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title: "早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞"
description: "推导辐射时期的视界质量、塌缩阈值和黑洞质量，再用两个例子从小行星质量算到恒星质量。"
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language: "zh-CN"
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last_modified: "2026-11-12"
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[原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/) L1

# 早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞

Sandbox Physics · 2026-11-12

一块区域重新进入视界时，如果密度反差超过约0.4到0.6的阈值，就会塌缩；黑洞拿走当时视界质量的固定一部分。视界质量和时间成正比，所以只要知道形成时刻，就知道黑洞质量。

## 开始前需要什么

牛顿引力、施瓦西半径、对数与10的幂。弗里德曼方程直接引用，不做推导。

## 视界质量和时间成正比

在辐射主导时期，膨胀率是$H=1/(2t)$。区域之间能互相影响的距离是哈勃半径$c/H$。弗里德曼方程给出平均密度$\rho=3H^2/(8\pi G)$，这里的$\rho$是能量密度除以$c^2$。半径为$c/H$的球里装的质量，就叫视界质量。

算出来，视界质量随时间线性增长，系数$c^3/G$约为每秒$2.03\times10^{5}$个太阳质量，粒子数据组把它取整为$2\times10^{5}$。同样的式子再走一步还会发现：视界质量的施瓦西半径正好等于哈勃半径。一块区域刚进视界就塌缩，得到的黑洞和当时的视界差不多大。

$$
M_H=\frac{4\pi}{3}\rho\left(\frac{c}{H}\right)^3=\frac{c^3}{2GH}=\frac{c^3t}{G}
$$

先代入$\rho=3H^2/(8\pi G)$，再代入$H=1/(2t)$。

$$
r_s(M_H)=\frac{2GM_H}{c^2}=\frac{c}{H}
$$

视界质量恰好处在它自己的施瓦西半径上。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

## 哪些区域会塌缩

用密度反差$\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho$描述一块区域，并在它重新进入视界的时刻按视界尺度做平滑。区域比视界大时，只是跟着整体一起膨胀；进入视界后，压强开始抵抗塌缩。只有$\delta$超过阈值$\delta_c$的区域，才能赶在压强占上风之前塌下去。

$\delta_c$取多少，要看密度剖面的形状，也要看$\delta$具体怎样定义。Harada、Yoo和Kohri给出的解析估计是：辐射时期、按数值模拟常用的量度，约为0.41。2026年的综述在一个例子里取0.55。Lab里$\delta_c$可以在0.35到0.65之间调，默认是0.45。

对应阅读：Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

## 黑洞保留视界质量的一部分

黑洞质量写成$M=\gamma M_H$。粒子数据组给出辐射主导时$\gamma\simeq(1/\sqrt3)^3\approx0.19$，Sasaki等人取$\gamma=0.2$，这套课程也取0.2。细致的塌缩模拟里，质量还和区域超出阈值多少有关，同一时刻形成的黑洞因此有大有小。Lab让每个形成时刻只对应一个质量，质量的分布只来自早期密度峰在尺度上的宽度。

$$
M=\gamma M_H\approx\gamma\,\frac{c^3t}{G}\approx4\times10^{4}\,\mathrm{M}_\odot\left(\frac{t}{1\,\mathrm{s}}\right)\quad(\gamma=0.2)
$$

形成时刻决定质量，越重的黑洞形成得越晚。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1 · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

## 算两个例子：小行星质量和恒星质量

取Lab默认的峰值质量$M=3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot$，约$6\times10^{19}$千克。视界质量是$M/\gamma=1.58\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot$，除以$2.03\times10^{5}\,\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{s}^{-1}$，形成时刻是$7.8\times10^{-16}$秒。黑洞的施瓦西半径是$2.95\,\mathrm{km}\times3.16\times10^{-11}\approx93$纳米，正好是当时哈勃半径$2ct\approx470$纳米的五分之一。

再取$M=30\,\mathrm{M}_\odot$，这是引力波目录里常见的质量。视界质量是$150\,\mathrm{M}_\odot$，形成时刻是$7.4\times10^{-4}$秒。两个例子的质量和形成时刻都差了约$10^{12}$倍。一个横跨许多数量级的黑洞质量函数，对应的是最初一秒里很长的一段历史。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

## 蒸发决定最轻的幸存者

黑洞通过霍金辐射损失质量，越轻损失得越快。按2026年综述的说法，出生时约$5\times10^{14}$克、也就是$2.5\times10^{-19}\,\mathrm{M}_\odot$的无自旋黑洞，正在今天蒸发完毕。Lab的质量标尺从$10^{-18}\,\mathrm{M}_\odot$开始，在这条边界之上，并且忽略幸存黑洞蒸发掉的那一点质量。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025)

## [看一块区域进入视界并塌缩](https://sandboxphysics.com/zh/labs/primordial-black-hole-mass-function/)

1. 先预测：把黑洞质量从$10^{-11}$拖到$10^{-5}$倍太阳质量，这块区域晚了多久形成？
2. 沿标尺拖动质量手柄，读出“最常见的黑洞质量”，用$t=M/(\gamma\,c^3/G)$检验你的预测。
3. 把阈值平面往上拖一点，看“塌缩的视界区域比例”怎样下降。

## 练习与解释性答案

1. 取$\gamma=0.2$，一个太阳质量的黑洞是在宇宙诞生后多久形成的？

   展开解释

   视界质量是$M/\gamma=5\,\mathrm{M}_\odot$，除以$2.03\times10^{5}\,\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{s}^{-1}$，得到$t\approx2.5\times10^{-5}$秒。

2. 只用$M_H=c^3/(2GH)$，证明$r_s(M_H)=c/H$。

   展开解释

   $r_s=2GM_H/c^2=2G\,c^3/(2GH\,c^2)=c/H$。这个结果不依赖辐射时期：在任何平直的弗里德曼宇宙里，$M_H=c^3/(2GH)$都可以由临界密度直接得到。

3. 如果真实的效率是$\gamma=0.1$，$3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot$的黑洞在什么时候形成？Lab里从功率谱峰到黑洞质量的对应会怎样变？

   展开解释

   视界质量翻倍，变成$3.16\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot$，形成时刻也翻倍，约$1.6\times10^{-15}$秒。同一个早期密度峰形成的黑洞都会轻一半；每块塌缩区域换算到今天的丰度也会变，因为它正比于$\gamma\,M_H^{-1/2}$，下一章推导这个关系。

[上一篇：比恒星还早的黑洞，今天该怎样找](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-to-find-black-holes-older-than-stars/) [下一篇：高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/)

## 来源，以及每篇读了多少

1. [Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)](https://arxiv.org/abs/2601.06024v2)

   综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

2. [Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)](https://arxiv.org/abs/1705.05567v3)

   全文。单个观测量的线性规则（式12）和多个观测量的平方和合并（式13），以及它们成立的前提。

3. [Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1](https://arxiv.org/abs/1801.05235v1)

   第2.3节式21至31：视界质量、塌缩效率，以及形成比例换算成今天的丰度。

4. [Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)](https://arxiv.org/abs/1309.4201v4)

   只读了摘要。摘要给出辐射主导时，数值模拟所用量度下的阈值约为0.41。

5. [Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025)](https://pdg.lbl.gov/2025/reviews/rpp2025-rev-dark-matter.pdf)

   第27.1、27.3和27.7节：形成时刻与质量、几类主要限制，以及大约$10^{17}$到$10^{21}$克的窗口。

## 继续阅读

宇宙最初一秒里的黑洞 · 阅读路径

### 宇宙最初一秒里的黑洞

1. [文章 **比恒星还早的黑洞，今天该怎样找**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-to-find-black-holes-older-than-stars/)
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3. [文章 **高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/how-a-rare-gaussian-tail-sets-the-abundance/)
4. [文章 **黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/test-a-mass-spread-against-many-limits/)
5. [文章 **把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/extend-a-microlensing-limit-to-a-mass-spread/)
6. [文章 **怎样读2026年的原初黑洞综述**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/primordial-black-holes/read-the-2026-primordial-black-hole-review/)