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title: "黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测"
description: "推导单项线性观测的加权比值，说明合并多项观测需要哪些前提，以及叠画限制曲线为什么会错。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/) L3

# 黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测

Sandbox Physics · 2026-11-12

如果观测信号是各个黑洞贡献之和，质量函数被允许的条件是$\psi/f_{\max}$对$\ln M$的积分不超过1。每项观测各算各的比值。要把几项合并，或者画一条穿过所有曲线的包络，都得先写明前提；并合率则根本不满足这条线性规则。

## 开始前需要什么

前两章、泰勒展开，以及卡方统计量的基本概念。

## 限制曲线管总量，质量函数是密度

发表的曲线$f_{\max}(M)$只回答一个问题：如果所有黑洞的质量都是$M$，它们一共最多能占暗物质的多少？质量函数$\psi(M)=\mathrm{d}f/\mathrm{d}\ln M$是另一种量，表示每个对数质量区间里的比例。把$\psi$画在同一张图上，看它是不是处处低于每条曲线，等于拿密度去比总量。2026年综述第VI节明确指出了这一点。

举个例子看错得有多远。$\ln M$宽度$\sigma=2$、$f=1$的对数正态分布，峰高只有$1/(\sqrt{2\pi}\,2)=0.20$。它可以处处低于一条0.3的曲线，装的暗物质却是这条曲线在任何单一质量下允许值的三倍多。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

## 推导单项线性观测的加权比值

设观测量$\mathcal{A}$被测量限制为$\mathcal{A}\le\mathcal{A}_{\rm exp}$。如果每个黑洞对它的贡献互不影响，它对$\psi$就是线性的：背景$\mathcal{A}_0$加上一个积分，核函数$\mathcal{A}_1(M)$包含了物理过程和仪器特性。

只有一个质量时，$\psi=f\,\delta(\ln M-\ln M_c)$，限制变成$f\le(\mathcal{A}_{\rm exp}-\mathcal{A}_0)/\mathcal{A}_1(M_c)\equiv f_{\max}(M_c)$。也就是说，发表的曲线告诉了我们核函数，只差一个常数。把$\mathcal{A}_1=(\mathcal{A}_{\rm exp}-\mathcal{A}_0)/f_{\max}$代回一般形式，就得到加权比值。这是Carr等人2017年的式12，也是2026年综述的式25至28。

$$
\mathcal{A}[\psi]=\mathcal{A}_0+\int\mathrm{d}\ln M\,\mathcal{A}_1(M)\,\psi(M)\le\mathcal{A}_{\rm exp}
$$

线性的意思是：没有哪一项同时牵涉两个黑洞。

$$
R_j\equiv\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi(M)}{f_{\max,j}(M)}\le1
$$

对每项观测$j$分别使用。表格没有数据的质量范围里，这项观测贡献为零，那里的质量等于没被它检验过。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

## 质量分散开，限制变松还是变紧

令$u=\ln(M/M_c)$，$g(u)=1/f_{\max}$。对宽度为$\sigma$、左右对称的窄分布，把$g$展开到二阶，一阶项平均为零，剩下下面的修正。$1/f_{\max}$在$\ln M$上向上弯的地方，分布越宽限制越紧；向下弯的地方，越宽越松。

方法教程用昴星团微引力透镜的表格检验了这一点。中心在$10^{-8}\,\mathrm{M}_\odot$时，$1/f_{\max}$正从$10^{-9}\,\mathrm{M}_\odot$附近的峰往下走，曲线向下弯；宽度加到$\sigma=0.5$，允许的比例从0.00949升到0.00964。中心在$10^{-6}\,\mathrm{M}_\odot$时，$1/f_{\max}$向上弯，同样的宽度让它从0.169降到0.160。哪个方向都不能想当然。

$$
R\approx f\left[g(0)+\frac{\sigma^2}{2}\,g''(0)\right],\qquad g(u)=\frac{1}{f_{\max}(M_ce^{u})}
$$

要求$\sigma$比$g$改变弯曲方向的尺度小。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

## 多项观测：先分别算比值

稳妥的说法是：每个比值$R_j$都不能超过1。Carr等人2017年在附录里还推导了一个合并检验，前提是：各观测量互相独立、误差是高斯的、都对$\psi$线性、没有黑洞时期望值正好是背景，并且每条限制取同样的置信水平。满足这些前提，卡方统计量就把各比值按平方和合并。

同一个附录也说明了为什么一条包络曲线不是捷径。把所有观测折成一条曲线$f_{\max}=(\sum_j f_{\max,j}^{-2})^{-1/2}$，再套用单项规则，由三角不等式可知会高估限制。每个质量处取最低那条曲线，也有同样的毛病。Lab因此把每个比值单独显示，平方和合并只放在折叠面板里，而且只对线性的表格计算。

在Lab的恒星质量预设里，OGLE比值是3.06，宇宙微波背景吸积比值是3.58，单看任何一项都已排除这个分布。两者的平方和合并是4.71，这个数要求上面的前提都成立。

$$
\sum_{j}\left(\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi}{f_{\max,j}}\right)^2\le1
$$

Carr等人2017年式13及附录；Carr等人2026年式29。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Mróz, Udalski et al. · No massive black holes in the Milky Way halo · arXiv:2403.02386v3, Nature 632, 749 (2024) · Serpico, Poulin, Inman & Kohri · Cosmic microwave background bounds on primordial black holes including dark matter halo accretion · arXiv:2002.10771v2, Phys. Rev. Research 2, 023204 (2020)

## 线性规则在哪里失效

并合牵涉两个黑洞，并合率里有一项含两次$\psi$，上面的规则不适用。成团、星系里的质量分层和结构形成，也会让观测量同时依赖不止一个黑洞。综述点名受影响的有莱曼阿尔法森林限制、动力学限制，程度轻一些的还有透镜和吸积限制。

Lab把LIGO-Virgo-KAGRA的表画出来只作参考，它的比值用灰色显示。恒星质量预设里这个数是443，但这不是规则的有效用法。O3分析本身用分层方法直接拟合多种质量函数，在它考虑的每种情形里，1到200倍太阳质量的黑洞最多约占暗物质的$10^{-3}$。

黑洞形成后质量还可能改变。吸积会让重的黑洞长大，十倍太阳质量以上的限制随之变松；成团又会增强吸积，让限制变紧。综述建议把质量函数理解为已经包含这些变化的有效质量函数，不同观测对应的有效质量函数可能不同。Lab始终使用形成时的质量函数。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Andrés-Carcasona, Iovino, Vaskonen & Veermäe · Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events · arXiv:2405.05732v2, Phys. Rev. D 110, 023040 (2024) · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

## [把每条限制读成它自己的加权比值](https://sandboxphysics.com/zh/labs/primordial-black-hole-mass-function/)

1. 选“被微引力透镜排除”，先预测哪个比值超过1，再看条形图。
2. 选“恒星质量的原初黑洞”，打开约定面板，比较最大的单项比值和平方和合并值。
3. 慢慢把质量手柄拖过昴星团曲线，记下比值第一次超过1的位置，再和曲线看起来最低的位置比较。

## 练习与解释性答案

1. 证明：在单项规则里改用每个质量处最低的曲线$f_{\rm env}(M)=\min_j f_{\max,j}(M)$，得到的比值不小于任何一个$R_j$。为什么它不是推导出来的限制？

   展开解释

   每个质量处对所有$j$都有$1/f_{\rm env}\ge1/f_{\max,j}$，又有$\psi\ge0$，所以积分不小于每个$R_j$。单项规则是针对一个观测量、一个核函数推出来的。包络在不同质量处换用不同的核，对应不到任何一次测量，也没有写明的似然函数，所以它的数值没有概率意义。

2. 昴星团表格在$\log_{10}(M/\mathrm{M}_\odot)=-8.2,\ -8.0,\ -7.8$处给出$1/f_{\max}=120.5,\ 105.4,\ 86.9$，在$-6.2,\ -6.0,\ -5.8$处给出$8.27,\ 5.92,\ 4.04$。用二阶公式预测：在这两个中心，把分布加宽会让限制变松还是变紧？

   展开解释

   二阶差分分别是$120.5-2(105.4)+86.9=-3.4$和$8.27-2(5.92)+4.04=+0.47$。所以在$10^{-8}\,\mathrm{M}_\odot$处$g''(0)<0$，加宽让单位$f$对应的$R$变小，限制变松；在$10^{-6}\,\mathrm{M}_\odot$处$g''(0)>0$，限制变紧。教程里的完整积分在两处都给出同样的结论。

3. 两项线性观测给出$R_1=3.06$、$R_2=3.58$。平方和合并是多少？如果一项按95%置信水平给出、另一项按99%，会怎样？

   展开解释

   $\sqrt{3.06^2+3.58^2}=4.71$。推导要求所有限制取同一置信水平，因为每个$f_{\max,j}$都是核函数乘上同样多个标准差。置信水平不同时，必须先换算到同一水平再合并；否则只有分别检验站得住。

[上一篇：高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/) [下一篇：把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/extend-a-microlensing-limit-to-a-mass-spread/)

## 来源，以及每篇读了多少

1. [Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)](https://arxiv.org/abs/2601.06024v2)

   综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

2. [Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)](https://arxiv.org/abs/1705.05567v3)

   全文。单个观测量的线性规则（式12）和多个观测量的平方和合并（式13），以及它们成立的前提。

3. [Mróz, Udalski et al. · No massive black holes in the Milky Way halo · arXiv:2403.02386v3, Nature 632, 749 (2024)](https://arxiv.org/abs/2403.02386v3)

   只读了摘要。OGLE二十年观测约8000万颗大麦哲伦云恒星，没有长于一年的事件，因此$1.8\times10^{-4}$到6.3倍太阳质量的致密天体最多占暗物质的1%。

4. [Serpico, Poulin, Inman & Kohri · Cosmic microwave background bounds on primordial black holes including dark matter halo accretion · arXiv:2002.10771v2, Phys. Rev. Research 2, 023204 (2020)](https://arxiv.org/abs/2002.10771v2)

   只读了摘要。吸积改变宇宙微波背景记录的电离历史；在1万倍太阳质量附近，限制达到$3\times10^{-9}$，结果依赖吸积物理。

5. [Andrés-Carcasona, Iovino, Vaskonen & Veermäe · Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events · arXiv:2405.05732v2, Phys. Rev. D 110, 023040 (2024)](https://arxiv.org/abs/2405.05732v2)

   只读了摘要。用多种质量函数对O3并合事件做分层贝叶斯分析，1到200倍太阳质量之间原初黑洞最多约占暗物质的千分之一。

## 继续阅读

宇宙最初一秒里的黑洞 · 阅读路径

### 宇宙最初一秒里的黑洞

1. [文章 **比恒星还早的黑洞，今天该怎样找**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-to-find-black-holes-older-than-stars/)
2. [文章 **早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-an-early-overdensity-becomes-a-black-hole/)
3. [文章 **高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/)
4. [当前页面 **黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/test-a-mass-spread-against-many-limits/)
5. [文章 **把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/extend-a-microlensing-limit-to-a-mass-spread/)
6. [文章 **怎样读2026年的原初黑洞综述**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/read-the-2026-primordial-black-hole-review/)