frac{\delta X}{X}\simeq\sum_pS_{X,p}\,\frac{\delta p}{p}.
$$

方法篇用中心差分计算每个 $S$：把输入分别乘以 $1.01$ 和 $0.99$ 各算一次，再用 $\ln X$ 的变化除以 $\ln(1.01/0.99)$。

### 例题：用两次计算求中子寿命的敏感度

保存的计算在 $\tau_n=860\,\mathrm s$ 和 $900\,\mathrm s$ 时给出 $Y_p=0.23861$ 和 $0.24675$。于是

$$
S_{Y_p,\tau_n}\approx\frac{\ln(0.24675/0.23861)}{\ln(900/860)}=\frac{0.0335}{0.0455}=0.74.
$$

百分之一中心差分给出 $0.738$。[Fields、Olive、Yeh 和 Young](https://arxiv.org/abs/1912.01132v1) 在 2019 年预印本的表 II 中列出 $0.729$，是用他们的完整程序在 $\eta_{10}=6.129$ 处算的。

**表 4.1** $\eta_{10}=6.129$、$\tau_n=879.4\,\mathrm s$ 处的对数敏感度。每格前一个数是教程网络，后一个是 Fields 等人的表 II。

| 输入 | $Y_p$ | $\mathrm{D/H}$ | ${}^3\mathrm{He/H}$ | ${}^7\mathrm{Li/H}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\eta$ | $0.039$ / $0.039$ | $-1.618$ / $-1.597$ | $-0.597$ / $-0.583$ | $2.058$ / $2.094$ |
| $N_\nu$ | $0.165$ / $0.163$ | $0.400$ / $0.396$ | $0.142$ / $0.139$ | $-0.269$ / $-0.280$ |
| $\tau_n$ | $0.738$ / $0.729$ | $0.410$ / $0.409$ | $0.146$ / $0.144$ | $0.452$ / $0.434$ |
| $d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$ | $0.000$ / $0.000$ | $-0.333$ / $-0.315$ | $0.376$ / $0.376$ | $0.588$ / $0.589$ |
| ${}^3\mathrm{He}(\alpha,\gamma){}^7\mathrm{Be}$ | $0.000$ / $0.000$ | $0.000$ / $0.000$ | $0.000$ / $0.000$ | $0.963$ / $0.964$ |

两者相差不超过 $0.04$。这是对教程网络的检验，不是新证据：两个计算用的是同样的物理，教程的反应率还更旧。这张表已经说明了每种元素的用处。氘对 $\eta$ 的指数最大；氦对 $\eta$ 的指数很小，对 $N_\nu$ 的却不小；锂七随 $\eta$ 上升，因为在高密度下它先以铍七的形式生成，之后铍七俘获一个电子才变成锂七。

## 用氘称重子

[粒子物理评述 2025 年版](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-bbang-nucleosynthesis.pdf) 根据十二个类星体吸收系统，给出推荐值

$$
\mathrm{D/H}\big|_p=(25.08\pm0.29)\times10^{-6}\quad\text{(Eq. 24.2)}.
$$

### 例题：从氘丰度反推重子密度

网络在 $\eta_{10}=6.12$ 处给出 $\mathrm{D/H}=2.548\times10^{-5}$。在这一小步里把敏感度当作常数：

$$
\eta_{10}=6.12\times\left(\frac{2.548}{2.508}\right)^{1/1.618}=6.12\times1.0098=6.180.
$$

直接在网络上二分求解，同样得到 $6.180$。误差有两个独立来源。观测误差是 D/H 的 $0.29/25.08=1.16\%$，对应 $\eta$ 的 $1.16/1.618=0.71\%$；预言的反应率误差（下文推导）是 D/H 的 $0.69\%$，对应 $\eta$ 的 $0.43\%$。独立误差的方差相加，所以误差按平方和开方合成：

$$
\frac{\delta\eta}{\eta}=\sqrt{0.71^2+0.43^2}\;\%=0.83\;\%,\qquad \eta_{10}=6.18\pm0.05.
$$

评述给出 $(\eta_{10})_{\mathrm{SBBN}}=6.040\pm0.118$（式 24.5），并说明这个范围基本由 D/H 决定；不借助核合成的微波背景结果是 $6.104\pm0.058$。教程的数值比评述的核合成值高 1.2 个标准差。差别来自给定 $\eta$ 下预言的 D/H，也就是核反应率：教程沿用 2004 年 Serpico 的拟合，评述的数值来自更新的分析，本章没有复现。表 4.1 说明了反应率为什么这么要紧：$d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$ 改变 1%，D/H 就变化三分之一个百分点，推出的 $\eta$ 变化约五分之一个百分点。

## 用氦限制额外辐射

任何额外的相对论性能量，折算成多出来的 $\Delta N_\nu$ 种中微子，都会加快膨胀。网络在 $N_\nu=3$ 处的 $S_{Y_p,N_\nu}=0.165$ 可以换成绝对斜率

$$
\frac{\mathrm dY_p}{\mathrm dN_\nu}=S_{Y_p,N_\nu}\,\frac{Y_p}{N_\nu}=0.165\times\frac{0.2424}{3}=0.0133,
$$

与评述中的 $\Delta Y_p\simeq0.013\,\Delta N_\nu$ 一致。直接取 $\Delta N_\nu=1$ 计算，得到 $0.25485$，增加 $0.0125$；斜率慢慢变小，因为敏感度是对 $\ln N_\nu$ 定义的。

### 例题：只用一项测量得到的限制

评述给出的氦丰度是 $Y_p=0.245\pm0.003$（式 24.3）。三种中微子、取微波背景重子密度的完整物理预言是 $Y_p=0.24691\pm0.00018$（Fields 等人，式 22）。于是

$$
\Delta N_\nu=\frac{0.245-0.2469}{0.0133}=-0.14,\qquad \sigma_{\Delta N_\nu}=\frac{0.003}{0.0133}=0.23.
$$

双侧 95% 范围约为 $-0.59<\Delta N_\nu<0.30$。多出一整种中微子，距离中心约五个标准差。评述把氦和氘放在一起分析，得到 $N_\nu=2.898\pm0.141$（式 24.9），即 $\Delta N_\nu=-0.10\pm0.14$。

如果换成教程自己的预言 $Y_p=0.2424$，同样的算术给出 $\Delta N_\nu=+0.20$。这 $0.34$ 种的差别，完全来自教程略去的弱反应率修正，第一章末尾讨论过。对新物理的限制，可靠程度取决于拿来比较的绝对预言。

## 传播反应率误差

每个核反应率拟合都附有随温度变化的一倍标准差相对误差 $\sigma_i=\delta f_i/f_i$。在一阶近似下，如果各反应率误差相互独立，

$$
\left(\frac{\delta X}{X}\right)^2=\sum_i\left(S_{X,i}\,\sigma_i\right)^2.
$$

方法篇比“一个数乘一个敏感度”做得细一点：它把每个反应率按完整的、随温度变化的误差移动，再重算网络。中子寿命也计入，假定误差为 $0.5\,\mathrm s$。

**表 4.2** $\eta_{10}=6.12$ 处的一倍标准差误差预算，单位为百分数，只列最大的几项。

| 来源 | $\mathrm{D/H}$ | ${}^7\mathrm{Li/H}$ |
| --- | --- | --- |
| $d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$ | $0.67$ | $1.21$ |
| $d(d,n){}^3\mathrm{He}$ | $0.17$ | $0.22$ |
| ${}^3\mathrm{He}(\alpha,\gamma){}^7\mathrm{Be}$ | $0.00$ | $1.05$ |
| ${}^7\mathrm{Be}(n,p){}^7\mathrm{Li}$ | $0.00$ | $0.40$ |
| 全部，平方和 | $0.69$ | $1.76$ |

为了不依赖线性公式，方法篇还随机抽取了 200 组反应率重复计算。D/H 的离散为 0.72%，锂七为 1.78%，与平方和的结果接近。

锂这一列回答了第一篇文章留下的问题。评述给出贫金属晕族恒星的 $\mathrm{Li/H}=(1.45\pm0.25)\times10^{-10}$（式 24.4），以及核合成加微波背景的预言 $(4.72\pm0.7)\times10^{-10}$（式 24.10），二者相差 3.3 倍。$S=0.963$ 意味着，若只靠 ${}^3\mathrm{He}(\alpha,\gamma){}^7\mathrm{Be}$ 填平这个差距，它的反应率要降低约 $3.3^{1/0.963}\approx3.4$ 倍。而在铍七形成的温度下，这个拟合给出的误差只有 1% 到 2%。约 70% 的降幅，是这个误差的 35 到 70 倍。

## Lab 任务：先称重子，再检验辐射

1. 预测。动手前，用表 4.1 估算：要让 D/H 变化 10%，重子滑块需要移动多少；要让 $Y_p$ 变化 $0.003$，辐射滑块需要移动多少。
2. 改变。拖动重子滑块，直到氘的曲线穿过观测带的中心。然后把它放回默认值，拖动辐射滑块，直到 $Y_p$ 达到 $0.245$。
3. 比较。第一个读数应接近 $\eta_{10}=6.18$；Lab 的时间步更粗，可能使它移动约 $0.01$。第二个读数与例题中的 $+0.20$ 比较。
4. 解释。说明为什么辐射滑块不仅移动氦，也移动 D/H；再说明为什么第二个读数不能当作对额外辐射的测量结果。

## 习题

1. 用表 4.1 预测 $\eta_{10}$ 从 $6.12$ 变到 $10$ 时 ${}^7\mathrm{Li/H}$ 的变化。保存的计算从 $4.51\times10^{-10}$ 变到 $1.09\times10^{-9}$。为什么预测有偏差？
2. 未来的巡天把 D/H 的误差减半到 $0.145\times10^{-6}$，反应率误差不变。$\eta_{10}$ 的新误差是多少？那时哪个误差来源占主导？
3. 额外辐射也会提高 D/H。用表 4.1 求出抵消 $\Delta N_\nu=0.5$ 引起的 D/H 变化所需的 $\Delta\eta/\eta$，再求由此带来的氦变化。解释为什么单靠氘无法同时测出 $\eta$ 和 $N_\nu$。
4. 迁移。一位同事的程序在标准情形给出 $Y_p=0.2440$。他与 $Y_p=0.245\pm0.003$ 比较，报告了 $\Delta N_\nu\approx0.08$ 的“证据”。在相信这个数之前，你会检查哪些东西？

答案

1. $\ln(10/6.12)=0.491$，$2.058\times0.491=1.010$，预测倍数是 $\mathrm e^{1.010}=2.75$，即 $\mathrm{Li/H}\approx1.24\times10^{-9}$。计算结果是 $1.09\times10^{-9}$，倍数 $2.41$。敏感度只是局部斜率。在这段范围内平均指数只有 $\ln2.41/0.491=1.79$，因为斜率本身随 $\eta$ 变化：直接生成的锂七在减少，以铍七形式生成的在增加，二者的比例一直在变。
2. 观测部分变为 $\eta$ 的 $0.58/1.618=0.36\%$，反应率部分仍是 $0.43\%$，所以 $\delta\eta/\eta=\sqrt{0.36^2+0.43^2}=0.56\%$，即 $\eta_{10}$ 的 $\pm0.034$。那时核反应率，主要是 $d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$，会占主导。
3. $\Delta N_\nu=0.5$ 对应 $\Delta\ln N_\nu=\ln(3.5/3)=0.154$；D/H 的对数变化 $0.400\times0.154=0.062$。抵消它需要 $\Delta\ln\eta=0.062/1.618=0.038$，即 $\eta$ 高 3.8%。这时氦的对数变化是 $0.165\times0.154+0.039\times0.038=0.027$，约 $+0.0066$。较高的 $\eta$ 加上额外辐射能给出同样的 D/H，所以 D/H 约束的是两者的一个组合。主要跟着 $N_\nu$ 走的氦，或独立测量 $\eta$ 的微波背景，才能打破这种简并。
4. 检查输入：重子密度、中子寿命及其误差、所用的反应率组。检查弱反应率：是否包括辐射修正和有限质量修正？缺了它们，程序会偏低约 $0.005$，单这一项就会造出 $\Delta N_\nu\approx+0.3$。检查 $Y_p$ 是真正的质量分数还是氦数丰度的四倍。把时间步减半，检查数值收敛。最后，$0.08/0.23$ 只有三分之一个标准差：即使程序完美，它也完全落在噪声之内。

## 这些数字说明了什么，没说明什么

本章所有模型数值都来自教程网络，保存在 [teaching-values.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/materials/teaching-values.json) 和 [expected.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/materials/expected.json) 中。它们展示敏感度和误差预算是怎样建立的，并不是对 $\eta$ 或 $N_\nu$ 的新测定。已发表的测定使用更完整的弱反应率处理、更新的反应率，以及与微波背景的联合似然。导读[读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/reading-lithium-and-extra-radiation-bounds/)会逐表走读这些分析。

## 在Lab里试一试

每次只拖动重子或辐射滑块，把每条曲线和对应的观测带比较。 [打开轻元素反应网络Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/big-bang-light-element-network/)

下一篇：[用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/recompute-a-frozen-rate-network/)

## 来源

1. [Fields、Olive、Yeh 和 Young](https://arxiv.org/abs/1912.01132v1)
2. [粒子物理评述 2025 年版](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-bbang-nucleosynthesis.pdf)

## 继续阅读

宇宙最初几分钟与轻元素 · 阅读路径

### 从第一秒走到轻元素

1. [文章 **温度和膨胀速度怎样决定今天的氦和氘**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/temperature-expansion-and-light-elements/)
2. [文章 **中子和质子什么时候停止互相转变**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/when-neutrons-and-protons-stop-converting/)
3. [文章 **氘为什么要等宇宙冷下来**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/why-deuterium-waits/)
4. [当前页面 **重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/baryon-density-radiation-and-abundance-sensitivity/)
5. [文章 **用冻结反应网格复算小网络，并传播主要反应率误差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/recompute-a-frozen-rate-network/)
6. [文章 **读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-nucleosynthesis/reading-lithium-and-extra-radiation-bounds/)